Problema Piano inclinato
Salve a tutti, ho il seguente problema:
Un corpo di massa m=1kg è appoggiato su un cuneo avente angolo al vertice pari a 30°. Supponendo che il cuneo venga trainato in modo da muoversi verso sinistra di moto uniformemente accelerato con accelerazione Ac, si determini il valore massimo di tale accelerazione tale che il corpo rimanga fermo rispetto al cuneo.
Il primo punto del problema era facilmente risolvibile, mi chiedeva di calcolare il coefficiente d'attrito statico, quando il sistema era in quiete.
Io ho provato a risolverlo così:
Sulla massa m, agirà un forza parallela al cuneo verso sinistra uguale alla forza d'attrito e la componente x della Forza Peso, Quindi scrivo:
Fatt. + Px= m*a*cos(60°) . Come condizione affinché il corpo rimanga fermo impongo che l'accelerazione del cuneo sia uguale a quella della massa. Però questa soluzione non mi convince per niente, penso di aver sbagliato
Un corpo di massa m=1kg è appoggiato su un cuneo avente angolo al vertice pari a 30°. Supponendo che il cuneo venga trainato in modo da muoversi verso sinistra di moto uniformemente accelerato con accelerazione Ac, si determini il valore massimo di tale accelerazione tale che il corpo rimanga fermo rispetto al cuneo.
Il primo punto del problema era facilmente risolvibile, mi chiedeva di calcolare il coefficiente d'attrito statico, quando il sistema era in quiete.
Io ho provato a risolverlo così:
Sulla massa m, agirà un forza parallela al cuneo verso sinistra uguale alla forza d'attrito e la componente x della Forza Peso, Quindi scrivo:
Fatt. + Px= m*a*cos(60°) . Come condizione affinché il corpo rimanga fermo impongo che l'accelerazione del cuneo sia uguale a quella della massa. Però questa soluzione non mi convince per niente, penso di aver sbagliato
Risposte
Scusa, ma come facciamo a sapere cosa significa "sinistra" se non posti una figura?
Comunque per risolverlo, considera il cuneo come un sistema di riferimento mobile. Sul blocco, in quel sistema agiranno delle forze attive e delle forze apparenti. Imponi che l'accelerazione RELATIVA del blocco sia nulla e trovi l'accelerazione che soddisfa tale condizione.
Comunque per risolverlo, considera il cuneo come un sistema di riferimento mobile. Sul blocco, in quel sistema agiranno delle forze attive e delle forze apparenti. Imponi che l'accelerazione RELATIVA del blocco sia nulla e trovi l'accelerazione che soddisfa tale condizione.
@Nightow
Ho fatto il disegno allegato sotto spoiler, conforme a come penso di aver capito il sistema. C'è un cuneo, con angolo $\alpha= 30º$ al vertice, che è accelerato verso sinistra, rispetto a un piano orizzontale di scorrimento, con accelerazione $vecA$ . Sul cuneo poggia un oggetto , di massa $m$ ( ho pensato a un blocchetto) e peso $vecP = mvecg$ , e tra cuneo e oggetto c'è attrito, con $f$ = coefficiente di attrito statico.
A meno che l'accelerazione non sia tanto violenta da far schizzare via il blocco, che si staccherebbe dal piano descrivendo una parabola, il blocchetto è obbligato a rimanere sul piano inclinato del cuneo. Detto alla buona, se l'accelerazione è troppo piccola , il blocchetto potrebbe scivolare verso il basso ; se l'accelerazione è troppo grande, il blocchetto potrebbe invece muoversi verso l'alto.
Il problema vuole sapere qual è il massimo valore di accelerazione del cuneo, tale che il blocco non si muova rispetto ad esso.
Il piano inclinato esercita sul blocchetto una reazione $vecR$ , che ha un componente normale al piano $vecN=vecR_y$ (vedi figura) e un componente parallelo al piano $vecR_x$ ; più grande è l'accelerazione , maggiore è l'angolo tra la direzione di $vecR$ e la perpendicolare al p.i. ; tale angolo è dato da : $tg\theta = R_x/R_y$ . Per la condizione imposta dal problema, questa tangente può assumere il valore massimo $tg\theta = f$ , coefficiente di attrito.
Si tratta quindi di esaminare la condizione di quiete del blocchetto sul p.i. nella ipotesi che l'angolo di attrito sia quello massimo consentito, come detto ora.
Dal punto di vista di un osservatore inerziale esterno, quando il blocchetto rimane in quiete rispetto al cuneo esso assume la stessa accelerazione del cuneo, quindi la 2º equazione della dinamica si scrive semplicemente :
$mvecA = vecP + vecR$
Ma è preferibile il punto di vista di un osservatore NON inerziale, solidale al cuneo, per il quale si ha un semplice problema di equilibrio statico , per cui il blocco rimane in quiete sotto l'azione di tre forze : il peso $vecP$ , la reazione $vecR$ , e la forza fittizia di trascinamento $vecF_t = - mvecA$ (guarda la seconda figurina nel disegno) . Cioè deve essere:
$vecP + vecR + vecF_t = 0 $
Ho stabilito un sistema di coordinate $(x,y)$ , con $x$ parallelo al piano inclinato e $y$ perpendicolare . Basta scomporre le tre forze prima scritte secondo i due assi , per avere :
$N-F_t cos\alpha -Psen\alpha = 0 $
$fN +F_tsen\alpha - P cos\alpha = 0 $
da cui, con alcuni passaggi , si ricava infine : $F_t = P (cos\alpha-fsen\alpha)/(fcos\alpha+sen\alpha)$
nota $F_t$ , basta dividere per la massa, e si ottiene $A$ . Poi si può calcolare anche $N$ dalla prima delle due equazioni su scritte .
Ho fatto il disegno allegato sotto spoiler, conforme a come penso di aver capito il sistema. C'è un cuneo, con angolo $\alpha= 30º$ al vertice, che è accelerato verso sinistra, rispetto a un piano orizzontale di scorrimento, con accelerazione $vecA$ . Sul cuneo poggia un oggetto , di massa $m$ ( ho pensato a un blocchetto) e peso $vecP = mvecg$ , e tra cuneo e oggetto c'è attrito, con $f$ = coefficiente di attrito statico.
A meno che l'accelerazione non sia tanto violenta da far schizzare via il blocco, che si staccherebbe dal piano descrivendo una parabola, il blocchetto è obbligato a rimanere sul piano inclinato del cuneo. Detto alla buona, se l'accelerazione è troppo piccola , il blocchetto potrebbe scivolare verso il basso ; se l'accelerazione è troppo grande, il blocchetto potrebbe invece muoversi verso l'alto.
Il problema vuole sapere qual è il massimo valore di accelerazione del cuneo, tale che il blocco non si muova rispetto ad esso.
Il piano inclinato esercita sul blocchetto una reazione $vecR$ , che ha un componente normale al piano $vecN=vecR_y$ (vedi figura) e un componente parallelo al piano $vecR_x$ ; più grande è l'accelerazione , maggiore è l'angolo tra la direzione di $vecR$ e la perpendicolare al p.i. ; tale angolo è dato da : $tg\theta = R_x/R_y$ . Per la condizione imposta dal problema, questa tangente può assumere il valore massimo $tg\theta = f$ , coefficiente di attrito.
Si tratta quindi di esaminare la condizione di quiete del blocchetto sul p.i. nella ipotesi che l'angolo di attrito sia quello massimo consentito, come detto ora.
Dal punto di vista di un osservatore inerziale esterno, quando il blocchetto rimane in quiete rispetto al cuneo esso assume la stessa accelerazione del cuneo, quindi la 2º equazione della dinamica si scrive semplicemente :
$mvecA = vecP + vecR$
Ma è preferibile il punto di vista di un osservatore NON inerziale, solidale al cuneo, per il quale si ha un semplice problema di equilibrio statico , per cui il blocco rimane in quiete sotto l'azione di tre forze : il peso $vecP$ , la reazione $vecR$ , e la forza fittizia di trascinamento $vecF_t = - mvecA$ (guarda la seconda figurina nel disegno) . Cioè deve essere:
$vecP + vecR + vecF_t = 0 $
Ho stabilito un sistema di coordinate $(x,y)$ , con $x$ parallelo al piano inclinato e $y$ perpendicolare . Basta scomporre le tre forze prima scritte secondo i due assi , per avere :
$N-F_t cos\alpha -Psen\alpha = 0 $
$fN +F_tsen\alpha - P cos\alpha = 0 $
da cui, con alcuni passaggi , si ricava infine : $F_t = P (cos\alpha-fsen\alpha)/(fcos\alpha+sen\alpha)$
nota $F_t$ , basta dividere per la massa, e si ottiene $A$ . Poi si può calcolare anche $N$ dalla prima delle due equazioni su scritte .
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