Problema Meccanica Quantistica
Ciao a tutti! Sto facendo un po' di esercizi di Meccanica Quantistica sul Sakurai.
Mi sono imbattuto in un problema che dice:
"Una scatola che contiene una particella è divisa in due scompartimenti: uno a destra e uno a sinistra. Se la particella è con certezza dalla parte destra (sinistra), lo stato è rapresentato dall'autoket della posizione $|R>$ ( $|L>$ ). Il più generale vettore di stato può essere scritto così: $|alpha>$= $|R>$ $$ + $|L>$ $$
L'hamiltoniana del sistema è: H= $Delta$ ($|L>$ + $|R>
E Mi chiede:
1) calcolare gli autoket normalizzati dell'energia e i loro rispettivi autovalori.
2)Supponete che il sistema a t=0 il sistema sia rappresentato da $|alpha>$, trovate il vettore di stato $|alpha,t>$ per t>0 applicando l'operatore di evoluzione temporale.
3) Scrivete le equazioni di schrodinger accoppiate per le due distinte funzioni d'onda : $$ e $$. Mostrate che le soluzioni di queste equazioni sono proprio quelle che vi aspettavate da 1)
Io credo di essere riuscito a risolvere i punti 1) e 2) ma il 3 non so come farlo..
Il primo punto l'ho risolto così:
$|R>$=$( ( 1 ),( 0 ) ) $ e $|L>$=$( ( 0 ),( 1 ) ) $ , e scrivo H con una matrice che è: $H$=$( ( 0 , Delta ),( Delta , 0 ) )$
Trovo gli autovalori che sono $Delta$ e $-Delta$ e gli autovettori normalizzati sono: $|lambda>$=$( ( 1/sqrt(2) ),( 1/sqrt(2) ) )$ e $|lambda_2>$= $( ( 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) ) )$
Il Punto 2 l'ho risolto così:
Per calcolare l'evoluzione temporale del vettore di stato bisogna scriverlo come sovraposizione degli autovettori di $H$
Quindi: $|alpha>$= $$ $|lambda>$ + $$ $|lambda_2>$
e trovo che $|alpha>$= $|lambda>$ poichè i coefficienti erano 1 per il vettore $|lambda>$ e 0 per il vettore $|lambda_2>$. Apllico quindi l'operatore di evoluzione temporale che è: $U(t)$= $e^(-iH/ht)$
Lo applico al vettore ed ottengo $|alpha,t>$= $e^(-iH/ht)$$|lambda>$
Potete dirmi se quello che ho scritto è giusto (magari sono una caterva di errori) e aiutarmi al svolgere il punto 3?
Grazie mille!!
Mi sono imbattuto in un problema che dice:
"Una scatola che contiene una particella è divisa in due scompartimenti: uno a destra e uno a sinistra. Se la particella è con certezza dalla parte destra (sinistra), lo stato è rapresentato dall'autoket della posizione $|R>$ ( $|L>$ ). Il più generale vettore di stato può essere scritto così: $|alpha>$= $|R>$ $
L'hamiltoniana del sistema è: H= $Delta$ ($|L>
E Mi chiede:
1) calcolare gli autoket normalizzati dell'energia e i loro rispettivi autovalori.
2)Supponete che il sistema a t=0 il sistema sia rappresentato da $|alpha>$, trovate il vettore di stato $|alpha,t>$ per t>0 applicando l'operatore di evoluzione temporale.
3) Scrivete le equazioni di schrodinger accoppiate per le due distinte funzioni d'onda : $
Io credo di essere riuscito a risolvere i punti 1) e 2) ma il 3 non so come farlo..
Il primo punto l'ho risolto così:
$|R>$=$( ( 1 ),( 0 ) ) $ e $|L>$=$( ( 0 ),( 1 ) ) $ , e scrivo H con una matrice che è: $H$=$( ( 0 , Delta ),( Delta , 0 ) )$
Trovo gli autovalori che sono $Delta$ e $-Delta$ e gli autovettori normalizzati sono: $|lambda>$=$( ( 1/sqrt(2) ),( 1/sqrt(2) ) )$ e $|lambda_2>$= $( ( 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) ) )$
Il Punto 2 l'ho risolto così:
Per calcolare l'evoluzione temporale del vettore di stato bisogna scriverlo come sovraposizione degli autovettori di $H$
Quindi: $|alpha>$= $
e trovo che $|alpha>$= $|lambda>$ poichè i coefficienti erano 1 per il vettore $|lambda>$ e 0 per il vettore $|lambda_2>$. Apllico quindi l'operatore di evoluzione temporale che è: $U(t)$= $e^(-iH/ht)$
Lo applico al vettore ed ottengo $|alpha,t>$= $e^(-iH/ht)$$|lambda>$
Potete dirmi se quello che ho scritto è giusto (magari sono una caterva di errori) e aiutarmi al svolgere il punto 3?
