Problema momento angolare

[FraShit]

Due piccole sfere di masse m1 = m e m2 = 2m sono fissate all'estremità di un'asta di lunghezza l = 80 cm e massa trascurabile; l'asta è incernierata, in un punto distante l/3 dalla sferetta di massa minore, ad un asse orizzontale attorno al quale può ruotare con attrito trascurabile. L'asta, lasciata libera con velocità nulla nella posizione orizzontale, sotto l'azione della forza peso, ruota intorno all'asse di sospensione. Si calcolino i moduli V1 e V2 delle velocità delle sfere all'istante in cui l'asta passa per la posizione verticale.

Ora il testo dice che $v2=2v1$ e mi chiedo come sia possibile?
Se il momento angolare si conserva, io ho che
$ l/2mv1=l/2*2m*v2 $
per cui torna che $v1=2v2$
Dopodiché si conserverà l'energia meccanica
Allora io avrò che:
$ ml/3g-2/3*2mg= 1/2mv1^2 +mv2^2 $
Qualcuno può dirmi dove sbaglio?
Inoltre ,nel mio sistema di riferimento, la massa m2 è in basso e m1 è in alto. E' corretta questa cosa? per effetto della forza di gravità, se partono orizzontalmente,quando saranno verticali, la massa più pesante andrà in basso,no?
Spero possiate chiarirmi questi dubbi.Grazie mille

[professorkappa]

E per quale motivo il momento angolare si conserva?
Si conserva solo l'energia meccanica (che resta nulla), per cui, indicando con I i momenti di inerzia

$1/2(I_1+I_2)omega^2+mgl/3-2mgl/3=0$

Con $I_1=ml^2/9$ e $I_2=2m*4/9l^2$

Sostituendo $1/2*ml^2omega^2-mgl/3=0$

Da cui ricavi $omega = sqrt((2g)/(3l))$

Dal che si ricava che

$v_1=omega*d_1=sqrt((2gl)/27)$
$v_2=omega*d_2=sqrt((8gl)/27)=2*sqrt((2gl)/27)$

E' chiaro che siccome le palline sono distanti dal fulcro una il doppio dell'altra, per qualsiasi valore di $omega$ risultera' sempre $v_2=2v_1$ quindi mi pare strano che il testo dia quella come soluzione, visto che cerca i moduli e non la relazione dalle due velocita'

[FraShit]

C'è un piccolo errore, l'energia potenziale è mgl e non mgl/3. Ma è stato chiarissimo! Grazie Mille!

[professorkappa]

Si, giusto, mi e' sfuggito. 2m, non m.