Problema moto circolare
Buongiorno... quello che oggi voglio presentarvi è un problema che chiede di analizzare il moto circolare di un carrello senza trascurare alcuni dettagli quale il moto rotatorio delle sue ruote e la forza d' attrito.
[Testo] un carrello rigido si muove su di un piano orizzontale scabro percorrendo una traiettoria circolare con velocità angolare costante $omega=0.600(s^(-1))$. Il carrello è formato da una barra (rigida e retta) di massa $M_b =50.0 Kg$ che congiunge tra loro i centri di due assi alle estremità dei quali ci sono (due per asse) quattro ruote piene che rotolano senza strisciare. Ogni ruota ha raggio $R_r =0.200 m $ e massa $m_r =2.00 Kg$. Gli assi che connettono le coppie di ruote, anteriore e posteriore, sono di massa trascurabile. Attorno ad essi ogni ruota è libera di girare in modo indipendente, e i due assi sono solidali con la barra rigida centrale e ad essa fissati nel loro centro.Tali assi sono orientati radialmente rispetto al centro di curvatura della traiettoria circolare che ha raggi di curvatura $r_1=20.0 m$ e $r_2 =22.0 m$, rispettivamente per le ruote interne e quelle esterne. L' angolo tra i due assi delle ruote vale $2alpha=10$. Si trascurino tutti gli attriti, eccetti l' attrito statico tra le ruote e il piano.
Calcolare:
1) la velocità angolare di ogni ruota attorno al proprio asse e l' energia cinetica totale del carrello;
2)La forza centrifuga totale applicata al carrello;
3)il coefficente di attrito statico minimo che consente al carrello di muoversi lungo la traiettoria circolare senza deviare da essa.
Ragionamento:prima di tutto metto in evidenza che il mio sistema considerato è composto dal carrello ( comprese le ruote ed il loro moto) e dalla superfice... Se il carrello ha una tale velocità angolare allora tutti gli assi paralleli a quello passante per il polo $O$ del nostro sistema di riferimento (che adotto essere il centro della traiettoria circolare del carrello) hanno medesima velocità angolare, seppur diversa velocità tangenziale.
Allora la velocità angolare delle ruote è la stessa per compiere un arco di circonferenza attorno ad $O$ ma diversa per compiere un arco di circonf attorno ad $O'$ ( asse parallelo al raggio della circonf descritta dal carrello ma passante per il centro di massa delle ruote). Da tali ragionamenti si può allora prosseguire scrivendo che se
$omega_O =0.6s^(-1) => omega_(O',r_1)= v_t / R_r $ e poichè $v_t = omega_O * r_1 => omega_O' = (omega_O * r_1)/R_r=60s^(-1)$ e $ omega_(O',r_2)= omega_O*r_2/(R_r)=66s^(-1) $.
Per quanto riguarda l' energia cinetica ,se consideriamo il sistema composto ora dal solo carrello allora risulta che la variazione totale di energia cinetica dovrà essere uguale alla variazione di energia interna. Infatti l' unica forza che determina tale dispersione di energia è l' attrito. L' attrito ricordiamo che agisce solo sulle ruote.
Applichiamo allora le due equazioni dell' energia:
Conservazione dell' energia:
$L=delta(K)=1/2I_(c.m)*omega_O^2$ che è l' energia cinetica accumulata dal carrello nel suo unico moto rotatorio. Poichè il carrello è simmetrico rispetto ad x e y allora il suo centro di massa sarà il raggio meno la media fra le due lunghezze: $I_(c.m)=M/2(r_2-(r_2-r_1)/2)^2*omega_O^2= 3969 J$.
L' attrito che non influiva nell' equazione precedente si ritroverà nel E.C.M (equazione dell' energia relativa al centro di massa); Potendo qui considerare le ruote come singoli punti materiali allora l' attrito deve considerarsi e la variazione di energia sarà uguale alla somma delle energie cinetiche accumulate dalle quattro ruote...
1) ruote più interne : $2*L_(ext) = I_(c.m) * ( (omega_(O'_r_1) )^2=288 j $
2)// esterne: $2*L_(ext) =I_(c.m)* ( (omega_(O'_r_2) )^2= 348 j$
Sommando il tutto ho che l' energia cinetica totale è di 4605.48j.
Se aveste bisogno di un disegno ve lo posterò... Ora quello che vorrei sapere è : il mio discorso è giusto? E i calcoli lo sono altrettanto? Infatti al mio prof viene un altro risultato per quanto riguarda l' energia cinetica totale...
Grazie per l' attenzione
[Testo] un carrello rigido si muove su di un piano orizzontale scabro percorrendo una traiettoria circolare con velocità angolare costante $omega=0.600(s^(-1))$. Il carrello è formato da una barra (rigida e retta) di massa $M_b =50.0 Kg$ che congiunge tra loro i centri di due assi alle estremità dei quali ci sono (due per asse) quattro ruote piene che rotolano senza strisciare. Ogni ruota ha raggio $R_r =0.200 m $ e massa $m_r =2.00 Kg$. Gli assi che connettono le coppie di ruote, anteriore e posteriore, sono di massa trascurabile. Attorno ad essi ogni ruota è libera di girare in modo indipendente, e i due assi sono solidali con la barra rigida centrale e ad essa fissati nel loro centro.Tali assi sono orientati radialmente rispetto al centro di curvatura della traiettoria circolare che ha raggi di curvatura $r_1=20.0 m$ e $r_2 =22.0 m$, rispettivamente per le ruote interne e quelle esterne. L' angolo tra i due assi delle ruote vale $2alpha=10$. Si trascurino tutti gli attriti, eccetti l' attrito statico tra le ruote e il piano.
Calcolare:
1) la velocità angolare di ogni ruota attorno al proprio asse e l' energia cinetica totale del carrello;
2)La forza centrifuga totale applicata al carrello;
3)il coefficente di attrito statico minimo che consente al carrello di muoversi lungo la traiettoria circolare senza deviare da essa.
Ragionamento:prima di tutto metto in evidenza che il mio sistema considerato è composto dal carrello ( comprese le ruote ed il loro moto) e dalla superfice... Se il carrello ha una tale velocità angolare allora tutti gli assi paralleli a quello passante per il polo $O$ del nostro sistema di riferimento (che adotto essere il centro della traiettoria circolare del carrello) hanno medesima velocità angolare, seppur diversa velocità tangenziale.
Allora la velocità angolare delle ruote è la stessa per compiere un arco di circonferenza attorno ad $O$ ma diversa per compiere un arco di circonf attorno ad $O'$ ( asse parallelo al raggio della circonf descritta dal carrello ma passante per il centro di massa delle ruote). Da tali ragionamenti si può allora prosseguire scrivendo che se
$omega_O =0.6s^(-1) => omega_(O',r_1)= v_t / R_r $ e poichè $v_t = omega_O * r_1 => omega_O' = (omega_O * r_1)/R_r=60s^(-1)$ e $ omega_(O',r_2)= omega_O*r_2/(R_r)=66s^(-1) $.
Per quanto riguarda l' energia cinetica ,se consideriamo il sistema composto ora dal solo carrello allora risulta che la variazione totale di energia cinetica dovrà essere uguale alla variazione di energia interna. Infatti l' unica forza che determina tale dispersione di energia è l' attrito. L' attrito ricordiamo che agisce solo sulle ruote.
Applichiamo allora le due equazioni dell' energia:
Conservazione dell' energia:
$L=delta(K)=1/2I_(c.m)*omega_O^2$ che è l' energia cinetica accumulata dal carrello nel suo unico moto rotatorio. Poichè il carrello è simmetrico rispetto ad x e y allora il suo centro di massa sarà il raggio meno la media fra le due lunghezze: $I_(c.m)=M/2(r_2-(r_2-r_1)/2)^2*omega_O^2= 3969 J$.
L' attrito che non influiva nell' equazione precedente si ritroverà nel E.C.M (equazione dell' energia relativa al centro di massa); Potendo qui considerare le ruote come singoli punti materiali allora l' attrito deve considerarsi e la variazione di energia sarà uguale alla somma delle energie cinetiche accumulate dalle quattro ruote...
1) ruote più interne : $2*L_(ext) = I_(c.m) * ( (omega_(O'_r_1) )^2=288 j $
2)// esterne: $2*L_(ext) =I_(c.m)* ( (omega_(O'_r_2) )^2= 348 j$
Sommando il tutto ho che l' energia cinetica totale è di 4605.48j.
Se aveste bisogno di un disegno ve lo posterò... Ora quello che vorrei sapere è : il mio discorso è giusto? E i calcoli lo sono altrettanto? Infatti al mio prof viene un altro risultato per quanto riguarda l' energia cinetica totale...
Grazie per l' attenzione
Risposte
E' l'energia cinetica del centro di massa dell carrello dov'e'? Non la vedo.
è 3969j ,no?
Ricontrolli anche l'energia cinetica delle ruote: per quella mi risulta 432.00J per le interne e 522.72J per le esterne.
"Sciarra":
è 3969j ,no?
Non so, non ho ancora clacolata. ora sto uscendo.
Pero' a lune di naso dubito. L'energia delle ruote e' intorno a 1000J con massa 8kg. Il telaio ne pesa 50, mi aspetto qualcosa intorno ai 6,000-7,000j
in realtà il risultato del professore è 4890j, non molto di più....