Grazie mille!!
Risposte
Ok per me punto 1.
Il punto 2 mi viene diverso ... Sono passato dallo sviluppo in serie del propagatore ed ho ottenuto:
$[a_1 cos A - i a_2 sin A]|1>+[a_2 cos A - i a_1 sin A]|2>$
Dove:
$|\alpha> = a_1 |1> + a_2 |2>$
$A = {\Delta t} / bar h$.
Edit. Ho corretto qualche erroruccio. Adesso dovrebbe essere ok, almeno è normalizzata...
$[a_1 cos A - i a_2 sin A]|1>+[a_2 cos A - i a_1 sin A]|2>$
Dove:
$|\alpha> = a_1 |1> + a_2 |2>$
$A = {\Delta t} / bar h$.
Edit. Ho corretto qualche erroruccio. Adesso dovrebbe essere ok, almeno è normalizzata...
Per il punto 3 userei l'eq temporale di Sch. Procedo quando abbiamo appurato il punto 2 
Punto 3. Mi sono accontentato di verificare a posteriori che la soluzione trovata sopra soddisfa l'eq temporale di Sch.
Grazie mille per le risposte Arrigo!!!
Il punto 2 ho sbagliato a fare i conti io!
Ho ricalcolato il tutto e mi viene alla fine mi viene come a te Arrigo 
Infatti il vettore al tempo t>0 è:
$|alpha>$= $1/2$( $e^-(iDeltat/h)$ $|lambda>$ $+$ $e^(iDeltat/h)$ $|lambda_2>$ $+$ $1/2$( $e^-(iDeltat/h)$ $|lambda>$-$e^(iDeltat/h)$$|lambda_2>$)
Ok, il punto 3 però non saprei proprio da dove iniziare se mi potresti dare una mano ti sarei davvero grato!
Edit: Ho lett solo ora il tuo ultimo messaggio , Grazie mille davvero!!!
Grimx
Il punto 2 ho sbagliato a fare i conti io!
Ho ricalcolato il tutto e mi viene alla fine mi viene come a te Arrigo Infatti il vettore al tempo t>0 è:
$|alpha>$= $1/2$( $e^-(iDeltat/h)$ $|lambda>$ $+$ $e^(iDeltat/h)$ $|lambda_2>$ $+$ $1/2$( $e^-(iDeltat/h)$ $|lambda>$-$e^(iDeltat/h)$$|lambda_2>$)
Ok, il punto 3 però non saprei proprio da dove iniziare se mi potresti dare una mano ti sarei davvero grato!
Edit: Ho lett solo ora il tuo ultimo messaggio
, Grazie mille davvero!!!Grimx
Come ti dicevo sopra, per il punto 3 mi sono accontentati della verifica a posteriori.
Ps. L'esercizio è molto varino. Si vede bene come le probalità oscillano avanti e indietro nella scatola...
Si ho letto tardi il tuo commento grazie mille ancora per avermi aiutato con il punto 3.
PS: Si, si vede che le probabilità oscillano.
Infatti l'esercizio continuava dicendo:
"Si sa che a t=0 la particella sia a destra con certezza, qual'è la probabilità di osservare la particella a Sinistra in funzione del tempo?"
Qua ho notato che se $|alpha>$= $|R>$ allora dopo qualche calcolo.. la probabilità di trovare dopo un tempo t lo stato a sinistra è data da:
$||^2$= $sin^2(Deltat/h)$
Grimx
grazie mille ancora per avermi aiutato con il punto 3.PS: Si, si vede che le probabilità oscillano.
Infatti l'esercizio continuava dicendo:
"Si sa che a t=0 la particella sia a destra con certezza, qual'è la probabilità di osservare la particella a Sinistra in funzione del tempo?"
Qua ho notato che se $|alpha>$= $|R>$ allora dopo qualche calcolo.. la probabilità di trovare dopo un tempo t lo stato a sinistra è data da:
$|
Grimx
Sì, bellissimo !
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