Problema lancio di un proiettile
Buonasera a tutti,
siccome negli ultimi giorni Shackle ha proposto un problema interessante (peccato che nessun altro si sia cimentato) e siccome si è fatto un gran parlare di sistemi inerziali e non, vorrei proporre un problema per valutare quantitativamente gli effetti della rotazione della Terra sul lancio di un proiettile.
Premetto che non mi sono cimentato nella risoluzione del problema, di conseguenza ignoro quale sia il risultato esatto (ammesso che sia risolubile analiticamente): ovviamente sappiamo che la perturbazione introdotta è piccola, se consideriamo un lancio che avviene su scale di grandezza "umane" (nel senso, il lancio potrebbe essere eseguito da un cannone, con gittata ~ 10ine km).
L'idea è cercare di derivare la legge oraria e la traiettoria del proiettile e confrontarla con un lancio analogo eseguito su una ipotetica Terra che non ruota: entrambe hanno stessa massa e stessa forma che supponiamo per semplicità sferica (ammesso che serva davvero questa info).
Magari i conti potrebbero rivelarsi impestati, e non tutti posseggono gli strumenti adeguati per giungere alla soluzione finale, ma secondo me è un utile esercizio per identificare tutti gli ingredienti e considerare solo quelli il cui effetto è rilevante. Quindi qualsiasi intervento, anche qualitativo è ben accetto.
La speranza è che ci sia un'anima pia che raccolga i vari interventi per formulare una soluzione ben articolata e corretta. Certo, se poi c'è qualcuno che arriva alla soluzione da solo tanto meglio eh
In particolare:
0) quali sono tutti gli effetti fisici che entrano in gioco? Nella vostra risoluzione, quali decidete di ignorare perché trascurabili e quali decidete di ignorare perché renderebbero impestata la soluzione? Quali invece considerate?
1) calcolare il punto di impatto sul suolo se il lancio viene eseguito sull'equatore (supponiamo longitudine nulla) e verso NORD. Cosa accade se la palla viene lanciata verso SUD? E verso EST e OVEST? Il risultato varia al variare della longitudine? Perché?
2) stessa cosa se ipotizziamo un lancio eseguito a latitudine 45°. Il risultato cambia? Perché? Varia al variare della longitudine?
Si supponga un lancio eseguito con un angolo di 30° e una velocità iniziale del proiettile di $800m/s$, avente una massa $m = 4 kg$ . Per quanto riguarda l'accelerazione gravitazionale, si supponga $g = 10 m/s^2$. Spero di non avere dimenticato nessun dato: eventualmente integrerò, ma la cosa importante non sono tanto i dati (alla fine servono, ma solo per trovare il numero) ma piuttosto l'analisi del problema e la formulazione della sua dinamica.
Buon lavoro
siccome negli ultimi giorni Shackle ha proposto un problema interessante (peccato che nessun altro si sia cimentato) e siccome si è fatto un gran parlare di sistemi inerziali e non, vorrei proporre un problema per valutare quantitativamente gli effetti della rotazione della Terra sul lancio di un proiettile.
Premetto che non mi sono cimentato nella risoluzione del problema, di conseguenza ignoro quale sia il risultato esatto (ammesso che sia risolubile analiticamente): ovviamente sappiamo che la perturbazione introdotta è piccola, se consideriamo un lancio che avviene su scale di grandezza "umane" (nel senso, il lancio potrebbe essere eseguito da un cannone, con gittata ~ 10ine km).
L'idea è cercare di derivare la legge oraria e la traiettoria del proiettile e confrontarla con un lancio analogo eseguito su una ipotetica Terra che non ruota: entrambe hanno stessa massa e stessa forma che supponiamo per semplicità sferica (ammesso che serva davvero questa info).
Magari i conti potrebbero rivelarsi impestati, e non tutti posseggono gli strumenti adeguati per giungere alla soluzione finale, ma secondo me è un utile esercizio per identificare tutti gli ingredienti e considerare solo quelli il cui effetto è rilevante. Quindi qualsiasi intervento, anche qualitativo è ben accetto.
La speranza è che ci sia un'anima pia che raccolga i vari interventi per formulare una soluzione ben articolata e corretta. Certo, se poi c'è qualcuno che arriva alla soluzione da solo tanto meglio eh
In particolare:
0) quali sono tutti gli effetti fisici che entrano in gioco? Nella vostra risoluzione, quali decidete di ignorare perché trascurabili e quali decidete di ignorare perché renderebbero impestata la soluzione? Quali invece considerate?
1) calcolare il punto di impatto sul suolo se il lancio viene eseguito sull'equatore (supponiamo longitudine nulla) e verso NORD. Cosa accade se la palla viene lanciata verso SUD? E verso EST e OVEST? Il risultato varia al variare della longitudine? Perché?
2) stessa cosa se ipotizziamo un lancio eseguito a latitudine 45°. Il risultato cambia? Perché? Varia al variare della longitudine?
Si supponga un lancio eseguito con un angolo di 30° e una velocità iniziale del proiettile di $800m/s$, avente una massa $m = 4 kg$ . Per quanto riguarda l'accelerazione gravitazionale, si supponga $g = 10 m/s^2$. Spero di non avere dimenticato nessun dato: eventualmente integrerò, ma la cosa importante non sono tanto i dati (alla fine servono, ma solo per trovare il numero) ma piuttosto l'analisi del problema e la formulazione della sua dinamica.
Buon lavoro
Risposte
La forma del proiettile e il suo moto è da quel poco che ne so molto importante. Un proiettile sferico è influenzato molto di più dalla resistenza dell'aria e dal vento piuttosto che un proiettile moderno a cui è stata applicata anche una rotazione lungo il suo asse. A meno di parlare di missili con portate molto lunghe questi fattori sono secondo me più importanti della rotazione della Terra.
Sì sono assolutamente d'accordo: l'attrito viscoso dovuto all'atmosfera è molto importante e introduce una dipendenza dalla geometria del proiettile. E certamente l'effetto è molto più grande rispetto agli effetti di rotazione della Terra.
Trascurare questo effetto rende la soluzione, all'atto pratico, inutile.
Questo era proprio l'intervento che speravo di ottenere a seguito del mio del mio post: un intervento "critico" (nel senso ovviamente buono del termine) che facesse notare questa cosa. Considerare questo effetto significa introdurre ulteriori ipotesi (forma del proiettile? rotazione del proiettile?) e rendono la soluzione più complicata.
Se qualcuno vuole aggiungere anche questo ulteriore grado di libertà al problema, faccia pure
Altrimenti, supponiamo che l'atmosfera sia assente ... e andiamo avanti
Trascurare questo effetto rende la soluzione, all'atto pratico, inutile.
Questo era proprio l'intervento che speravo di ottenere a seguito del mio del mio post: un intervento "critico" (nel senso ovviamente buono del termine) che facesse notare questa cosa. Considerare questo effetto significa introdurre ulteriori ipotesi (forma del proiettile? rotazione del proiettile?) e rendono la soluzione più complicata.
Se qualcuno vuole aggiungere anche questo ulteriore grado di libertà al problema, faccia pure
Altrimenti, supponiamo che l'atmosfera sia assente ... e andiamo avanti
Be’, da praticone quale sono, mi viene innanzitutto da dire che se il riferimento Terra ruota ( 1º ipotesi) si devono mettere in conto, oltre alla gravità, la forza apparente centrifuga e la forza di Coriolis. Ho preso queste semplici immagini da Hyperphysics:
Se mettiamo un cannone al Polo Nord, e guardiamo la Terra da un punto dell’asse sopra il PN, la Terra ruota da Ovest verso Est , quindi apparirà rotante in verso antiorario all’osservatore. Il cannone spara il proiettile in direzione di un meridiano, verso Sud, per colpire una nave a 1 km; ma la forza di Coriolis nel sistema rotante vale $vecF_(co) = -2vecomega\times vecv$ , diretta verso la destra dell’osservatore, nel sistema rotante, per cui il proiettile manca la nave, passandole dietro, cioè devia verso Ovest della Terra. Del resto, questo è ciò che causa la rotazione delle masse d’aria nei cicloni, no? ( è piu complesso di questo...)
Essendo il cannone al Polo Nord, si può trascurare la forza centrifuga in prima istanza. Quindi c’è la forza di gravità (senza la correzione dovuta alla forza centrifuga, come detto) e la forza apparente di Coriolis, che determinano la traiettoria del proiettile nel riferimento rotante della Terra. La resistenza al moto dell’aria, giustamente richiamata da Patriarca, la lasciamo perdere.
Quindi tu vorresti scrivere l’equazione della traiettoria del proiettile nel riferimento rotante della Terra...Si può fare, anzi mi ricordo che in un lontano passato è stato già fatto nel forum...Devo fare mente locale, era una discussione a cui aveva preso parte pure Faussone...E se mi ricordo bene, considerando localmente la Terra piatta , come una piattaforma rotante attorno all’ asse polare, viene fuori che la traiettoria è un pezzo di spirale di Archimede sul piano della piattaforma. Però c’è da aggiungere anche il peso mg, quindi la spirale di A. è la proiezione della traiettoria spaziale sul “piano rotante “ attorno al polo.
Ma essendo io un praticone, preferisco andare a cercare quella discussione che ti dicevo. Ora chiudo.
Se mettiamo un cannone al Polo Nord, e guardiamo la Terra da un punto dell’asse sopra il PN, la Terra ruota da Ovest verso Est , quindi apparirà rotante in verso antiorario all’osservatore. Il cannone spara il proiettile in direzione di un meridiano, verso Sud, per colpire una nave a 1 km; ma la forza di Coriolis nel sistema rotante vale $vecF_(co) = -2vecomega\times vecv$ , diretta verso la destra dell’osservatore, nel sistema rotante, per cui il proiettile manca la nave, passandole dietro, cioè devia verso Ovest della Terra. Del resto, questo è ciò che causa la rotazione delle masse d’aria nei cicloni, no? ( è piu complesso di questo...)
Essendo il cannone al Polo Nord, si può trascurare la forza centrifuga in prima istanza. Quindi c’è la forza di gravità (senza la correzione dovuta alla forza centrifuga, come detto) e la forza apparente di Coriolis, che determinano la traiettoria del proiettile nel riferimento rotante della Terra. La resistenza al moto dell’aria, giustamente richiamata da Patriarca, la lasciamo perdere.
Quindi tu vorresti scrivere l’equazione della traiettoria del proiettile nel riferimento rotante della Terra...Si può fare, anzi mi ricordo che in un lontano passato è stato già fatto nel forum...Devo fare mente locale, era una discussione a cui aveva preso parte pure Faussone...E se mi ricordo bene, considerando localmente la Terra piatta , come una piattaforma rotante attorno all’ asse polare, viene fuori che la traiettoria è un pezzo di spirale di Archimede sul piano della piattaforma. Però c’è da aggiungere anche il peso mg, quindi la spirale di A. è la proiezione della traiettoria spaziale sul “piano rotante “ attorno al polo.
Ma essendo io un praticone, preferisco andare a cercare quella discussione che ti dicevo. Ora chiudo.
Non ho molta voglia di fare i conti ora, secondo me comunque non serve fare conti accurati, basta calcolare l'accelerazione di Coriolis, stimare i tempi in gioco e vedere se ha un effetto sulla cinematica in quei tempi.
Se dovessi scommettere, assumendo che siamo su una scala della decina di chilometri, l'effetto dovrebbe essere sensibile.
Mi pare, anzi, che in ambito militare il calcolo della traiettoria dei colpi di cannone sia influenzato da Coriolis (in ambito meteorologico Coriolis è fondamentale di sicuro poi).
Se dovessi scommettere, assumendo che siamo su una scala della decina di chilometri, l'effetto dovrebbe essere sensibile.
Mi pare, anzi, che in ambito militare il calcolo della traiettoria dei colpi di cannone sia influenzato da Coriolis (in ambito meteorologico Coriolis è fondamentale di sicuro poi).
Non ho letto il problema posto da Shackle, perché non sono riuscito a trovarlo, ma ho provato a interpretare la traiettoria della velocità di una parabola per un razzo (satellite) che venga lanciato perpendicolarmente ad un ipotetico Pianeta.
Se qualcuno vuol dargli un’occhiata: saltando la prima parte e partendo dalla VELOCITA.
Puoi Kliccare QUI
https://drive.google.com/file/d/11VV2j0 ... sp=sharing
Se qualcuno vuol dargli un’occhiata: saltando la prima parte e partendo dalla VELOCITA.
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