Problema quantità di moto ed urto
Salve a tutti,
è da qualche giorno che non so come risolvere il seguente problema:
Due sferette di massa m1=10 g e m2=50g sono inizialmente a contatto, ma non vincolate, e allineate sulla verticale. Successivamente esse vengono lasciate cadere contemporaneamente da un’altezza h=1 m verso un piano orizzontale fisso (di massa infinita). Si trovi l’altezza raggiunta da ciascuno dei due corpi dopo l’urto con il piano nel caso di urti perfettamente elastici.
Io ho pensato di scrivere l'equazione per la conservazione dell'energia cinetica, ovvero:
$ 1/2(m_1+m_2)2gh=1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2 $
Mi serve però un'altra equazione. Qui ovviamente non ha senso considerare il momento angolare, poichè il problema è in una dimensione. Ho quindi pensato alla conservazione della quantità di moto (che qui però non si conserva).
Ho ipotizzato di considerare i due corpi come istantaneamente vincolati nell'istante dell'urto con il pavimento, ma non funziona. Avreste consigli da darmi?
Grazie
è da qualche giorno che non so come risolvere il seguente problema:
Due sferette di massa m1=10 g e m2=50g sono inizialmente a contatto, ma non vincolate, e allineate sulla verticale. Successivamente esse vengono lasciate cadere contemporaneamente da un’altezza h=1 m verso un piano orizzontale fisso (di massa infinita). Si trovi l’altezza raggiunta da ciascuno dei due corpi dopo l’urto con il piano nel caso di urti perfettamente elastici.
Io ho pensato di scrivere l'equazione per la conservazione dell'energia cinetica, ovvero:
$ 1/2(m_1+m_2)2gh=1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2 $
Mi serve però un'altra equazione. Qui ovviamente non ha senso considerare il momento angolare, poichè il problema è in una dimensione. Ho quindi pensato alla conservazione della quantità di moto (che qui però non si conserva).
Ho ipotizzato di considerare i due corpi come istantaneamente vincolati nell'istante dell'urto con il pavimento, ma non funziona. Avreste consigli da darmi?
Grazie
Risposte
Ciao, provo a farti ragionare. Sapresti dirmi perchè la quantità di moto non si conserva?
Se considero il sistema formato dalle 2 palline non si conserva per la forza esterna della reazione vincolare del pavimento. Se invece considero nel sistema anche il pavimento, allora si conserva. Però mi darebbe problemi il fatto che dovrei considerare anche la variazione della quantità di moto del pavimento (ma essendo di massa infinita non so come comportarmi)
Bè ti sei risposta da solo/a in un certo senso. Essendo di massa infinita...
Essendo di massa infinita, avrei che:
(m1+m2)2gh=m1v1+m2v2+infinito...
(m1+m2)2gh=m1v1+m2v2+infinito...
No vuol dire che la variazione della sua quantità di moto è nulla e infatti se è di massa infinita non si sposta.
Ah. Ma come può allora la quantità di moto conservarsi se il vettore della quantità di moto iniziale è diretto verso il basso e quella finale verso l alto?
"alicetritone94":
No vuol dire che la variazione della sua quantità di moto è nulla e infatti se è di massa infinita non si sposta.
Non è proprio così. La quantità di moto delle due palline si inverte, e la quantità di moto acquisita dal pavimento è doppia di quella iniziale delle palline. Il fatto che la massa contro cui urtano sia infinita semplifica le cose nel senso che dopo l'urto cambia solo il verso della quantità di moto. Come una palla che rimbalza contro il muro.
E quindi le velocità dopo l urto saranno le stesse di prima sell urto per entrambe le palline?
"Maschinna":
Ah. Ma come può allora la quantità di moto conservarsi se il vettore della quantità di moto iniziale è diretto verso il basso e quella finale verso l alto?
Al di là dei moduli dei vettori se ne sommi uno verso l'alto e uno verso il basso la risultante è nulla.
"mgrau":
[quote="alicetritone94"]No vuol dire che la variazione della sua quantità di moto è nulla e infatti se è di massa infinita non si sposta.
Non è proprio così. La quantità di moto delle due palline si inverte, e la quantità di moto acquisita dal pavimento è doppia di quella iniziale delle palline. Il fatto che la massa contro cui urtano sia infinita semplifica le cose nel senso che dopo l'urto cambia solo il verso della quantità di moto. Come una palla che rimbalza contro il muro.[/quote]
Hai perfettamente ragione, ho detto una cavolata per la fretta. La somma complessiva non può cambiare.
Quindi le velocità sono uguali in modulo?
"Maschinna":
... nel caso di urti perfettamente elastici.
Dovresti risolvere il problema considerando i due urti separatamente, cioè, l'urto elastico tra la pallina di massa $m_2$ che, dopo aver urtato elasticamente il piano, è in fase di ascesa e la pallina di massa $m_1$ che è ancora in fase di discesa, animate da velocità opposte di modulo $[v_0=sqrt(2gh)]$. Insomma, orientando un asse verticale verso l'alto:
1. Conservazione quantità di moto
$m_1v_1+m_2v_2=-m_1v_0+m_2v_0$
2. Conservazione energia cinetica
$1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2=1/2m_1v_0^2+1/2m_2v_0^2$
Sostituendo la relazione $[m_2=5m_1]$:
$[v_1+5v_2=4v_0] ^^ [v_1^2+5v_2^2=6v_0^2]$
Risolvendo il sistema:
$[v_1=7/3v_0] ^^ [v_2=1/3v_0]$ (soluzione fisicamente accettabile: le palline interagiscono)
$[v_1=-v_0] ^^ [v_2=v_0]$ (soluzione non fisicamente accettabile: le palline non interagiscono)
"anonymous_0b37e9":
1. Conservazione quantità di moto
$m_1v_1+m_2v_2=-m_1v_0+m_2v_0$
Mi pare strano: il pavimento non contribuisce nel bilancio della quantità di moto? Le palline se la giocano tutta fra di loro?
Inoltre (ma questa non sarebbe una obiezione) questa soluzione dipende dalla disposizione delle palline: il risultato dipende da chi sta sopra e chi sotto
Eviterei di considerarlo un urto a tre corpi. Tra l'altro, se così fosse, il problema sarebbe indeterminato. Infatti, indicando con $F_e$ il modulo della forza esercitata dal piano, con $F_i$ il modulo della forza con la quale interagiscono le due palline e trascurando la forza peso, orientando un asse verticale verso l'alto si avrebbe:
$[m_2v_2+m_2v_0=(F_e-F_i)\Deltat] ^^ [m_1v_1+m_1v_0=F_i\Deltat] rarr [m_2v_2+m_1v_1+m_2v_0+m_1v_0=F_e\Deltat]$
Inoltre:
$[v_2=v_1=v_0] harr [F_i=m_1/(m_1+m_2)F_e]$
poiché:
$[2m_2v_0=(F_e-F_i)\Deltat] ^^ [2m_1v_0=F_i\Deltat] rarr [((F_e-F_i)\Deltat)/(2m_2)=(F_i\Deltat)/(2m_1)] rarr [F_i=m_1/(m_1+m_2)F_e]$
Insomma, non si comprende per quale motivo le due palline dovrebbero risalire con la medesima velocità, a meno che non si riesca a dimostrare che la relazione $[F_i=m_1/(m_1+m_2)F_e]$ sia sempre soddisfatta, impresa ovviamente impossibile e che non mi pare sia stata presa in considerazione. Ad ogni modo, mi sembra piuttosto evidente che il problema andasse interpretato diversamente. Anzi, proprio l'impossibilità di condurre l'analisi dell'urto a tre corpi dovrebbe indurre lo studente a modellizzarlo nell'unico modo in grado di fornire una soluzione univoca e, con le dovute precauzioni, riproducibile anche in laboratorio.
Difficile comprendere le dipendenze dell'altra soluzione in precedenza proposta. Quella soluzione è un vero e proprio atto di fede: $[F_i=m_1/(m_1+m_2)F_e]$ è sempre soddisfatta.
Non la considero una domanda a trabocchetto.
L'uso del plurale rimanda a due urti a due corpi, non a un singolo urto a tre corpi.
$[m_2v_2+m_2v_0=(F_e-F_i)\Deltat] ^^ [m_1v_1+m_1v_0=F_i\Deltat] rarr [m_2v_2+m_1v_1+m_2v_0+m_1v_0=F_e\Deltat]$
Inoltre:
$[v_2=v_1=v_0] harr [F_i=m_1/(m_1+m_2)F_e]$
poiché:
$[2m_2v_0=(F_e-F_i)\Deltat] ^^ [2m_1v_0=F_i\Deltat] rarr [((F_e-F_i)\Deltat)/(2m_2)=(F_i\Deltat)/(2m_1)] rarr [F_i=m_1/(m_1+m_2)F_e]$
Insomma, non si comprende per quale motivo le due palline dovrebbero risalire con la medesima velocità, a meno che non si riesca a dimostrare che la relazione $[F_i=m_1/(m_1+m_2)F_e]$ sia sempre soddisfatta, impresa ovviamente impossibile e che non mi pare sia stata presa in considerazione. Ad ogni modo, mi sembra piuttosto evidente che il problema andasse interpretato diversamente. Anzi, proprio l'impossibilità di condurre l'analisi dell'urto a tre corpi dovrebbe indurre lo studente a modellizzarlo nell'unico modo in grado di fornire una soluzione univoca e, con le dovute precauzioni, riproducibile anche in laboratorio.
"mgrau":
... questa soluzione dipende dalla disposizione delle palline ...
Difficile comprendere le dipendenze dell'altra soluzione in precedenza proposta. Quella soluzione è un vero e proprio atto di fede: $[F_i=m_1/(m_1+m_2)F_e]$ è sempre soddisfatta.
"Maschinna":
Si trovi l’altezza raggiunta da ciascuno dei due corpi dopo l’urto con il piano ...
Non la considero una domanda a trabocchetto.
"Maschinna":
... nel caso di urti perfettamente elastici.
L'uso del plurale rimanda a due urti a due corpi, non a un singolo urto a tre corpi.
Salve, ho visto che questo problema é stato posto qualche anno fa ma non é stato risolto: in particolare la soluzione della seconda richiesta, quella sulla velocità finale della pallina piú pesante, non corrisponde al risultato che mi trovo. Ho provato a risolverlo applicando la conservazione dell'Energia meccanica da subito dopo l'urto al momento in cui la pallina ritocca terra. La soluzione sul testo é $sqrt(2gh')$ con $h'=49h÷9$
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