Problema retrogrado per l'equazione di diffusione

[dissonance]

Questo è un esercizio dal libro Analisi matematica 2 di Pagani - Salsa.
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Esercizio (§7.5 pag. 559)
Si consideri la famiglia di problemi

\[\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0 & 0 u(x, 0)=f_n(x)=e^{-n}\sin(n\pi x) \\
u(0, t)=u(1, t)=0 & -1\le t \le 0\end{cases}\]
[si tratta di equazioni di diffusione sul segmento \(x \in [0, 1]\) con condizione nulla al bordo].

[list=1][*:3bbda46o]Trovare mediante separazione delle variabili una soluzione per ogni \(n\) [nota: tale soluzione è anche unica, cfr. Evans Partial differential equations 2nd ed. §2.11 pag. 64];[/*:m:3bbda46o]
[*:3bbda46o]Mostrare che, quando \(n \to \infty\), \(f_n \to 0\) mentre \(\lVert u_n(x, -1)\rVert_{\infty} \to \infty\); [/*:m:3bbda46o]
[*:3bbda46o]Interpretare fisicamente il problema e il risultato.[/*:m:3bbda46o][/list:o:3bbda46o]
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I conti mostrano che la soluzione cercata è

\[u_n(x, t)=e^{-n}e^{-\pi^2 n^2 t} \sin( \pi n x ),\]

ed effettivamente verifica il punto 2: all'istante \(t=0\) si schiaccia a \(0\) per \(n \to \infty\), all'istante \(t=-1\) invece esplode. Ma come "interpretare fisicamente" questo risultato? La domanda è piuttosto soggettiva, per cui mi piacerebbe sentire qualche parere.

[sonoqui_1]

Calcolando $(partial^2u_n(x,t))/(partialt)^2= n^4 pi^4 e^(-n-pin^2t)sin(npix)$
risulta che, interpretando $u$ come una temperatura, al tendere ad infinito di $n$ l'accelerazione con cui varia tende ad infinito per $t=-1$.