Problema meccanica
Ciao a tutti.
Il problema è il seguente:
Un corpo puntiforme di massa m ruota con velocità angolare ω[size=59]0[/size], su un piano orizzontale privo di attrito attorno ad un punto 0 cui è vincolata da un filo di lunghezza L. Se la pallina viene tirata verso 0, qual'è l'energia della pallina quando il raggio di rotazione è L/2?
Allora. Io ho applicato la legge della conservazione del momento angolare.
E ho considerato come momento angolare iniziale $ ml^(2) $ , mentre come momento angolare finale $ ml^(2) /4 $ (perchè il raggio è diventato L/2) e così ho trovato che la velocità angolare finale è quattro volte quella iniziale.
Dopodichè ho applicato la formula dell'energia cinetica rotazionale utilizzando la nuova velocità ottenuta e il momento angolare finale.
Purtroppo il risultato non viene..cosa ho sbagliato?
Il problema è il seguente:
Un corpo puntiforme di massa m ruota con velocità angolare ω[size=59]0[/size], su un piano orizzontale privo di attrito attorno ad un punto 0 cui è vincolata da un filo di lunghezza L. Se la pallina viene tirata verso 0, qual'è l'energia della pallina quando il raggio di rotazione è L/2?
Allora. Io ho applicato la legge della conservazione del momento angolare.
E ho considerato come momento angolare iniziale $ ml^(2) $ , mentre come momento angolare finale $ ml^(2) /4 $ (perchè il raggio è diventato L/2) e così ho trovato che la velocità angolare finale è quattro volte quella iniziale.
Dopodichè ho applicato la formula dell'energia cinetica rotazionale utilizzando la nuova velocità ottenuta e il momento angolare finale.
Purtroppo il risultato non viene..cosa ho sbagliato?
Risposte
Ma sei sicuro si calcoli così il momento angolare?
Scusami.
Ho sbagliato a scrivere..
Il momento angolare è ovviamente Iω. Quello che ho scritto io è il momento di Inerzia che vale in generale MR^2.
Ho sbagliato scrivere ma il procedimento l'ho fatto correttamente, e il risultato non torna.
Oltretutto la velocità angolare che ho trovato è giusta, perchè l'esercizio prima chiedeva proprio questo e il risultato è appunto 4ω[size=59]0[/size].
Ho sbagliato a scrivere..
Il momento angolare è ovviamente Iω. Quello che ho scritto io è il momento di Inerzia che vale in generale MR^2.
Ho sbagliato scrivere ma il procedimento l'ho fatto correttamente, e il risultato non torna.
Oltretutto la velocità angolare che ho trovato è giusta, perchè l'esercizio prima chiedeva proprio questo e il risultato è appunto 4ω[size=59]0[/size].
Se la pallina viene tirata, vuol dire che agisce una forza su di essa (verosimilmente una tensione della corda che la tiene legata).
Ma la pallina ruota e, assumendo che la tensione agisca radialmente, la forza e lo spostamento sono... perpendicolari.
Questo dovrebbe suggerirti qualcosa: il lavoro della forza quanto vale?
Ma se $W = 0$ allora per il teorema dell'Energia cinetica...
P.S. Stavolta dovrebbe essere giusto, ho fatto questo esercizio in un tutorato pomeridiano di fisica; ancora scusa per gli urti, l'altro giorno.
Ma la pallina ruota e, assumendo che la tensione agisca radialmente, la forza e lo spostamento sono... perpendicolari.
Questo dovrebbe suggerirti qualcosa: il lavoro della forza quanto vale?
Ma se $W = 0$ allora per il teorema dell'Energia cinetica...
P.S. Stavolta dovrebbe essere giusto, ho fatto questo esercizio in un tutorato pomeridiano di fisica; ancora scusa per gli urti, l'altro giorno.
@Paolo90.
Non mi sembra sia giusto. La forza è perpendicolare allo spostamento solo quando la pallina percorre sempre la medesima circonferenza altrimenti non è vero: la tensione compie lavoro eccome.
D'altronde il momento angolare rispetto al centro della circonferenza si deve conservare necessariamente visto che la tensione non dà contributo. E da questo si dimostra facilmente che l'energia cinetica della pallina quando percorre una circonferenza a raggio più piccolo è maggiore.