A me viene:
sbarra: 3951
Ruote interne 432
Esterne 522
totale: 4905
sbarra: 3951
Ruote interne 432
Esterne 522
totale: 4905
potrebbe mostrarmi i calcoli da lei fatti? Perchè mi sono accorto di un errore nel momento inerziale delle mie ruote ed il risultati delle energie cinetiche delle ruote mi verrebbero ancora più bassi (la metà precisamente) cosicchè il tutto fà 4287J.
Ho controllato i risultati più volte quindi non può che essere un errore nelle formule... potrebbe essere che non sto considerando l' angolo alfa ? dovrei sostituire ai vari raggi la formula del braccio? $r_( _|_ ) = r*sen(alpha)$ ?anche se così il risultato diminuirebbe drasticamente... Vorrei chiederle se cortesemente può calcolare anche le forze radiali che agiscono sul carrello; i risultati riportati dal prof non mi sembrano molto corretti e avrei bisogno di sapere se i miei ragionamenti sono giusti, tra poco ho l' esame ...
Comunque devo davvero ringraziarla p.k per il suo tempismo e interesse nel rispondere alle domande di questo forum!
Ho controllato i risultati più volte quindi non può che essere un errore nelle formule... potrebbe essere che non sto considerando l' angolo alfa ? dovrei sostituire ai vari raggi la formula del braccio? $r_( _|_ ) = r*sen(alpha)$ ?anche se così il risultato diminuirebbe drasticamente... Vorrei chiederle se cortesemente può calcolare anche le forze radiali che agiscono sul carrello; i risultati riportati dal prof non mi sembrano molto corretti e avrei bisogno di sapere se i miei ragionamenti sono giusti, tra poco ho l' esame ...
Comunque devo davvero ringraziarla p.k per il suo tempismo e interesse nel rispondere alle domande di questo forum!
Le ruote interne hanno energia:
$ E_{ki}=\frac{1}2Mv_c^2+\frac{1}2I\omega_i^2=\frac{1}2cdotMcdot(R_icdot\omega_o)^2+\frac{1}2\frac{Mr^2}2cdot\omega_o^2 $
$ =\frac{1}2 cdot2cdot(20cdot0.6)^2+\frac{1}2\frac{cdot2(0.2)^2}2cdot60^2=216 $ che va moltiplicato x 2 (2 ruote interne).
Stessa pappa per le esterne, con el dovute differenze di velocita angolare (66sec-1) e raggio (22m)
$ E_{ki}=\frac{1}2Mv_c^2+\frac{1}2I\omega_i^2=\frac{1}2cdotMcdot(R_icdot\omega_o)^2+\frac{1}2\frac{Mr^2}2cdot\omega_o^2 $
$ =\frac{1}2 cdot2cdot(20cdot0.6)^2+\frac{1}2\frac{cdot2(0.2)^2}2cdot60^2=216 $ che va moltiplicato x 2 (2 ruote interne).
Stessa pappa per le esterne, con el dovute differenze di velocita angolare (66sec-1) e raggio (22m)
Per quanto riguarda la barra, rispetto al polo O, il momento di inerzia e'
$ I_o=(\frac{ML^2}{12}+MR^2) $
Dove R e la distanza del centro di massa da O ($R=21cdotcos\alpha=20.92m$)
Mentre L e' la lunghezza della barra: $L=2cdot 21 cdot sin\alpha=3.66)$
L'energia cinetica e' $ E_k=\frac{1}2I_o\omega^2 $ che dovrebbe darti 3,951J
$ I_o=(\frac{ML^2}{12}+MR^2) $
Dove R e la distanza del centro di massa da O ($R=21cdotcos\alpha=20.92m$)
Mentre L e' la lunghezza della barra: $L=2cdot 21 cdot sin\alpha=3.66)$
L'energia cinetica e' $ E_k=\frac{1}2I_o\omega^2 $ che dovrebbe darti 3,951J
ma io non ho capito perchè calcola il momento d' inerzia dell' asse che congiunge le ruote anteriori con quelle posteriori ... Non c'è nulla che ruota attorno al c.d.m di tale asse....
Come no? Pensaci, l'asse non si muove parallelo a se stesso. Il "muso" ruota.
mannaggia... la ringrazio prof, però ho un' altra domanda: se è vero che l' asse è parallelo a se' stesso allora il momento d' inerzia deve essere calcolato ai suoi estremi perchè sono gli assi perpendicolari a quest' ultimo a ruotare, giusto?
? "L'asse della macchina", (quello lungo 3.67m) NON si muove parallelo a se stessa. L'asse di inerzia passante per il suo cdm si muove prallelo a se stesso.
Non capisco cosa intendi?
Non capisco cosa intendi?
ma se si rilegge bene il testo si dice che gli assi che connettono LE COPPIE di ruote, anteriore e posteriore, sono di massa trascurabile. I due assi sono solidali alla barra RIGIDA centrale e ad essa fissati nel loro centro. Le ruote invece possono girare in modo indipendete rispetto agli assi...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo