Problema Pendolo- Carrello

[lawrencepad]

Un pendolo semplice di massa $m=2kg$ e lunghezza $l=2,3m$ è appesa a un carrello sospeso di massa $M=10kg$ che può muoversi senza attrito lungo una guida orizzontale. Inizialmente il sistema è fermo come in figura con il filo teso. Successivamente $m$ è lasciato cadere. Determinare, nell'istante in cui il pendolo è in direzione verticale:
a) $\Deltax$ del carrello
b) $|v|$ del carrello
c) $T$ del filo[img]



Io sono solo riuscito a calcolarmi la tensione del filo.
Quando siamo sulla verticale abbiamo solamente la for[/img]za peso della massa e la tensione del filo:

$P-T=mv^2/l$

$T=m(g-v^2/l)$

per trovare la velocità in quell'istante posso provare con la variazione dell'energia meccanica:

se pongo un sistema di riferimento con centro $O$ coincidente con la posizione occupata dalla massa quando è in verticale allora:

$mgl=1/2mv^2$ da cui

$v^2=2gl$

perciò

$T=m(g-2g)$ quindi $T=-mg$

Ma non so se è corretto.. per gli altri due punti non so come comportarmi! Chi mi da un aiuto?

[anonymous_0b37e9]

Premesso che sei completamente fuori strada (solo per fare un esempio, non puoi conservare l'energia meccanica senza considerare l'energia cinetica del carrello), si può determinare lo spostamento del carrello osservando che il centro di massa del sistema non si sposta lungo l'orizzontale. Per quanto riguarda la tensione del filo (dopo aver determinato, conservando la quantità di moto lungo l'orizzontale e l'energia meccanica, le velocità orizzontali del carrello e del pendolo quando quest'ultimo è lungo la verticale), essendo tutt'altro che immediato determinare il raggio di curvatura del pendolo rispetto a un sistema di riferimento inerziale, conviene procedere rispetto a un sistema di riferimento solidale al carrello (nel quale il raggio di curvatura del pendolo è semplicemente $l$).

[lawrencepad]

"anonymous_0b37e9":Premesso che sei completamente fuori strada (solo per fare un esempio, non puoi conservare l'energia meccanica senza considerare l'energia cinetica del carrello), si può determinare lo spostamento del carrello osservando che il centro di massa del sistema non si sposta lungo l'orizzontale. Per quanto riguarda la tensione del filo (dopo aver determinato, conservando la quantità di moto lungo l'orizzontale e l'energia meccanica, le velocità orizzontali del carrello e del pendolo quando quest'ultimo è lungo la verticale), essendo tutt'altro che immediato determinare il raggio di curvatura del pendolo rispetto a un sistema di riferimento inerziale, conviene procedere rispetto a un sistema di riferimento solidale al carrello (nel quale il raggio di curvatura del pendolo è semplicemente $l$).

Quindi io applicando la conservazione del centro di massa posso giungere alla posizione finale del carrello.
Posso porre come origine del sistema di riferimento la posizione del carrello iniziale, quindi avrei

$X_(cm0)= X_(cm1)$

$(M*0+m*l)/(M+m) = (m*0+M*X_M)/(M+m)$

(a destra dell'equazione $m*0$ è nullo perché quando la massa piccola è in verticale, occupa allo stesso tempo la ascissa 0 del mio sistema di riferimento)

quindi

$ml=M*X_M$

$X_M=(m/M)*l = 0,46m$

è corretto?

[anonymous_0b37e9]

"lawrencepad":

$(M*0+m*l)/(M+m) = (m*0+M*X_M)/(M+m)$

(a destra dell'equazione $m*0$ è nullo perché quando la massa piccola è in verticale, occupa allo stesso tempo la ascissa 0 del mio sistema di riferimento)

Come puoi sostenere una tesi del genere? Quando il pendolo è lungo la verticale, la sua ascissa è uguale a quella del carrello.

[lawrencepad]

Non sto capendo, l'ascissa sulla verticale non è 0? Io sto supponendo che il sistema di riferimento abbia origine proprio li...

[lawrencepad]

quindi a destra di quell'equazione avremmo:

$(mX + MX)/(M+m)$ ?

[anonymous_0b37e9]

Direi proprio di sì. Insomma, l'ascissa finale del carrello è uguale all'ascissa iniziale del centro di massa.