Problema gravitazione
Un satellite di massa 500Kg ruota attorno alla terra descrivendo un’orbita circolare con raggio pari a 10000 Km. Successivamente il satellite viene portato su un’orbita di raggio 20000Km. Calcolare il lavoro necessario per spostare il satellite da un’orbita all’altra e la differenza di energia meccanica totale tra le due orbite.
Ho questo problema,solo non sono sicuro di averlo fatto bene.Il ragionamento che ho fatto è il seguente:
Energia meccanica in A$=(1/2)m(v_a)^2-(GMm)/r_1$
Energia meccanica in B$=(1/2)m(v_b)^2-(GMm)/r_2$
Ora,dato che la forza con cui la terra attira il satellite per il satellite è una forza centripeta, allora $(GMm)/r^2=m(ω)^2r=m(v)^2/r$, ovvero:$v^2=(GM)/r$
sostituendo:
$E_a=(1/2)m(GM)/r_1-(GMm)/r_1$ e $E_b=(1/2)m(GM)/r_2-(GMm)/r_2$
Dato che il lavoro della forza non conservativa che porta il satellite dalla prima orbita alla seconda sarà:$W_(nc)=E_b-E_a=ΔE_m$
andando a sostituire:$W_(nc)=ΔE_m=(1/2)(GMm)(1/r_1-1/r_2)=(4,97)(10^9) J
La domanda che mi faccio, però, è la seguente:l'energia meccanica in B non dovrebbe essere minore dell'energia meccanica in A?Ovvero $E_b-E_a$non dovrebbe essere <0, mentre a me viene positivo?
vi ringrazio antiipatamente.
Ho questo problema,solo non sono sicuro di averlo fatto bene.Il ragionamento che ho fatto è il seguente:
Energia meccanica in A$=(1/2)m(v_a)^2-(GMm)/r_1$
Energia meccanica in B$=(1/2)m(v_b)^2-(GMm)/r_2$
Ora,dato che la forza con cui la terra attira il satellite per il satellite è una forza centripeta, allora $(GMm)/r^2=m(ω)^2r=m(v)^2/r$, ovvero:$v^2=(GM)/r$
sostituendo:
$E_a=(1/2)m(GM)/r_1-(GMm)/r_1$ e $E_b=(1/2)m(GM)/r_2-(GMm)/r_2$
Dato che il lavoro della forza non conservativa che porta il satellite dalla prima orbita alla seconda sarà:$W_(nc)=E_b-E_a=ΔE_m$
andando a sostituire:$W_(nc)=ΔE_m=(1/2)(GMm)(1/r_1-1/r_2)=(4,97)(10^9) J
La domanda che mi faccio, però, è la seguente:l'energia meccanica in B non dovrebbe essere minore dell'energia meccanica in A?Ovvero $E_b-E_a$non dovrebbe essere <0, mentre a me viene positivo?
vi ringrazio antiipatamente.
Risposte
"darinter":
Un satellite di massa 500Kg ruota attorno alla terra descrivendo un’orbita circolare con raggio pari a 10000 Km. Successivamente il satellite viene portato su un’orbita di raggio 20000Km. Calcolare il lavoro necessario per spostare il satellite da un’orbita all’altra e la differenza di energia meccanica totale tra le due orbite.
Ho questo problema,solo non sono sicuro di averlo fatto bene.Il ragionamento che ho fatto è il seguente:
Energia meccanica in A$=(1/2)m(v_a)^2-(GMm)/r_1$
Energia meccanica in B$=(1/2)m(v_b)^2-(GMm)/r_2$
Ora,dato che la forza con cui la terra attira il satellite per il satellite è una forza centripeta, allora $(GMm)/r^2=m(ω)^2r=m(v)^2/r$, ovvero:$v^2=(GM)/r$
sostituendo:
$E_a=(1/2)m(GM)/r_1-(GMm)/r_1$ e $E_b=(1/2)m(GM)/r_2-(GMm)/r_2$
Dato che il lavoro della forza non conservativa che porta il satellite dalla prima orbita alla seconda sarà:$W_(nc)=E_b-E_a=ΔE_m$
andando a sostituire:$W_(nc)=ΔE_m=(1/2)(GMm)(1/r_1-1/r_2)=(4,97)(10^9) J
La domanda che mi faccio, però, è la seguente:l'energia meccanica in B non dovrebbe essere minore dell'energia meccanica in A?Ovvero $E_b-E_a$non dovrebbe essere <0, mentre a me viene positivo?
