Problema Meccanica Razionale bello tosto!
Un corpo rigido è costituito da due aste omogenee AB e KM di ugual massa e di lunghezza 2l e 4l rispettivamente, saldate perpendicolarmente tra loro in modo che M si il punto medio di AB.
1- Determinare la posizione del baricentro G del corpo e scrivere la matrici di Inerzia rispetto ad una terna principale di inerzia centrata in G.
Il corpo è mobile nel pianco verticale Oxy con assi i versori i e J, con il punto M vincolato a scorrere lungo l'asse y, ed è soggetto solamente alla forza peso.
Presi come paramente lagrangiani η, ordinata di M e θ, angolo che l'asta KM forma con l'asse y.
2- Scrivere le equazioni differenziali che governano il moto del corpo.
3- Introdotto l'ulteriore vincolo che impone a G di scorrere sulla retta di equzione y = 2l, determinare il centro di istantanea rotazone per il copro e scrivere le equazioni di base e rulletta.
GRAZIE IN ANTICIPO
1- Determinare la posizione del baricentro G del corpo e scrivere la matrici di Inerzia rispetto ad una terna principale di inerzia centrata in G.
Il corpo è mobile nel pianco verticale Oxy con assi i versori i e J, con il punto M vincolato a scorrere lungo l'asse y, ed è soggetto solamente alla forza peso.
Presi come paramente lagrangiani η, ordinata di M e θ, angolo che l'asta KM forma con l'asse y.
2- Scrivere le equazioni differenziali che governano il moto del corpo.
3- Introdotto l'ulteriore vincolo che impone a G di scorrere sulla retta di equzione y = 2l, determinare il centro di istantanea rotazone per il copro e scrivere le equazioni di base e rulletta.
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Risposte
E' un buon esercizio per me. Vediamo.
Baricentro:
Dislocato a elle da M e a 3elle da K.
Si calcola anche mente. Le aste hanno il baricentro nel punto medio, i baricentri si bilanciano tra di loro "in ragione dei loro pesi". Siccome le due aste pesano entrambe [tex]M[/tex] il baricentro si trova nel punto medio tra i baricentri delle aste.
Momenti Inerzia supposto KM sull'asseX , AB sull'asse y.
masse lineari
[tex]m_{lAB} = \frac{M}{2l}[/tex]
[tex]m_{lKM} = \frac{M}{4l}[/tex]
Asse x
[tex]I_x = \displaystyle\int_{-l}^{l} \frac{M}{2l}y^2\, dy[/tex]
[tex]I_x = \frac{Ml^2}{3}[/tex]
Asse y
[tex]I_y = \displaystyle\int_{0}^{4l} \frac{M}{4l}x^2\, dx[/tex]
[tex]I_y = \frac{16Ml^2}{3}[/tex]
Asse z
Se non erro ...
[tex]I_z = I_x + I_y = \frac{17Ml^2}{3}[/tex]
La forza peso.... in che direzione agisce... ?
Lungo il versore [tex]\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k},[/tex] ??
Baricentro:
Dislocato a elle da M e a 3elle da K.
Si calcola anche mente. Le aste hanno il baricentro nel punto medio, i baricentri si bilanciano tra di loro "in ragione dei loro pesi". Siccome le due aste pesano entrambe [tex]M[/tex] il baricentro si trova nel punto medio tra i baricentri delle aste.
Momenti Inerzia supposto KM sull'asseX , AB sull'asse y.
masse lineari
[tex]m_{lAB} = \frac{M}{2l}[/tex]
[tex]m_{lKM} = \frac{M}{4l}[/tex]
Asse x
[tex]I_x = \displaystyle\int_{-l}^{l} \frac{M}{2l}y^2\, dy[/tex]
[tex]I_x = \frac{Ml^2}{3}[/tex]
Asse y
[tex]I_y = \displaystyle\int_{0}^{4l} \frac{M}{4l}x^2\, dx[/tex]
[tex]I_y = \frac{16Ml^2}{3}[/tex]
Asse z
Se non erro ...
[tex]I_z = I_x + I_y = \frac{17Ml^2}{3}[/tex]
La forza peso.... in che direzione agisce... ?
Lungo il versore [tex]\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k},[/tex] ??
la forza peso non è specificato ma dovrebbe agire lungo j
grazie per il punto 1 intanto
grazie per il punto 1 intanto
vado al volo, ma la lagrangiana dovrebbe essere, indicando con I il mmento di ineriza stavolta rispetto al punto M (facilmente ricavabile col teorema di huygens-steiner) e con M non il punto M ma la massa del corpo 
:
$1/2 M dot y^2+ 1/2 I dot theta^2 - Mg (y+l costheta)$ da cui utilizzando le solite equazioni di lagrange $!d/dt (partial L)/(partial dot q^k)- (partialL)/(partialq^k) =0 $ si arriva facilmente a risolvere il punto 2...NON SONO PER NIENTE SICURO DI AVER SCRITTO GIUSTO DATA L'ORA E L'ATTENZIONE, QUINDI MEGLIO SE QUALCUNO CONFERMI
:$1/2 M dot y^2+ 1/2 I dot theta^2 - Mg (y+l costheta)$ da cui utilizzando le solite equazioni di lagrange $!d/dt (partial L)/(partial dot q^k)- (partialL)/(partialq^k) =0 $ si arriva facilmente a risolvere il punto 2...NON SONO PER NIENTE SICURO DI AVER SCRITTO GIUSTO DATA L'ORA E L'ATTENZIONE, QUINDI MEGLIO SE QUALCUNO CONFERMI
ho ricontrollato e dovrebbe tornare, le equazioni del moto da quelle di Lagrange diventano:
$M dotdoty +Mg=0$
$I dotdottheta - Mglsentheta =0$
che corrispondono alle equazioni cardinali del formalismo newtoniano
$M dotdoty +Mg=0$
$I dotdottheta - Mglsentheta =0$
che corrispondono alle equazioni cardinali del formalismo newtoniano
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