Problema moto traslatorio+rotatorio
Per chi ha l'Halliday quinta edizione il problema è a pagina 240 n 5
"Una palla da biliardo inizialmente a riposo viene colpita in modo deciso da una stecca tenuta orizzontale ad altezza $h$ rispetto alla linea passante per il centro della palla (aggiungo io: in figura si vede una forza $F$ orizzontale applicata sulla superficie sferica ad un altezza dal suolo pari a $R+h$, o come dice il problema ad una distanza $h$ dalla retta orizzontale passante per il centro della sfera) .La palla parte con velocità $v_0$ e, a causa dell "effetto" impartito, concorde con la direzione del moto, accelera fino a raggiungere una velocità di $9/7 v_0$. Si dimostri che $h=4/5 R$, ove $R$ è il raggio della palla"
Innanzitutto un paio di chiarimenti\osservazioni ecc: In accordo con il teorema dell'impulso la forza $F$ applicata per un certo intervallo di tempo modifica la quantità di moto della palla -(avente una certa massa $M$)- dal valore zero al valore $M*v_0$.
Inoltre calcolando il momento $tau$ di questa forza rispetto al centro della palla otteniamo il valore $F*R*sin alpha$, dove a $sin alpha$ è immediato sostituire $h/R$ e quindi ottenere infine per il $tau$ il valore $F*h$. Questo momento della forza $F$, applicato naturalmente per lo stesso intervallo di tempo precedente, modifica il momento angolare della palla -(avente momento d'inerzia $I$ pari a $2/5*M*R^2$)- da un valore zero a un certo valore che non sappiamo per ora $I*omega$ (quest'ultima formula giustificata dal fatto che l'asse di rotazione è un asse di simmetria per il corpo.)
Torniamo al problema; presumo che con "effetto" si intenda il momento angolare acquisito, o la velocità angolare...insomma rotola
.
Ora il problema non fornisce altri dati. Dopo l'impulso della forza $F$ la palla possiede una quantità di moto e un momento angolare, che in assenza di altre forze (appunto non descritte dal problema), dovrebbero rimare costanti, mentre nel problema si dice che la palla accelera fino ad acquisire una certa velocità finale.
La cosa più naturale che mi è venuta da pensare è che questa forza sia l'attrito tra la palla e il piano, che agisce fintanto che la velocità della palla non raggiunge il valore $9/7 v_0$ e nel contempo il moto diventa di puro rotolamento (cioè la $omega$ della palla raggiunge il valore $9/7 v_0/R$). Naturalmente l'attrito agirà per un certo intervallo di tempo ecc, insomma il discorso iniziale...
Solo che da queste premesse ho riempito due facciate e mi ritrovo 4 equazioni in 5 incognite (i 2 intervalli di tempo in cui agiscono prima la forza $F$ poi l'attrito, la $omega$ iniziale della palla, il coeff d'attrito e naturalmente $h$).
Quindi prima di tutto mi piacerebbe sapere se concordate con la mia interpretazione (non postate la soluzione se l'avete eh ). In caso negativo esprimetevi, in caso affermativo vi posto i miei passaggi.
Grazie della'attenzione, Nottenotte (o ben svegliati
)
"Una palla da biliardo inizialmente a riposo viene colpita in modo deciso da una stecca tenuta orizzontale ad altezza $h$ rispetto alla linea passante per il centro della palla (aggiungo io: in figura si vede una forza $F$ orizzontale applicata sulla superficie sferica ad un altezza dal suolo pari a $R+h$, o come dice il problema ad una distanza $h$ dalla retta orizzontale passante per il centro della sfera) .La palla parte con velocità $v_0$ e, a causa dell "effetto" impartito, concorde con la direzione del moto, accelera fino a raggiungere una velocità di $9/7 v_0$. Si dimostri che $h=4/5 R$, ove $R$ è il raggio della palla"
Innanzitutto un paio di chiarimenti\osservazioni ecc: In accordo con il teorema dell'impulso la forza $F$ applicata per un certo intervallo di tempo modifica la quantità di moto della palla -(avente una certa massa $M$)- dal valore zero al valore $M*v_0$.
