Problema interessante di meccanica (equilibrio)
In un triangolo equilatero sono posizionate due sferette cave libere di muoversi, di massa m e αm, collegate tra di loro con una fune inestensibile di cui non conosciamo la lunghezza. Qual'è l'angolo che la fune forma con la base del triangolo quando tutto il sistema è in equilibrio?
Non ho proprio idea di come si possa fare un esercizio del genere. Ho cercato di partire dalle condizioni iniziali, ovvero considerando due piani inclinati e le sferette come punti materiali, soltanto che così facendo (visto che non c'è attrito) l'angolo che formerebbero sarebbe ovviamente 0 (la massa non dipende dall'accelerazione in un piano inclinato).
Tra le possibili risposte c'è anche che non è possibile risolvere il problema perchè manca la lunghezza della corda, io sono propenso per questa risposta, però non ho idee su come dimostrarlo.
Se qualcuno potesse illuminarmi gliene sarei grato.
Risposte
E' un problema di statica, quindi verifica che le risultanti delle forze e dei momenti siano nulle.
Le risultanti delle forze in che senso?
Devo considerare la forza di gravità delle due sferette? E i momenti rispetto a cosa?
Devo considerare la forza di gravità delle due sferette? E i momenti rispetto a cosa?
Devi considerare le forze attive o meno coinvolte: forza di gravità e vincoli.
La corda è inestensibile per cui le forze di tale vincolo sono sulla congiungente in direzioni opposte....si, direi che probabilmente la sola forza di gravità è sufficiente.
Non ho provato a risolverlo però avrei le seguenti considerazioni (spero non fuorvianti o errate!):
1) Fissare sistema di riferimento $veci, vecj$ (x,y) con origine nella sferetta di sinistra e solidale con essa
2) Esprimerei le coordinate della seconda in coordinate polari. In termini dell'angolo indicato e distanza da essa(considera la distanza dall'origine come variabile da 0 a $l$ (lunghezza corda inestensibile).
2.1) considererei la lunghezza della corda (come variabile letterale e cercherei di capire se nella soluzione essa rientra esplicitamente (in tal caso avresti la conferma che la lunghezza della corda è necessaria per trovare la soluzione).
Ciauz,
Jerico
La corda è inestensibile per cui le forze di tale vincolo sono sulla congiungente in direzioni opposte....si, direi che probabilmente la sola forza di gravità è sufficiente.
Non ho provato a risolverlo però avrei le seguenti considerazioni (spero non fuorvianti o errate!):
1) Fissare sistema di riferimento $veci, vecj$ (x,y) con origine nella sferetta di sinistra e solidale con essa
2) Esprimerei le coordinate della seconda in coordinate polari. In termini dell'angolo indicato e distanza da essa(considera la distanza dall'origine come variabile da 0 a $l$ (lunghezza corda inestensibile).
2.1) considererei la lunghezza della corda (come variabile letterale e cercherei di capire se nella soluzione essa rientra esplicitamente (in tal caso avresti la conferma che la lunghezza della corda è necessaria per trovare la soluzione).
Ciauz,
Jerico
Il problema è che non riesco ad individuare in che direzione e che intensità ha la forza del vincolo della corda.
Ad esempio prendiamo la sferetta di sinistra. Su di lei agiscono:
La componente parallela al lato del triangolo della forza di gravità: $ m*g*sin(phi) $
La componente perpendicolare al lato del triangolo della forza di gravità: $ m*g*cos(phi) $
Quest'ultima ovviamente viene annullata da una forza normale di intensità uguale ma di direzione opposta.
Affinchè questa sferetta sia in equilibrio deve esserci qualcosa (la fune) che gli applichi una forza pari a $ m*g*sin(phi) $ ma di direzione opposta a quella della forza di gravità.
Ad esempio prendiamo la sferetta di sinistra. Su di lei agiscono:
La componente parallela al lato del triangolo della forza di gravità: $ m*g*sin(phi) $
La componente perpendicolare al lato del triangolo della forza di gravità: $ m*g*cos(phi) $
Quest'ultima ovviamente viene annullata da una forza normale di intensità uguale ma di direzione opposta.
