Problema piano inclinato e corpi rigidi

[TS778LB]

Su un piano inclinato di un angolo $ \beta $ sono posti un corpo di massa $ \M_3 $, un rocchetto formato da due cilindri assiali: uno di massa $ \M_2 $ e raggio $ \R_2 $, l'altro di massa $ m $ e raggio $ r $. $ \M_3 $ è legata mediante una fune al rocchetto tramite avvolgimento sul cilindro più piccolo. La fune è tirata da una forza $ vecF $ orizzontale attraverso una carrucola di raggio $ R_1 $ e massa $ M_1 $. Supponendo tutte le funi inestensive e prive di massa, calcolare l'intensità di $ vecF $ affinchè $ M_3 $ salga con velocità costante nei seguenti casi:

1) Tutti gli attriti sono trascurabili e la fune sul rocchetto è incollata in modo che la lunghezza della fune avvolta sul rocchetto stesso non cambi nel tempo.

Ho pensato di considerare un unico sistema di massa pari a $ M_3+M_2+m $ sottoposto alla forza peso $ vecP=(M_3+M_2+m)vecg $ la cui componente parallela al piano vale $ P_p=(M_3+M_2+m)gsen\beta $ (la componente perpendicolare è equilibrata dalla normale al piano). Quindi $ \vecF $ deve avere intensità $ F $ tale che:
$ -Fcos\beta+(M_3+M_2+m)gsen\beta=0 $ e quindi $ F=(M_3+M_2+m)g\frac{sen\beta}{cos\beta}=(M_3+M_2+m)g tg\beta $

2) Aggiungendo l'attrito tra fune e carrucola che è tale che il filo non scorre sulla carrucola.

Ho pensato di considerare un unico sistema di massa pari a $ M_3+M_2+m $ sottoposto alla forza peso $ vecP=(M_3+M_2+m)vecg $ la cui componente parallela al piano vale $ P_p=(M_3+M_2+m)gsen\beta $ e alla tensione $ -\tau $. Quindi:
$ -Fcos\beta-\tau+(M_3+M_2+m)gsen\beta=0 $
Ho aggiunto a tale equazione la seconda equazione cardinale riferita alla carrucola:
$ FR_1-\tauR_1=I\alpha $
dove per i segni ho tenuto conto del fatto che $ F $ tende a far ruotare la carrucola in senso antiorario (positivo) e $ \tau $ in senso orario (negativo) (posso sempre ragionare così sui segni?). Dato che in filo non scorre sulla carrucola deve essere:
$ \alpha=\frac{a}{R} $ quindi:
$ FR_1-\tauR_1=I\frac{a}{R}=0$
Ottengo quindi il seguente sistema:
$ -Fcos\beta-\tau+(M_3+M_2+m)gsen\beta=0 $
$ FR_1-\tauR_1=0$ --> $ \tau=F $
Sostituendo:
$ F=\frac{(M_3+M_2+m)gsen\beta}{1+cos\beta} $

3) Aggiungendo attrito tra fune e carrucola e tra fune e rocchetto entrambi tali che non si abbia scorrimento della fune e aggiungendo attrito tra rocchetto e piano tale che il rocchetto rotoli senza strisciare. Resta trascurabile l'attrito tra $ M_3 $ e il piano.

Per questo punto avrei bisogno di qualche consiglio!
Nei primi due punti sono corretti i ragionamenti che faccio ed i risultati che ottengo?
Grazie

[Studente Anonimo]

La figura non è sufficientemente chiara. Immagino tu intendessi qualcosa del genere:

Se non mi sbaglio, le funi sono due: quella più in alto incollata, quella più in basso dipende.

[TS778LB]

si esatto!

[Studente Anonimo]

Però, nei primi due casi, la fune più in basso è incollata al rocchetto alla stessa altezza della fune più in alto. Viceversa, il rocchetto ruoterebbe e la fune più in basso non rimarrebbe parallela al piano inclinato, complicando notevolmente il problema. Insomma, se le mie supposizioni sono corrette, l'immagine allegata vale solo nel terzo caso.

Caso 3

Blocco

$M_3a_B=T_1-M_3gsin\beta$

Rocchetto

$(M_2+m)a_R=-T_1+T_2-(M_2+m)gsin\beta+F_a$

$3/2(M_2R_2^2+mr^2)\alpha_R=-T_1r+T_2R_2-(M_2+m)gR_2sin\beta$

Carrucola

$1/2M_1R_1^2\alpha_C=-T_2R_1+FR_1$

Condizione

$a_B=a_R=\alpha_R=\alpha_C=0$

Soluzione

$T_1=M_3gsin\beta$

$F=T_2=gsin\beta(M_2+m+r/R_2M_3)$

$F_a=M_3gsin\beta(1-r/R_2)$

[TS778LB]

Nell'analisi del rocchetto questo termine:
$-(M_2+m)gR_2sin\beta$
indica il momento della forza d'attrito? Se così fosse non dovrebbe essere $-\mu(M_2+m)gR_2cos\beta $?
Perchè nella carrucola non si considera il momento della forza d'attrito? La tensione $T_2$ non forma un certo angolo con $R_1$ includendo quindi nel calcolo del momento il seno dell'angolo?

Carrucola

$ 1/2M_1R_1^2\alpha_C=-T_2R_1+FR_1 $