Inoltre calcolando il momento $tau$ di questa forza rispetto al centro della palla otteniamo il valore $F*R*sin alpha$, dove a $sin alpha$ è immediato sostituire $h/R$ e quindi ottenere infine per il $tau$ il valore $F*h$. Questo momento della forza $F$, applicato naturalmente per lo stesso intervallo di tempo precedente, modifica il momento angolare della palla -(avente momento d'inerzia $I$ pari a $2/5*M*R^2$)- da un valore zero a un certo valore che non sappiamo per ora $I*omega$ (quest'ultima formula giustificata dal fatto che l'asse di rotazione è un asse di simmetria per il corpo.)
Torniamo al problema; presumo che con "effetto" si intenda il momento angolare acquisito, o la velocità angolare...insomma rotola
. Ora il problema non fornisce altri dati. Dopo l'impulso della forza $F$ la palla possiede una quantità di moto e un momento angolare, che in assenza di altre forze (appunto non descritte dal problema), dovrebbero rimare costanti, mentre nel problema si dice che la palla accelera fino ad acquisire una certa velocità finale.
La cosa più naturale che mi è venuta da pensare è che questa forza sia l'attrito tra la palla e il piano, che agisce fintanto che la velocità della palla non raggiunge il valore $9/7 v_0$ e nel contempo il moto diventa di puro rotolamento (cioè la $omega$ della palla raggiunge il valore $9/7 v_0/R$). Naturalmente l'attrito agirà per un certo intervallo di tempo ecc, insomma il discorso iniziale...
Solo che da queste premesse ho riempito due facciate e mi ritrovo 4 equazioni in 5 incognite (i 2 intervalli di tempo in cui agiscono prima la forza $F$ poi l'attrito, la $omega$ iniziale della palla, il coeff d'attrito e naturalmente $h$).
Quindi prima di tutto mi piacerebbe sapere se concordate con la mia interpretazione (non postate la soluzione se l'avete eh
). In caso negativo esprimetevi, in caso affermativo vi posto i miei passaggi.Grazie della'attenzione, Nottenotte (o ben svegliati
)
Risposte
Niente ritirate tutto. Mi sono accorto che il secondo intervallo di tempo e il coeff d'attrito potevo considerarli come un'unica costante (comparivano due volte sempre come prodotto), quindi con altre due facciate ho risolto. Se qualcuno legge ed è interessato alla soluzione non ha che da chiedere.
Ok.
Ma tutte quelle facciate di calcoli mi sembrano troppi!
Cosa hai fatto?
Conservazione quantità di moto:
$F=mv_0$ ($F$ si deve interpretare come impulso)
conservazione momento quantità di moto rispetto a un punto sul piano (in modo che l'attrito non dia contributo):
$F(R+h)=m 9/7 v_0 R + I 9/7 v_0 / R$
ho applicato qui il teorema di Konig per cui il momento di quantità di moto della palla è uguale a quello immaginando tutta la massa della palla concentrata nel centro di massa più quello osservato dal centro di massa (per cui $I = 2/5 m R^2$).
Sostituendo la $F$ dalla prima si risolve.
Ma tutte quelle facciate di calcoli mi sembrano troppi!
Cosa hai fatto?
Conservazione quantità di moto:
$F=mv_0$ ($F$ si deve interpretare come impulso)
conservazione momento quantità di moto rispetto a un punto sul piano (in modo che l'attrito non dia contributo):
$F(R+h)=m 9/7 v_0 R + I 9/7 v_0 / R$
ho applicato qui il teorema di Konig per cui il momento di quantità di moto della palla è uguale a quello immaginando tutta la massa della palla concentrata nel centro di massa più quello osservato dal centro di massa (per cui $I = 2/5 m R^2$).
Sostituendo la $F$ dalla prima si risolve.
grazie Faussone dell'interessamento, le pagine le riempo per due motivi:1-diffilmente risolvo un problema per la via più facile (non per scelta eh ) 2-sbaglio spesso i calcoletti e li rifaccio sempre da capo
poi di questo Konig non ne sapevo nulla, andrò a cercarlo. grazie ancora
) 2-sbaglio spesso i calcoletti e li rifaccio sempre da capopoi di questo Konig non ne sapevo nulla, andrò a cercarlo. grazie ancora
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