Affinchè questa sferetta sia in equilibrio deve esserci qualcosa (la fune) che gli applichi una forza pari a $ m*g*sin(phi) $ ma di direzione opposta a quella della forza di gravità.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano (come quello che ho detto prima usando però coordinate cartesiane o altro) si dovrebbe poter scomporre ogni forza nelle componenti relative ai due assi e la somma essere nulla.
In effetti non saprei come tenere conto del vincolo del triangolo..., forse in sistema sulle posizioni della sferetta di destra.....
In effetti non saprei come tenere conto del vincolo del triangolo..., forse in sistema sulle posizioni della sferetta di destra.....
Qualcuno sa darmi qualche dritta su come considerare le forze in questione?
Ciao, sono ancora io 
Ho un'ulteriore considerazione da sottoporti e a dire il vero questo esercizio è interessante e vorrei capire come risolverlo.
Considerazione: il sistema è in equilibrio se il risultante delle forze ed il momento risultante delle forze sono nulli, giusto?
Quindi, nel sistema di riferimento solidale alla sferetta di sinistra (ad esempio) per calcolare i momenti delle forze applicati alla sferetta di destra è necessario conoscere la lunghezza della corda. In mancanza di questa quantità, allora non si può risolvere il problema.....prendi questa cosa con le pinze, non sono convinto neppure io
Ciao
Ho un'ulteriore considerazione da sottoporti e a dire il vero questo esercizio è interessante e vorrei capire come risolverlo.
Considerazione: il sistema è in equilibrio se il risultante delle forze ed il momento risultante delle forze sono nulli, giusto?
Quindi, nel sistema di riferimento solidale alla sferetta di sinistra (ad esempio) per calcolare i momenti delle forze applicati alla sferetta di destra è necessario conoscere la lunghezza della corda. In mancanza di questa quantità, allora non si può risolvere il problema.....prendi questa cosa con le pinze, non sono convinto neppure io
Ciao
Le masse sono puntiformi, quindi puoi limitarti a considerare l'equilibrio tra le forze, evitando i momenti. Di conseguenza nelle equazioni di equilibrio non entra la lunghezza della corda. Intuitivamente, si può dire che se pongo due coppie uguali di masse (le coppie sono uguali, non le masse della coppia) collegate da fili di diversa lunghezza, mi aspetto che all'equilibrio i due fili siano paralleli.
Su ciascuna massa agiscono tre forze:
- gravità, diretta verticalmente
- tensione del filo (di modulo uguale per entrambe le masse), diretta lungo il filo
- reazione del vincolo, diretta perpendicolarmente al lato del triangolo
Per impostare le equazioni, rimangono alcune considerazioni geometriche per determinare, in funzione di $\phi$, l'angolo del filo con il lato. Dal disegno, puoi notare che sulla massa di sinistra la somma dell'angolo cercato e $\phi$ è $\pi/3$. Sulla massa di destra, è la differenza tra questo angolo e $\phi$ ad essere $\pi/3$.
A questo punto imponi per entrambe le masse le condizioni di equilibrio tra le componenti delle forze parallelamente e perpendicolarmente al lato, da cui puoi ricavare il valore di $\phi$.
Su ciascuna massa agiscono tre forze:
- gravità, diretta verticalmente
- tensione del filo (di modulo uguale per entrambe le masse), diretta lungo il filo
- reazione del vincolo, diretta perpendicolarmente al lato del triangolo
Per impostare le equazioni, rimangono alcune considerazioni geometriche per determinare, in funzione di $\phi$, l'angolo del filo con il lato. Dal disegno, puoi notare che sulla massa di sinistra la somma dell'angolo cercato e $\phi$ è $\pi/3$. Sulla massa di destra, è la differenza tra questo angolo e $\phi$ ad essere $\pi/3$.
A questo punto imponi per entrambe le masse le condizioni di equilibrio tra le componenti delle forze parallelamente e perpendicolarmente al lato, da cui puoi ricavare il valore di $\phi$.
Bene sei stato molto chiaro.
Una sola precisazione: l'angolo cercato dal problema è phi! Quello che ho segnato nel disegno!
Provo a impostare le relazioni vettorialmente.
Per entrambi i punti abbiamo che:
$ Fg + Fv + T = 0 $
Dove Fg è la forza di gravità, Fn è la forza normale e T è la tensione del filo.