L'energia cinetica in più è dovuta proprio al lavoro della tensione compiuto quando si porta la pallina sulla circonferenza a raggio minore.
@Mirko909
Se la velocità finale risulta giusta o sbagli a calcolare l'energia o c'è un errore di calcolo o il risultato riportato dal libro non è corretto.
Non mi sembra sia giusto. La forza è perpendicolare allo spostamento solo quando la pallina percorre sempre la medesima circonferenza altrimenti non è vero: la tensione compie lavoro eccome.
D'altronde il momento angolare rispetto al centro della circonferenza si deve conservare necessariamente visto che la tensione non dà contributo. E da questo si dimostra facilmente che l'energia cinetica della pallina quando percorre una circonferenza a raggio più piccolo è maggiore.
L'energia cinetica in più è dovuta proprio al lavoro della tensione compiuto quando si porta la pallina sulla circonferenza a raggio minore.
@Mirko909
Se la velocità finale risulta giusta o sbagli a calcolare l'energia o c'è un errore di calcolo o il risultato riportato dal libro non è corretto.
Per trovare la velocità angolare finale ho appunto conservato il momento angolare, ovvero:
(Scusatemi per la sintassi ma non riesco a capire come fare l'omega)
$ ML^2*omegai = M(L/2)^2*omegaf $
Da cui deriva facilmente:
$ omegaf = 4omegai $
E quindi sapendo la velocità che ha il corpo quando il raggio è L/2, possiamo applicare tranquillamente la formula dell'energia cinetica rotazionale, ovvero:
$ 1/2*I*omega^2 $
Sostituendo i dati, abbiamo:
$ 1/2*M(L/2)^2*(4omegai)^2 $
Che dà come risultato appunto:
$ 8omegaiML^2 $
Che non corrisponde con quello del libro..
Vi prego aiutatemi perchè non so proprio dove metterci le mani..
(Scusatemi per la sintassi ma non riesco a capire come fare l'omega)
$ ML^2*omegai = M(L/2)^2*omegaf $
Da cui deriva facilmente:
$ omegaf = 4omegai $
E quindi sapendo la velocità che ha il corpo quando il raggio è L/2, possiamo applicare tranquillamente la formula dell'energia cinetica rotazionale, ovvero:
$ 1/2*I*omega^2 $
Sostituendo i dati, abbiamo:
$ 1/2*M(L/2)^2*(4omegai)^2 $
Che dà come risultato appunto:
$ 8omegaiML^2 $
Che non corrisponde con quello del libro..
Vi prego aiutatemi perchè non so proprio dove metterci le mani..
Ci sono due cose che non mi sono chiare: la prima è come fai a scrivere $ 1/2 * M*(L/2)^2*(4 omega_i)^2=8 omega_i M L^2$ se non è vero, come non è vero, che $16/8=8$;
la seconda è il testo del problema, sei sicuro parli di energia finale e non di variazione di energia cinetica, che avrebbe più senso?
la seconda è il testo del problema, sei sicuro parli di energia finale e non di variazione di energia cinetica, che avrebbe più senso?
Problema risolto..Evidentemente ho disimparato a fare le divisioni. 
Grazie comunque e mi scuso per la banalità del mio errore..
Grazie comunque e mi scuso per la banalità del mio errore..
Errata corrige al messaggio precedente.
Il fatto del risultato sul libro è 1/2 e non 2...
Il fatto del risultato sul libro è 1/2 e non 2...
"Faussone":
@Paolo90.
Non mi sembra sia giusto. La forza è perpendicolare allo spostamento solo quando la pallina percorre sempre la medesima circonferenza altrimenti non è vero: la tensione compie lavoro eccome.
D'altronde il momento angolare rispetto al centro della circonferenza si deve conservare necessariamente visto che la tensione non dà contributo. E da questo si dimostra facilmente che l'energia cinetica della pallina quando percorre una circonferenza a raggio più piccolo è maggiore.
L'energia cinetica in più è dovuta proprio al lavoro della tensione compiuto quando si porta la pallina sulla circonferenza a raggio minore.
Devo precisare una cosa, non troppo chiara nel testo originale del problema scritto da Mirko909.
Io ho inteso così: abbiamo una pallina puntiforme di massa $m$ appoggiata su un piano orizzontale privo di attrito; tale pallina ruota con velocità $omega$ attorno a un punto $O$ cui è vincolata da un filo flessibile di lunghezza $l$.
Io ho immaginato - perchè questa mi pare la soluzione più semplice, e perchè poche settimane fa ho risolto lo stesso problema a un tutorato pomeridiano di fisica - che il filo si avvolgesse attorno a un piolo centrale cosicchè la pallina compie una spirale avvicinandosi al centro; in questo modo, concorderai con me che il lavoro della tensione è nullo e quindi l'energia cinetica si conserva.
Adesso, tutto dipende dal testo esatto del problema. Chiedo scusa se ho dato per scontato che il filo si avvolgesse, è che ricordavo bene quel problema e ho ragionato in analogia a esso.
Il testo esatto del problema è quello che ho postato io.
Dunque Paolo90, tu dici che l'energia cinetica si conserva?
Quindi applicando la formula dell'energia cinetica rotazionale avrò:
$ 1/2(ML^2)omegai^2 = 1/2M(L/2)^2omegaf^2 $
E mi dà come risultato:
$ omegaf = 2omegai $
Andando ad applicare di nuovo la formula dell'energia cinetica rotazionale, considerando la nuova velocità ottengo:
$ 1/2 M(L/2)^2(2omegai)^2 $
Che mi fornisce come risultato, il risultato che il libro mi dice sia ESATTO, ovvero:
$ 1/2 M L^2 omegai^2 $
L'unico problema ora è cercare di dimostrare che effettivamente l'energia cinetica rotazionale si conserva durante la rotazione.
Dunque Paolo90, tu dici che l'energia cinetica si conserva?
Quindi applicando la formula dell'energia cinetica rotazionale avrò:
$ 1/2(ML^2)omegai^2 = 1/2M(L/2)^2omegaf^2 $
E mi dà come risultato:
$ omegaf = 2omegai $
Andando ad applicare di nuovo la formula dell'energia cinetica rotazionale, considerando la nuova velocità ottengo:
$ 1/2 M(L/2)^2(2omegai)^2 $
Che mi fornisce come risultato, il risultato che il libro mi dice sia ESATTO, ovvero:
$ 1/2 M L^2 omegai^2 $
L'unico problema ora è cercare di dimostrare che effettivamente l'energia cinetica rotazionale si conserva durante la rotazione.
"Paolo90":
in questo modo, concorderai con me che il lavoro della tensione è nullo e quindi l'energia cinetica si conserva.
No non concordo.
In ogni caso il problema non dipende da come avvolgo il filo.
Comunque prendo il tuo esempio di spirale e verifico che la velocità della massa (e quindi il suo spostamento infinitesimo in un tempo infinitesimo) e la tensione NON sono perpendicolari, quindi non è vero che la tensione del filo non compie lavoro.
Prendiamo l'equazione della spirale di Archimede in coordinare polari (considera $a$ negativo per il nostro caso specifico).
$r=R + a*t$
$theta = t$
Scriviamola in coordinate $x$ e $y$.
$x=(R + a*t)*cos(t)$
$y=(R + a*t)*sin(t)$
Al tempo $t=0$ la massa si trova in $vec r(0)=(R;0)$
Calcoliamo la velocità:
$v_x=a*cos(t)-(R+a*t)*sin(t)$
$v_y=a*sin(t)+(R+a*t)*cos(t)$
Al tempo $t=0$ la velocità sarà $vec v(0)=(a;R)$.
Come vedi la velocità non è ortogonale alla congiungente col centro, a meno che $a=0$ cioè la masa si muove lungo una circonferenza.
Per cui il lavoro della tensione quando si percorre la spirale non è nullo.
@Mirko909 Il risultato che ottieni a me pare giusto, probabilmente c'è un refuso nel risultato riportato.
Perfetto.
La tua spiegazione, Faussone, mi sembra ottima.
Se all'esame dovesse capitarmi questo esercizio io lo risolvo con la conservazione del momento angolare, e dimostro che il lavoro effettuato non è affatto 0, come hai fatto tu.
Grazie mille..
La tua spiegazione, Faussone, mi sembra ottima.
Se all'esame dovesse capitarmi questo esercizio io lo risolvo con la conservazione del momento angolare, e dimostro che il lavoro effettuato non è affatto 0, come hai fatto tu.
