Problema non risolto di fisica 2
Ho trovato questo problema difficile su internet (non conosco la soluzione ).
Una sfera conduttrice con carica totale Q è divisa in 2 metà.Quale forza è necessaria per tenere insieme le 2 parti?
(livello di difficoltà: serio).Qualche idea?
Una sfera conduttrice con carica totale Q è divisa in 2 metà.Quale forza è necessaria per tenere insieme le 2 parti?
(livello di difficoltà: serio).Qualche idea?
Risposte
Bè potresti considerare le due metà della sfera come due punti materiali di carica Q/2 posti nei centri di carica delle due semisfere e calcolarti la forza di repulsione tra le due. I centri di carica sono l'analogo del centro di massa per le distribuzioni di carica, intendo che sono definiti dalle stesse equazioni. Oppure, ma mi pare più difficile, calcolarti il campo elettrico generato da una delle due semisfere e integrarlo sul volume della seconda per ottenere la forza totale...
Ci ho già provato col metodo del centro di carica, però mi viene da risolvere un'equazione irrazionale.
Avrò sbagliato qualcosa?
Mah...
Avrò sbagliato qualcosa?
Mah...
Siccome il baricentro di una semisfera è situato lungo l'asse ad una distanza di $3/8R$ dal centro devi solo calcolare la forza che una carica puntiforme esercita su un'altra uguale posta ad una distanza di $3/4R$ da essa, sai che le cariche valgono $Q/2$, usi la legge di Coulomb e hai fatto. Ma com'è che ti esce un'equazione irrazionale?
[asvg]axes();
var Q1 = [1.8750,0]; dot(Q1);
text(Q1, "Q/2", above);
var Q2 = [-1.8750,0]; dot(Q2);
text(Q2, "Q/2", above);
circle([0,0], 5);
stroke = "red"; strokewidth=3;
line([0, -5], [0,5]);[/asvg]
[asvg]axes();
var Q1 = [1.8750,0]; dot(Q1);
text(Q1, "Q/2", above);
var Q2 = [-1.8750,0]; dot(Q2);
text(Q2, "Q/2", above);
circle([0,0], 5);
stroke = "red"; strokewidth=3;
line([0, -5], [0,5]);[/asvg]
"alle.fabbri":
Siccome il baricentro di una semisfera è situato lungo l'asse ad una distanza di $3/8R$ dal centro devi solo calcolare la forza che una carica puntiforme esercita su un'altra uguale posta ad una distanza di $3/4R$ da essa, sai che le cariche valgono $Q/2$, usi la legge di Coulomb e hai fatto.
Beh non so se si può usare la formula del centro di massa così come fai tu, e per due ragioni.
La prima ragione è che si tratta di sfera conduttrice, dunque la carica è solo superficiale per cui, casomai, occorrerebbe trovare il centro di massa di un guscio semi sferico e non di una semi sfera piena.
E comunque la formula del centro di massa mi pare non vada bene, perché il centro di massa coincide col baricentro solo in un campo gravitazionale uniforme, mentre in questo caso il campo proviene da un centro virtuale situato sull'asse. Per calcolare la posizione del centro di carica ho assunto che le forze provengano da un punto simmetrico... per questo integrando mi esce una cosa irrazionale .
Ma, ripeto, non so se ho fatto giusto però.
Giusto...io stavo considerando la sfera come se fosse una distribuzione volumica e uniforme di carica. Però se così fosse il ragionamento del centro di carica sarebbe corretto, giusto? Continuo a rifletterci...
Ah un'altra cosa. Mi sembra di ricordare che la differenza tra centro di massa e baricentro è solo che il secondo è un caso particolare del primo per distribuzioni uniformi di massa. Non mi pare che sia una questione relativa alla forma delle forze che agiscono sul corpo in questione, purchè soddisfino il terzo principio. Parliamo pure di gravità tanto la forma della forza è la stessa.
Ah un'altra cosa. Mi sembra di ricordare che la differenza tra centro di massa e baricentro è solo che il secondo è un caso particolare del primo per distribuzioni uniformi di massa. Non mi pare che sia una questione relativa alla forma delle forze che agiscono sul corpo in questione, purchè soddisfino il terzo principio. Parliamo pure di gravità tanto la forma della forza è la stessa.
Ti dico come ho proceduto.
Ipotizzando che si possa assimilare la forza complessiva assiale del guscio semi sferico come proveniente da un punto sull'asse con carica puntiforme Q/2, ipotizzo che questo punto disti D dal centro della sfera.
Scrivo la formula della forza elementare tra una carica Q/2 situata in questo punto e un anello elementare infinitamente sottile preso sull'altra semisfera, e poi integro sull'intera semisfera.
La forza risultante la metto uguale a quella tra due cariche uguali Q/2 poste sull'asse in posizioni simmetriche al centro e distanti tra loro 2D. Ricavo così D e poi metto il suo valore nell'espressione della forza.
Così ho fatto e dall'integrale mi esce un logaritmo naturale, e quindi poi l'equazione irrazionale che dicevo.
Io però continuo ad avere grossi dubbi che si possa fare così.
Ipotizzando che si possa assimilare la forza complessiva assiale del guscio semi sferico come proveniente da un punto sull'asse con carica puntiforme Q/2, ipotizzo che questo punto disti D dal centro della sfera.
Scrivo la formula della forza elementare tra una carica Q/2 situata in questo punto e un anello elementare infinitamente sottile preso sull'altra semisfera, e poi integro sull'intera semisfera.
La forza risultante la metto uguale a quella tra due cariche uguali Q/2 poste sull'asse in posizioni simmetriche al centro e distanti tra loro 2D. Ricavo così D e poi metto il suo valore nell'espressione della forza.
Così ho fatto e dall'integrale mi esce un logaritmo naturale, e quindi poi l'equazione irrazionale che dicevo.
Io però continuo ad avere grossi dubbi che si possa fare così.
Forse che davvero la notte porta consiglio?
Stamattina il problema mi pare facile... non so se è l'ennesimo abbaglio però provo a dire quello che mi è venuto in mente.
Presa una sfera carica di raggio R, è noto il campo elettrico alla superficie $E=Q/(4\pi\epsilon_0R^2)$
Presa una carichetta superficiale di valore $dq$ questa è dunque soggetta a una forza radiale pari a $dF_r=Q/(4\pi\epsilon_0R^2)dq$.
Tracciato dunque un asse di questa sfera (ad esempio giacente sul piano equatoriale e passante per il centro della sfera) e immaginando la sfera tagliata in due mezze sfere secondo il piano meridiano ortogonale a quest'asse, la somma delle forze elementari che agiscono sulle cariche di mezza sfera è la forza cercata. Basta dunque considerare solo le componenti di queste forze elementari nella direzione dell'asse tracciato (le altre componenti si annullano per simmetria). L'integrale viene facile e il risultato anche (appena ho tempo di ragionarci meglio posto i dettagli).
Sarà così o mi sbaglio ancora?
Ciao!
Vado coi dettagli.
$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon _0R^2}$
$dF_r = \frac{Q}{4\pi \varepsilon _0R^2}dq = \frac{Q}{4\pi \varepsilon _0R^2}\sigma dA$
questa è la forza radiale elementare, $\sigma$ è la densità di carica superficiale, dA è l'elemento di area che in coordinate sferiche vale
$dA = R^2\cos \varphi d\varphi d\theta $ dove $\varphi$ è la latitudine e $\theta$ è la longitudine.
La componente però che interessa è quella assiale, direzione per comodità coincidente con latitudine e longitudine nulle
$dF_a = dF_r\cos \varphi \cos \theta=\frac{Q\sigma }{4\pi \varepsilon _0}\cos ^2\varphi \cos \theta d\varphi d\theta $
Pertanto si ha.
$F_a = \frac{Q\sigma }{4\pi \varepsilon _0}\int_ - \frac{\pi }{2}^\frac{\pi }{2} \cos ^2\varphi d\varphi \int_ - \frac{\pi }{2}^\frac{\pi }{2} \cos \theta d\theta $
Gli integrali sono di facile calcolo
$\int_ - \frac{\pi }{2}^\frac{\pi }{2} \cos \theta d\theta = 2$
$\int_ - \frac{\pi }{2}^\frac{\pi }{2} \cos ^2\varphi d\varphi = \frac{\pi }{2}$
Si giunge quindi al seguente risultato
$F_a = \frac{Q\sigma }{4\varepsilon _0}$
Sapendo che $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ si ha la formula finale
$F_a = \frac{Q^2}{16\pi \varepsilon _0 R^2}$
Interessante notare che questo risultato si può anche scrivere così
$F_a = \frac{\frac{Q}{2}\frac{Q}{2}}{4\pi \varepsilon _0R^2}$
dunque si può concludere che la forza di repulsione delle due semisfere coincide con la forza di repulsione di due cariche uguali puntiformi di carica Q/2 poste a distanza R.
$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon _0R^2}$
$dF_r = \frac{Q}{4\pi \varepsilon _0R^2}dq = \frac{Q}{4\pi \varepsilon _0R^2}\sigma dA$
questa è la forza radiale elementare, $\sigma$ è la densità di carica superficiale, dA è l'elemento di area che in coordinate sferiche vale
$dA = R^2\cos \varphi d\varphi d\theta $ dove $\varphi$ è la latitudine e $\theta$ è la longitudine.
La componente però che interessa è quella assiale, direzione per comodità coincidente con latitudine e longitudine nulle
$dF_a = dF_r\cos \varphi \cos \theta=\frac{Q\sigma }{4\pi \varepsilon _0}\cos ^2\varphi \cos \theta d\varphi d\theta $
Pertanto si ha.
$F_a = \frac{Q\sigma }{4\pi \varepsilon _0}\int_ - \frac{\pi }{2}^\frac{\pi }{2} \cos ^2\varphi d\varphi \int_ - \frac{\pi }{2}^\frac{\pi }{2} \cos \theta d\theta $
Gli integrali sono di facile calcolo
$\int_ - \frac{\pi }{2}^\frac{\pi }{2} \cos \theta d\theta = 2$
$\int_ - \frac{\pi }{2}^\frac{\pi }{2} \cos ^2\varphi d\varphi = \frac{\pi }{2}$
Si giunge quindi al seguente risultato
$F_a = \frac{Q\sigma }{4\varepsilon _0}$
Sapendo che $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ si ha la formula finale
$F_a = \frac{Q^2}{16\pi \varepsilon _0 R^2}$
Interessante notare che questo risultato si può anche scrivere così
$F_a = \frac{\frac{Q}{2}\frac{Q}{2}}{4\pi \varepsilon _0R^2}$
dunque si può concludere che la forza di repulsione delle due semisfere coincide con la forza di repulsione di due cariche uguali puntiformi di carica Q/2 poste a distanza R.
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