Dividendo le componenti ricavo, per il punto a sinistra:
$ Fg*sin(pi/3 -phi) + 0 + T = 0 $
$ Fg*cos(pi/3 - phi) + Fn + T = 0 $
E' esatto o mi sono perso qualcosa?
Una sola precisazione: l'angolo cercato dal problema è phi! Quello che ho segnato nel disegno!
Provo a impostare le relazioni vettorialmente.
Per entrambi i punti abbiamo che:
$ Fg + Fv + T = 0 $
Dove Fg è la forza di gravità, Fn è la forza normale e T è la tensione del filo.
Dividendo le componenti ricavo, per il punto a sinistra:
$ Fg*sin(pi/3 -phi) + 0 + T = 0 $
$ Fg*cos(pi/3 - phi) + Fn + T = 0 $
E' esatto o mi sono perso qualcosa?
Per la prima massa, parallelamente al lato, si ha
(1) [tex]mg \cos (\frac{\pi}{6}) =T \cos (\frac{\pi}{3}-\phi)[/tex]
in quanto l'angolo tra la verticale (lungo cui agisce la gravità) ed il lato del triangolo è [tex]$\pi/6$[/tex], e [tex]$\pi/3-\phi$[/tex] è invece quello tra il filo, lungo cui è diretta la tensione, ed il lato. Lungo la perpendicolare al lato si ha
(2) [tex]mg \sin (\frac{\pi}{6}) +T \sin (\frac{\pi}{3}-\phi) = R_1[/tex]
dove [tex]$R_1$[/tex] è la reazione vincolare.
Con procedimento identico, sulla seconda massa
(3) [tex]\alpha mg \cos (\frac{\pi}{6}) =T \cos (\frac{\pi}{3}+\phi)[/tex]
(4) [tex]\alpha mg \sin (\frac{\pi}{6}) +T \sin (\frac{\pi}{3}+\phi) = R_2[/tex].
Il sistema è così completo, ma per determinare il valore di [tex]$\phi$[/tex] sono sufficienti la (1) e la (3): dividendo le due equazioni si ottiene un'equazione trigonometrica in [tex]$\phi$[/tex].
(1) [tex]mg \cos (\frac{\pi}{6}) =T \cos (\frac{\pi}{3}-\phi)[/tex]
in quanto l'angolo tra la verticale (lungo cui agisce la gravità) ed il lato del triangolo è [tex]$\pi/6$[/tex], e [tex]$\pi/3-\phi$[/tex] è invece quello tra il filo, lungo cui è diretta la tensione, ed il lato. Lungo la perpendicolare al lato si ha
(2) [tex]mg \sin (\frac{\pi}{6}) +T \sin (\frac{\pi}{3}-\phi) = R_1[/tex]
dove [tex]$R_1$[/tex] è la reazione vincolare.
Con procedimento identico, sulla seconda massa
(3) [tex]\alpha mg \cos (\frac{\pi}{6}) =T \cos (\frac{\pi}{3}+\phi)[/tex]
(4) [tex]\alpha mg \sin (\frac{\pi}{6}) +T \sin (\frac{\pi}{3}+\phi) = R_2[/tex].
Il sistema è così completo, ma per determinare il valore di [tex]$\phi$[/tex] sono sufficienti la (1) e la (3): dividendo le due equazioni si ottiene un'equazione trigonometrica in [tex]$\phi$[/tex].
Della prima equazione mi è chiaro tutto.
Ma delle altre un po' meno..
So che chiedo tanto ma potresti farmi un disegno delle varie forze? Non riesco a capire per quale motivo ad esempio nella (3) è $ pi/3 + phi $.
Nella seconda sono riuscito ad individuare le forze in gioco ma non ho capito il motivo di quella equazione..
Ma delle altre un po' meno..
So che chiedo tanto ma potresti farmi un disegno delle varie forze? Non riesco a capire per quale motivo ad esempio nella (3) è $ pi/3 + phi $.
Nella seconda sono riuscito ad individuare le forze in gioco ma non ho capito il motivo di quella equazione..
