Problema momenti d'inerzia e corpi non standard
Ciao!
consideriamo un disco integro $D_1$ che giace sul piano $xy$ .
Abbiamo in figura un disco integro $D_1$ di raggio $R$ , massa del disco integro = $m$
Origine del sistema di riferimento $O$ coincidente con il centro di massa. Gli assi sono assi principali d'inerzia.
Momento di inerzia di D1
momento d'inerzia di $D_1$ rispetto all'asse $y rarr I_(yy)^(D_1)= 1/4 m R^2$
Semidisco e quarto di disco
se mantengo il SDR inalterato, e considero prima un semidisco e poi un quarto di disco, l'origine $O$ non sarà più coincidente con il centro di massa...
- semidisco = $D_2$, raggio e massa uguali a quelli del disco, ovvero $R$ ed $m$
- quarto di disco = $D_3$, raggio e massa uguali a quelli del disco, ovvero $R$ ed $m$
Dato che le masse sono uguali, $D_1$ ha densità minore di $D_2$, che a sua volta ha densità minore di $D_3$
DOMANDA:
posso dire che:
- momento d'inerzia di $D_2$ rispetto all'asse $y rarr I_(yy)^(D_2)= 1/4 m R^2$
- momento d'inerzia di $D_3$ rispetto all'asse $y rarr I_(yy)^(D_3)= 1/4 m R^2$
E' corretto??? Mi risulta poco intuitivo che, a parità di massa, un quarto di disco, un semidisco ed un disco hanno lo stesso momento d'inerzia rispetto ad un asse.
consideriamo un disco integro $D_1$ che giace sul piano $xy$ .
Abbiamo in figura un disco integro $D_1$ di raggio $R$ , massa del disco integro = $m$
Origine del sistema di riferimento $O$ coincidente con il centro di massa. Gli assi sono assi principali d'inerzia.
Momento di inerzia di D1
momento d'inerzia di $D_1$ rispetto all'asse $y rarr I_(yy)^(D_1)= 1/4 m R^2$
Semidisco e quarto di disco
se mantengo il SDR inalterato, e considero prima un semidisco e poi un quarto di disco, l'origine $O$ non sarà più coincidente con il centro di massa...
- semidisco = $D_2$, raggio e massa uguali a quelli del disco, ovvero $R$ ed $m$
- quarto di disco = $D_3$, raggio e massa uguali a quelli del disco, ovvero $R$ ed $m$
Dato che le masse sono uguali, $D_1$ ha densità minore di $D_2$, che a sua volta ha densità minore di $D_3$
DOMANDA:
posso dire che:
- momento d'inerzia di $D_2$ rispetto all'asse $y rarr I_(yy)^(D_2)= 1/4 m R^2$
- momento d'inerzia di $D_3$ rispetto all'asse $y rarr I_(yy)^(D_3)= 1/4 m R^2$
E' corretto??? Mi risulta poco intuitivo che, a parità di massa, un quarto di disco, un semidisco ed un disco hanno lo stesso momento d'inerzia rispetto ad un asse.
Risposte
Il momento di inerzia è funzione lineare della massa. Se il disco $D_2$ , che come volume è la metà di $D_1$, (spessore trascurabile, parliamo sempre di un ideale sistema piano in entrambi i casi), ha la stessa massa del disco intero $D_1$ , evidentemente ha densità doppia. Di conseguenza , il m.i. di $D_2$ rispetto allo stesso asse $y$ è il doppio del m.i. del semidisco ottenuto tagliando $D_1$ in due parti uguali secondo l’asse $y$. Insomma, $2*1/2 = 1$ 
Pensa a una torta (sottile!) : tagli la metà di destra e la sovrapponi a quella di sinistra. E cosí via.
Pensa a una torta (sottile!) : tagli la metà di destra e la sovrapponi a quella di sinistra. E cosí via.
"Kanal":
Pensa a una torta (sottile!) : tagli la metà di destra e la sovrapponi a quella di sinistra. E cosí via.
CASPITA!! L'ho realizzato adesso. Il motivo per cui è uguale è che conta la distanza al quadrato! Non conta se la massettina si trova a destra o a sinistra dell'asse...
due massettine a egual distanza $d$ dall'asse poste in maniera simmetrica
danno lo stesso contributo che danno
due massettine "sovrapposte" nella stessa posizione distanti $d$ dall'asse
grazie Kanal
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo