Problema in cui una lastra quadrata è vincolata a ruotare
Una lastra quadrata piana, sottile ed omogenea, di massa M = 10,0 kg e lato L = 1,54 m è
un piano verticale e vincolata a ruotare senza attrito attorno al punto A. All'istante iniziale la lastra è
posizionata come in Figura, e lasciata libera di muoversi sotto l'azione della sola forza peso. Calcolare:
a) il momento di inerzia della lastra quadrata rispetto al punto A;
b) l'accelerazione angolare della lastra quadrata all'istante iniziale;
c) il modulo della forza F, disposta come in Figura, che e necessario applicare in B per tenere il sistema in
equilibrio.
[Suggerimenti: a) Nei primi due quesiti non agisce la forza indicata in Figura, che diventa invece rilevante
nel terzo quesito; b) Dati tre assi ortogonali qualsiasi i, j, k, i momento di inerzia di un corpo rigido rispetto
a tali assi sono legati dalla relazione Ii + Ij = Ik].
disposta in
un piano verticale e vincolata a ruotare senza attrito attorno al punto A. All'istante iniziale la lastra è
posizionata come in Figura, e lasciata libera di muoversi sotto l'azione della sola forza peso. Calcolare:
a) il momento di inerzia della lastra quadrata rispetto al punto A;
b) l'accelerazione angolare della lastra quadrata all'istante iniziale;
c) il modulo della forza F, disposta come in Figura, che e necessario applicare in B per tenere il sistema in
equilibrio.
[Suggerimenti: a) Nei primi due quesiti non agisce la forza indicata in Figura, che diventa invece rilevante
nel terzo quesito; b) Dati tre assi ortogonali qualsiasi i, j, k, i momento di inerzia di un corpo rigido rispetto
a tali assi sono legati dalla relazione Ii + Ij = Ik].
disposta in
Risposte
Idee tue?
P.S.: magari mentre le esponi pensa anche ad un titolo più significativo e modifica quello attuale, che non dice un granchè sull'argomento del post.
P.S.: magari mentre le esponi pensa anche ad un titolo più significativo e modifica quello attuale, che non dice un granchè sull'argomento del post.
li ho scritti i suggerimento che mi sono venuti in mente
I suggerimenti sembravano far parte del testo... E il suggerimento a) in realtà non fa che ripetere quanto già si sa, e il b) non mi è chiaro cosa c'entra.
Comunque: per trovare il momento d'inerzia basta pensare, per esempio, che
- quello di un punto materiale è $I = mr^2$
- è additivo
- si sa come si comporta quando si sposta il polo (teorema di Huygens Steiner)
Quindi suggerisco:
- dividi il quadrato in due triangoli con un taglio CD
- calcola $I$ per il triangolo ACD, tagliando il triangolo a fettine parallele a CD, che sono lunghe $2x$ (se $x$ è la distanza da A). La massa della fettina la trovi introducendo una densità superficiale $lambda$, moltiplicandola per $2xdx$ (area della fetta) e poi integrando su $x$
- calcola allo stesso modo $I$ per il triangolo BCD (eventualmente usa H-S) e sommalo a quello già trovato
Per l'accelerazione angolare, basta notare che $M = I \dotomega$, dove il momento $M$ è quello del peso rispetto al polo $A$
Per trovare la forza, basta che questa abbia momento uguale e opposto a quello del peso, e basta che noti che il braccio della forza è L, e il braccio del peso è $Lsqrt2/2$
Comunque: per trovare il momento d'inerzia basta pensare, per esempio, che
- quello di un punto materiale è $I = mr^2$
- è additivo
- si sa come si comporta quando si sposta il polo (teorema di Huygens Steiner)
Quindi suggerisco:
- dividi il quadrato in due triangoli con un taglio CD
- calcola $I$ per il triangolo ACD, tagliando il triangolo a fettine parallele a CD, che sono lunghe $2x$ (se $x$ è la distanza da A). La massa della fettina la trovi introducendo una densità superficiale $lambda$, moltiplicandola per $2xdx$ (area della fetta) e poi integrando su $x$
- calcola allo stesso modo $I$ per il triangolo BCD (eventualmente usa H-S) e sommalo a quello già trovato
Per l'accelerazione angolare, basta notare che $M = I \dotomega$, dove il momento $M$ è quello del peso rispetto al polo $A$
Per trovare la forza, basta che questa abbia momento uguale e opposto a quello del peso, e basta che noti che il braccio della forza è L, e il braccio del peso è $Lsqrt2/2$
Non c'è bisogno di fare tutto questo, per trovare il momento di inerzia. Il momento di inerzia di una lamina quadrata , rispetto a qualunque retta r complanare alla lamina e passante per il centro C , vale :
$I_r = ML^2/(12)$
basta considerare la simmetria per rotazione di 90º del quadrato nel suo piano. [nota]L'ellisse centrale di inerzia di un quadrato è una circonferenza.[/nota]Quindi il momento di inerzia rispetto a un asse perpendicolare al piano e passante per centro è il doppio :
$I_c = 2I_r = ML^2/6$
trovato $I_c$ , basta applicare HS per trovare $I_A$.
$I_r = ML^2/(12)$
basta considerare la simmetria per rotazione di 90º del quadrato nel suo piano. [nota]L'ellisse centrale di inerzia di un quadrato è una circonferenza.[/nota]Quindi il momento di inerzia rispetto a un asse perpendicolare al piano e passante per centro è il doppio :
$I_c = 2I_r = ML^2/6$
trovato $I_c$ , basta applicare HS per trovare $I_A$.
"Shackle":Bello, ma bisogna saperlo...
Non c'è bisogno di fare tutto questo, per trovare il momento di inerzia. Il momento di inerzia di una lamina quadrata , rispetto a qualunque retta r complanare alla lamina e passante per il centro C , vale :
$I_r = ML^2/(12)$
"Shackle":
basta considerare la simmetria per rotazione di 90º del quadrato nel suo piano.
Qui non capisco: in che modo dalla simmetria deriva questo?
"mgrau":Bello, ma bisogna saperlo... [/quote]
[quote="Shackle"]Non c'è bisogno di fare tutto questo, per trovare il momento di inerzia. Il momento di inerzia di una lamina quadrata , rispetto a qualunque retta r complanare alla lamina e passante per il centro C , vale :
$I_r = ML^2/(12)$
Il momento di inerzia di area di un rettangolo , di base $L$ e altezza $B$ , rispetto a un asse $x$ baricentrico parallelo a $L$ vale :
$I_x = (LB^3)/12 = A*B^2/12$ , dove $A$ è l'area; ma può essere benissimo la massa, se la lamina è omogenea e se stiamo parlando di momento di inerzia di massa. Se prendiamo un asse $y$ baricentrico perpendicolare a $x$ , si ha :
$I_y = (BL^3)/12 = A*L^2/12$
In un quadrato , $L = B$ . I due momenti centrali di inerzia $I_x$ e $I_y$ nel quadrato sono quindi uguali. E se sono uguali loro, sono uguali tutti i momenti di inerzia, rispetto a qualunque retta $r$ complanare passante per C: si dimostra valutando come varia il momento di inerzia , rispetto a un asse complanare $r$ passante per C , facendo variare l'angolo $alpha$ che $r$ forma con $x$ . Questo si trova in tutte le dispense che trattano di geometria delle masse. Quanto detto per il quadrato vale per sistemi piani in generale.
"Shackle":
basta considerare la simmetria per rotazione di 90º del quadrato nel suo piano.
Qui non capisco: in che modo dalla simmetria deriva questo?
Se ruoti il quadrato di 90º , gli assi x ed y centrali si scambiano tra loro , no ? Quindi , come già detto sopra : $I_x=I_y$ . per disegnare un'ellisse di inerzia, relativa a un certo punto, basta conoscere due momenti principali rispetto ad assi passanti per il punto e tra loro perpendicolari : dai momenti si passa agli assi della conica di inerzia.
Cfr par. 1.10 e 1.15 di questa dispensa .
il quadrato non è l'unica figura piana che gode di certe proprietà.
Ho messo una nota a bella posta , prima . Se un'ellisse ha i due assi uguali , è una circonferenza. Tracciata una retta per il centro , il semiasse intercettato sulla conica determina il raggio di inerzia e quindi il momento di inerzia . Se la conica è una circonferenza....
"Shackle":E questo lo sapevo...
In un quadrato , $L = B$ . I due momenti centrali di inerzia $I_x$ e $I_y$ nel quadrato sono quindi uguali.
"Shackle":Questo invece no, o non ci avevo pensato....
E se sono uguali loro, sono uguali tutti i momenti di inerzia, rispetto a qualunque retta $r$ complanare passante per C:
Non ci avevi pensato. In geometria euclidea piana , è vero per tutti i poligoni regolari, a partire dal triangolo equilatero. Non credo sia vero per un triangolo scaleno qualunque, bisognerebbe fare una verifica.
Capita anche per corpi solidi , per esempio in un cubo l'ellissoide centrale di inerzia è una sfera. Ma non solo in un cubo o una sfera.
Capita anche per corpi solidi , per esempio in un cubo l'ellissoide centrale di inerzia è una sfera. Ma non solo in un cubo o una sfera.
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