Scusate se vi chiedo una cosa moooolto banale, ma a me la scomposizione rispetto ad un sistema di riferimento x,y standard (y lungo la verticale ascendente; x orizzontale diretta da sinistra a destra) non torna
Non capisco dove sbaglio, ho ricontrollato gli angoli etc
Mi aspetterei che la tensione del filo potesse essere eliminata e che l'angolo dipendesse dal rapporto delle masse, ma di qua non so come procedere....
Sfera di sinistra
y: $-F_g+F_v*sen(pi/6)+T*sen(phi) = 0 $
x: $0-F_v*cos(pi/6)+T*cos(phi) =0 $
Sfera di destra
y: $-F_g+F_v *sen(pi/6)-T*sen(phi) = 0$
x: $0+F_v*cos(pi/6)-T*cos(phi) = 0$
Non capisco dove sbaglio, ho ricontrollato gli angoli etc
Mi aspetterei che la tensione del filo potesse essere eliminata e che l'angolo dipendesse dal rapporto delle masse, ma di qua non so come procedere....
Sfera di sinistra
y: $-F_g+F_v*sen(pi/6)+T*sen(phi) = 0 $
x: $0-F_v*cos(pi/6)+T*cos(phi) =0 $
Sfera di destra
y: $-F_g+F_v *sen(pi/6)-T*sen(phi) = 0$
x: $0+F_v*cos(pi/6)-T*cos(phi) = 0$
Hmm, il disegno è sempre stato la mia bestia nera. Comunque prova con questo.
Le equazioni di Jerico a prima vista mi sembrano corrette, ma poichè si portano tutte dietro le reazioni vincolari, ci si trova ad eliminare tre incognite, e quindi effettuare più passaggi, invece della sola [tex]T[/tex]. L'angolo dipende dal rapporto delle masse: nella tua prima coppia di equazioni [tex]F_g = mg[/tex], [tex]F_v=R_1[/tex], nella seconda [tex]F_g=\alpha mg[/tex], [tex]F_v=R_2[/tex]. Usare gli stessi simboli per forze diverse può essere ingannevole.
La scelta degli assi è arbitraria. In questo caso scegliere il lato e la normale richiede qualche semplice considerazione geometrica, ma ha il vantaggio di fornire equazioni più semplici, mentre verticale ed orizzontale permettono di scrivere immediatamente le equazioni, ma richiedono poi più algebra. Personalmente, poichè sotto la concitazione dell'esame ero soggetto a commettere errori di calcolo, mi sentivo più sicuro con equazioni più semplici, anche se meno immediate.
Le equazioni di Jerico a prima vista mi sembrano corrette, ma poichè si portano tutte dietro le reazioni vincolari, ci si trova ad eliminare tre incognite, e quindi effettuare più passaggi, invece della sola [tex]T[/tex]. L'angolo dipende dal rapporto delle masse: nella tua prima coppia di equazioni [tex]F_g = mg[/tex], [tex]F_v=R_1[/tex], nella seconda [tex]F_g=\alpha mg[/tex], [tex]F_v=R_2[/tex]. Usare gli stessi simboli per forze diverse può essere ingannevole.
La scelta degli assi è arbitraria. In questo caso scegliere il lato e la normale richiede qualche semplice considerazione geometrica, ma ha il vantaggio di fornire equazioni più semplici, mentre verticale ed orizzontale permettono di scrivere immediatamente le equazioni, ma richiedono poi più algebra. Personalmente, poichè sotto la concitazione dell'esame ero soggetto a commettere errori di calcolo, mi sentivo più sicuro con equazioni più semplici, anche se meno immediate.
Grazie del disegno, ora è tutto molto più chiaro.
L'unica cosa che non ho capito è come hai scelto gli assi per le coordinate.
L'asse x parallelo al lato e l'asse y perpendicolare ad esso?
L'unica cosa che non ho capito è come hai scelto gli assi per le coordinate.
L'asse x parallelo al lato e l'asse y perpendicolare ad esso?
Esatto. Come già detto, per ciascuna massa le equazioni sono scritte proiettando prima sul lato poi sulla perpendicolare, Jerico ha invece preferito usare gli assi orizzontale e verticale. La scelta è lasciata al risolutore.
Cmax sei stato chiarissimo e dispnibile, ti ringrazio.
Grazie anche da parte mia.
Ciao,
Jerico
Ciao,
Jerico
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