Problema - per chi si vuole cimentare
Visto che ultimamente si parla tanto di elettromagnetismo, vi posto un problema che magari a qualcuno può essere utile come esercizio.
Una sfera di raggio $R$, sulla cui superficie esterna è distribuita con densità uniforme una carica positica $q$, ruota con velocità angolare $\omega$ attorno ad un suo diametro ($\omega$ vettore è positivo diretto lungo $z$)
Si ponga un sistema di riferimento cartesiano con l'asse z uscente positivo e radiale alla sfera.
1. Calcolare il momento magnetico della sfera
2. Calcolare il campo magnetico prodotto dalla sfera ad una distanza $z>>R$ (specificarne intensità e direzione)
A distanza $L>>R$ è posta una spira circolare di diametro $d<
4. Calcolare la forza magnetica agente sulla spira sotto l'effetto del campo generato dalla sfera
Nell'ipotesi che il piano della spira sia inclinato di un angolo $\theta$:
5. Calcolare il momento torcente che agisce sulla spira.
6. Calcolare l'energia potenziale della spira
Una sfera di raggio $R$, sulla cui superficie esterna è distribuita con densità uniforme una carica positica $q$, ruota con velocità angolare $\omega$ attorno ad un suo diametro ($\omega$ vettore è positivo diretto lungo $z$)
Si ponga un sistema di riferimento cartesiano con l'asse z uscente positivo e radiale alla sfera.
1. Calcolare il momento magnetico della sfera
2. Calcolare il campo magnetico prodotto dalla sfera ad una distanza $z>>R$ (specificarne intensità e direzione)
A distanza $L>>R$ è posta una spira circolare di diametro $d<
4. Calcolare la forza magnetica agente sulla spira sotto l'effetto del campo generato dalla sfera
Nell'ipotesi che il piano della spira sia inclinato di un angolo $\theta$:
5. Calcolare il momento torcente che agisce sulla spira.
6. Calcolare l'energia potenziale della spira
Risposte
Dimostro il primo.
Possiamo dividere la sup.sferica in zone sferiche infinitesime di raggio $Rcos theta$ ed altezza $Rd theta$ e quindi di area data da $2pi (Rcos theta) R d theta=2pi R^2 cos theta d theta$ ( $theta $ è l'angolo tra il raggio ed il piano xy).
La carica su questa zona sarà $2pi R^2 cos theta*q/(4 pi R^2)=(qcos theta)/2d theta$ e la zona medesima ,nella sua rotazione,si può assimilare ad una spira (infinitesima) di area data $pi(Rcos theta)^2$ e corrente data da $(qcos theta)/2d theta*(omega)/(2 pi)=(q omega)/(4 pi) cos theta d theta$
Pertanto il momento magnetico (elementare) associato a tale spira è:
$d vec(m)= (q omega)/(4 pi) cos theta d theta *pi R^2 cos^2 theta * hat(z)=(qR^2 omega)/4cos^3 theta d theta* hat(z)$
Il momento totale si ottiene integrando su $theta $ in $[0,(pi)/2]$ e raddoppiando :
$vec(M)=2(q R^2 omega)/4 *hat(z)* int_0^((pi)/2)cos^3 theta d theta=(q R^2 omega)/2| sin theta -1/3sin^3 theta|_0^((pi)/2) *hat(z)=1/3qomegaR^2 *hat(z)$
Oppure in funzione della densità di carica $sigma=q/(4piR^2):
$vec(M)=1/3* 4 pi R^2 sigma omegaR^2 *hat(z)=4/3piR^4omega sigma *hat(z)$
Ciao
Possiamo dividere la sup.sferica in zone sferiche infinitesime di raggio $Rcos theta$ ed altezza $Rd theta$ e quindi di area data da $2pi (Rcos theta) R d theta=2pi R^2 cos theta d theta$ ( $theta $ è l'angolo tra il raggio ed il piano xy).
La carica su questa zona sarà $2pi R^2 cos theta*q/(4 pi R^2)=(qcos theta)/2d theta$ e la zona medesima ,nella sua rotazione,si può assimilare ad una spira (infinitesima) di area data $pi(Rcos theta)^2$ e corrente data da $(qcos theta)/2d theta*(omega)/(2 pi)=(q omega)/(4 pi) cos theta d theta$
Pertanto il momento magnetico (elementare) associato a tale spira è:
$d vec(m)= (q omega)/(4 pi) cos theta d theta *pi R^2 cos^2 theta * hat(z)=(qR^2 omega)/4cos^3 theta d theta* hat(z)$
Il momento totale si ottiene integrando su $theta $ in $[0,(pi)/2]$ e raddoppiando :
$vec(M)=2(q R^2 omega)/4 *hat(z)* int_0^((pi)/2)cos^3 theta d theta=(q R^2 omega)/2| sin theta -1/3sin^3 theta|_0^((pi)/2) *hat(z)=1/3qomegaR^2 *hat(z)$
Oppure in funzione della densità di carica $sigma=q/(4piR^2):
$vec(M)=1/3* 4 pi R^2 sigma omegaR^2 *hat(z)=4/3piR^4omega sigma *hat(z)$
Ciao
Secondo esercizio
Il campo magnetico prodotto da una spira,sull'asse di essa e a grandi distanza dal centro,è dato da:
$vec(B)=(mu_o r^2)/(2z^3) i hat(z)$ dove r è il raggio della spira.Nel nostro caso,per quanto prima detto,è $r=Rcos theta,i=omega R^2 sigma cos theta d theta$ e quindi :
$d vec(B)=(mu_o)/(2z^3) omega R^4 sigma cos^3 theta d theta hat(z)$
Integrando su $theta$ in $[0,(pi)/2]$ e raddoppiando si ottiene:
$vec(B)=(mu_o)/(z^3) omega R^4 sigma*2/3 hat(z)$ ma $omega R^4 sigma=(3M)/(4pi)$ e dunque:
$vec(B)=(u_o)/(z^3)*(3M)/(4pi)*2/3 hat(z)=(mu_o)/(2 pi z^3) vec(M)$
Terzo esercizio
Come ricordato anche nel primo esercizio ,il momento magnetico di una spira ha modulo dato da =(area_spira)*(intensità_corrente) e quindi:
$vec(m)=-pi(d/2)^2i hat(z)$
Il segno meno e' dovuto al fatto che per ipotesi la corrente scorre nella spira in senso orario e quindi il momento magnetico è orientato nel verso negativo dell'asse z
Ciao
Il campo magnetico prodotto da una spira,sull'asse di essa e a grandi distanza dal centro,è dato da:
$vec(B)=(mu_o r^2)/(2z^3) i hat(z)$ dove r è il raggio della spira.Nel nostro caso,per quanto prima detto,è $r=Rcos theta,i=omega R^2 sigma cos theta d theta$ e quindi :
$d vec(B)=(mu_o)/(2z^3) omega R^4 sigma cos^3 theta d theta hat(z)$
Integrando su $theta$ in $[0,(pi)/2]$ e raddoppiando si ottiene:
$vec(B)=(mu_o)/(z^3) omega R^4 sigma*2/3 hat(z)$ ma $omega R^4 sigma=(3M)/(4pi)$ e dunque:
$vec(B)=(u_o)/(z^3)*(3M)/(4pi)*2/3 hat(z)=(mu_o)/(2 pi z^3) vec(M)$
Terzo esercizio
Come ricordato anche nel primo esercizio ,il momento magnetico di una spira ha modulo dato da =(area_spira)*(intensità_corrente) e quindi:
$vec(m)=-pi(d/2)^2i hat(z)$
Il segno meno e' dovuto al fatto che per ipotesi la corrente scorre nella spira in senso orario e quindi il momento magnetico è orientato nel verso negativo dell'asse z
Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo