Problema: pendolo e forze inerziali

[tortellino2]

Non riesco a risolvere un problema, che probabilmente è esageratamente facile :
Un pendolo di massa $m$ lungo \(\displaystyle l \) è montato dentro un vagone. Il vagone parte da fermo e accelera per un tempo \(\displaystyle \tau \); il pendolo si sposta dalla verticale di angolo \(\displaystyle \alpha \). Quanto spazio è stato percorso dal vagone nel tempo \(\displaystyle \tau \)

Allora io ho pensato che la forza applicata sul pendolo è la seguente \(\displaystyle F = mg - ma \) dove \(\displaystyle a \) è l'accelerazione che acquista il vagone, di conseguenza si sviluppa sul pendolo una forza inerziale di verso contrario all'accelerazione.
Ora mi calcolo la forza \(\displaystyle F \), per fare questo calcolo il lavoro compiuto dal pendolo
\(\displaystyle W = mgh = mgl(1-cosα) \) e \(\displaystyle W=E_k^f - E_k^i =\frac{1}{2}mv^2- 0\)
dunque \(\displaystyle v^2=2gl(1-cos\alpha) \)
estraggo la radice e poi inserisco la velocità nella prima eq
\(\displaystyle m\frac{dv}{dt} = mg -ma \)
il problema sorge qui perchè la derivata mi viene un po' bruttina, (alta probabilità che abbia sbagliato)
eccola \(\displaystyle \frac{dv}{dt} = \sqrt(2gl) \frac{\alpha sin\alpha}{\sqrt(2gl(1-cos\alpha))} \)
a prima vista non promette bene
mancano gli ultimi passaggi, ma trovata l'accelerazione poi non è più un problema. Siccome non ho il risultato, è giusta la risoluzione, oppure ho sbagliato tutto?

[Quinzio]

Non perdiamoci in un bicchier d'acqua.
$a = g\ tan \alpha$

$s=1/2 a\tau^2 = 1/2 \tau^2 g\ tan\alpha$

[tortellino2]

scusami, da cosa lo ricavi che \(\displaystyle a = g\ tan \alpha \)?
dove ho sbagliato?

[Quinzio]

Se disegni un grafico del pendolo con i vettori delle forze è tutto molto evidente.