Grazie mille..
Boh, io non so che dire, stamattina sono anche andato a riprendermi gli appunti di quella lezione e ho controllato: è proprio così come ho scritto io ieri sera non ricordavo male. Poi si finiva come ha fatto Mirko909, usando la formula dell'energia cinetica.
Si vede che il prof ha sbagliato, allora...
Grazie e scusate.
Si vede che il prof ha sbagliato, allora...
Grazie e scusate.
"Paolo90":
Boh, io non so che dire, stamattina sono anche andato a riprendermi gli appunti di quella lezione e ho controllato: è proprio così come ho scritto io ieri sera non ricordavo male. Poi si finiva come ha fatto Mirko909, usando la formula dell'energia cinetica.
Si vede che il prof ha sbagliato, allora...
Grazie e scusate.
Probabilmente il problema in quel caso era leggermente diverso.
Il filo forse non era vincolato in un punto fisso ma si avvolgeva attorno ad un tubo (o ad un dito).
In quel caso allora è vero che forza e spostamento sono perpendicolari sempre e che l'energia cinetica della massa resta invariata, ma la traiettoria non è a spirale di Archimede ed il perno non è fisso ma percorre la circonferenza del tubo (o del dito).
Infatti in questo caso posso lasciare il tubo o il dito fermo e non devo spendere alcuna energia, mentre nel caso precedente devo spendere energia per forza per riuscire a spostare la massa su una traiettoria a raggio di curvatura minore.
Ho un problema molto simile al vostro, avrei bisogno di una mano 
Il problema che segue, si riaggancia a quest'ultimo che abbiamo fatto:
Riprendiamo in esame il blocco, e supponiamo che lo spago venga tirato verso il basso molto lentamente, in modo che si possa ritenere che il blocco si muova in ogni istante praticamente lungo un cerchio di raggio R.
a) Dimostrare che la tensione dello spago varia con R come $ (mv_i^2R_i^2)/R^3 $ , dove l'indice $ i $ si riferisce ai valori iniziali.
b) Usare la risposta della parte a) per trovare il lavoro compiuto sul blocco dalla tensione dello spago mentre il raggio della traiettoria circolare del blocco varia da $ R_i $ a $ R_f $ .
c) Dimostrare che il lavoro calcolato nella parte b) è pari alla variazione dell'energia cinetica del blocco.
Punto a) Questo è un esercizio simile al precedente, mi dice di verificare un qualcosa che sia uguale a qualcos'altro......
Vediamo se ho compreso, inizio dal principio per arrivare a $ (mv_i^2R_i^2)/R^3 $:
$ T = ma_R $
$ T = momega_i^2R_i $
$ T = mv_i^2R_i^2 $
Mi sembra ovvio che la tensione detta dalla traccia sia quella che ho appena scritto io e che avendo a denonminatore un parametro che variando, in questo caso diminuendo, porterà un aumento della tensione
$ (mv_i^2R_i^2)/R^3 $
Punto b)
Qui penso che si riferisce ad una variazione di raggio, dove il raggio finale è minore di quello iniziale.....
E che ragionamento devo fare
Io penso che si tratta di una rototraslazione 
In sostanza io so che se tiro la corda per accorciare il raggio, compirò un lavoro di traslazione e uno di rotazione, esprimibile con la seguente:
$K = W = 1/2mv_f^2 - 1/2Iomega_f^2 $
Ma poi il testo mi dice che devo utilizzare la risposta a) per giustificare la risposta b)
E come devo fare utilizzando questa tensione $T= (mv_i^2R_i^2)/R^3 $
Essendo il lavoro dato da una forza per uno spostamento, quì ho una tensione per una a variazione di raggio, benissimo, quindi la relazione che è validissima per soddisfare il quesito è:
$K = W = 1/2mv_f^2 - 1/2Iomega_f^2 $
La prima parte dell'equazione, resta invariata, in quanto si tratta di una energia riferita ad una traslazione e non vi sono dissipazioni, quindi andando per step, dirò:
$W = 1/2mv_f^2 - ...... $ (Lavoro conservativo)
Quando applico una tensione $ T = (mv_i^2R_i^2)/R_f^3 $, io avrò una variazione di raggio, una variazione di velocità angolare dovuta alla variazione del punto di massa, il che mi porterà via del lavoro, quindi:
$ W = T*DeltaR $ esprimibile in questo caso $ W = T*(R_i - R_f) $ ma in questo caso potremo anche esprimerla $ W = T*(0 - R_f) $, cioè il mio punto di origine $ 0 $ fino a $ R_f $ .
$W=(mv_i^2R_i^2)/R_f^3*(0 - R_f)$
$W=-(mv_i^2R_i^2)/R_f^2$ (Lavoro non conservativo)
Il lavoro in gioco sarà dato dalla somma delle seguenti:
$W=1/2mv_i^2+[-(mv_i^2R_i^2)/R_f^2]$
Il testo mi dice che il risultato deve essere $ W = -1/2mv_i^2(1-R_i^2/R_f^2) $
Helppppppp
Il problema che segue, si riaggancia a quest'ultimo che abbiamo fatto:
Riprendiamo in esame il blocco, e supponiamo che lo spago venga tirato verso il basso molto lentamente, in modo che si possa ritenere che il blocco si muova in ogni istante praticamente lungo un cerchio di raggio R.
a) Dimostrare che la tensione dello spago varia con R come $ (mv_i^2R_i^2)/R^3 $ , dove l'indice $ i $ si riferisce ai valori iniziali.
b) Usare la risposta della parte a) per trovare il lavoro compiuto sul blocco dalla tensione dello spago mentre il raggio della traiettoria circolare del blocco varia da $ R_i $ a $ R_f $ .
c) Dimostrare che il lavoro calcolato nella parte b) è pari alla variazione dell'energia cinetica del blocco.
Punto a) Questo è un esercizio simile al precedente, mi dice di verificare un qualcosa che sia uguale a qualcos'altro......
Vediamo se ho compreso, inizio dal principio per arrivare a $ (mv_i^2R_i^2)/R^3 $:
$ T = ma_R $
$ T = momega_i^2R_i $
$ T = mv_i^2R_i^2 $
Mi sembra ovvio che la tensione detta dalla traccia sia quella che ho appena scritto io e che avendo a denonminatore un parametro che variando, in questo caso diminuendo, porterà un aumento della tensione
$ (mv_i^2R_i^2)/R^3 $ Punto b)
Qui penso che si riferisce ad una variazione di raggio, dove il raggio finale è minore di quello iniziale.....
E che ragionamento devo fare
Io penso che si tratta di una rototraslazione In sostanza io so che se tiro la corda per accorciare il raggio, compirò un lavoro di traslazione e uno di rotazione, esprimibile con la seguente:
$K = W = 1/2mv_f^2 - 1/2Iomega_f^2 $
Ma poi il testo mi dice che devo utilizzare la risposta a) per giustificare la risposta b)
E come devo fare utilizzando questa tensione $T= (mv_i^2R_i^2)/R^3 $ Essendo il lavoro dato da una forza per uno spostamento, quì ho una tensione per una a variazione di raggio, benissimo, quindi la relazione che è validissima per soddisfare il quesito è:
$K = W = 1/2mv_f^2 - 1/2Iomega_f^2 $
La prima parte dell'equazione, resta invariata, in quanto si tratta di una energia riferita ad una traslazione e non vi sono dissipazioni, quindi andando per step, dirò:
$W = 1/2mv_f^2 - ...... $ (Lavoro conservativo)
Quando applico una tensione $ T = (mv_i^2R_i^2)/R_f^3 $, io avrò una variazione di raggio, una variazione di velocità angolare dovuta alla variazione del punto di massa, il che mi porterà via del lavoro, quindi:
$ W = T*DeltaR $ esprimibile in questo caso $ W = T*(R_i - R_f) $ ma in questo caso potremo anche esprimerla $ W = T*(0 - R_f) $, cioè il mio punto di origine $ 0 $ fino a $ R_f $ .
$W=(mv_i^2R_i^2)/R_f^3*(0 - R_f)$
$W=-(mv_i^2R_i^2)/R_f^2$ (Lavoro non conservativo)
Il lavoro in gioco sarà dato dalla somma delle seguenti:
$W=1/2mv_i^2+[-(mv_i^2R_i^2)/R_f^2]$
Il testo mi dice che il risultato deve essere $ W = -1/2mv_i^2(1-R_i^2/R_f^2) $
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