vi ringrazio antiipatamente.
scusa ma la variazione di lavoro, non dovrebbe essere dettata dal
teorema delle vforze vive?:
$W_(nc)=DeltaK=1/2(mMG)/r_2-1/2(mMG)/r_1
quello che hai calcolato te è la variazione di energia totale.
comunque
$DeltaE=E_b-E_a=(K_b-K_a)+(U_a-U_b)=(GMm)/2(1/r_2-1/r_1)+(GMm)(1/r_1-1/r_2)$ quindi l'energia potenziale in A è maggiore dell'energia potenziale in B.
infatti se fai $U_b+DeltaE=U_a$ed essendo che $U_b$ e $U_a$ sono negative, ti risulta che $U_a>U_b$ come è effettivamente.
"fu^2":
[quote="darinter"]Un satellite di massa 500Kg ruota attorno alla terra descrivendo un’orbita circolare con raggio pari a 10000 Km. Successivamente il satellite viene portato su un’orbita di raggio 20000Km. Calcolare il lavoro necessario per spostare il satellite da un’orbita all’altra e la differenza di energia meccanica totale tra le due orbite.
Ho questo problema,solo non sono sicuro di averlo fatto bene.Il ragionamento che ho fatto è il seguente:
Energia meccanica in A$=(1/2)m(v_a)^2-(GMm)/r_1$
Energia meccanica in B$=(1/2)m(v_b)^2-(GMm)/r_2$
Ora,dato che la forza con cui la terra attira il satellite per il satellite è una forza centripeta, allora $(GMm)/r^2=m(ω)^2r=m(v)^2/r$, ovvero:$v^2=(GM)/r$
sostituendo:
$E_a=(1/2)m(GM)/r_1-(GMm)/r_1$ e $E_b=(1/2)m(GM)/r_2-(GMm)/r_2$
Dato che il lavoro della forza non conservativa che porta il satellite dalla prima orbita alla seconda sarà:$W_(nc)=E_b-E_a=ΔE_m$
andando a sostituire:$W_(nc)=ΔE_m=(1/2)(GMm)(1/r_1-1/r_2)=(4,97)(10^9) J
La domanda che mi faccio, però, è la seguente:l'energia meccanica in B non dovrebbe essere minore dell'energia meccanica in A?Ovvero $E_b-E_a$non dovrebbe essere <0, mentre a me viene positivo?
vi ringrazio antiipatamente.
scusa ma la variazione di lavoro, non dovrebbe essere dettata dal
teorema delle vforze vive?:
$W_(nc)=DeltaK=1/2(mMG)/r_2-1/2(mMG)/r_1
quello che hai calcolato te è la variazione di energia totale.
comunque
$DeltaE=E_b-E_a=(K_b-K_a)+(U_a-U_b)=(GMm)/2(1/r_2-1/r_1)+(GMm)(1/r_1-1/r_2)$ quindi l'energia potenziale in A è maggiore dell'energia potenziale in B.
infatti se fai $U_b+DeltaE=U_a$ed essendo che $U_b$ e $U_a$ sono negative, ti risulta che $U_a>U_b$ come è effettivamente.[/quote]
Hai ragione,grazie mille
"darinter":
La domanda che mi faccio, però, è la seguente:l'energia meccanica in B non dovrebbe essere minore dell'energia meccanica in A?Ovvero $E_b-E_a$non dovrebbe essere <0, mentre a me viene positivo?
un satellite in orbita è in uno stato legato; ha energia totale negativa (verificalo). Quindi per allontanarlo devi fornirgli energia, aumentando la sua energia meccanica: $E_b-E_a>0$.
@fu^2
in genere non si parla di variazione del lavoro, per lo meno nel senso che gli dai tu; si parla solo di lavoro compiuto dalla forza.
"kinder":
[quote="darinter"]La domanda che mi faccio, però, è la seguente:l'energia meccanica in B non dovrebbe essere minore dell'energia meccanica in A?Ovvero $E_b-E_a$non dovrebbe essere <0, mentre a me viene positivo?
un satellite in orbita è in uno stato legato; ha energia totale negativa (verificalo). Quindi per allontanarlo devi fornirgli energia, aumentando la sua energia meccanica: $E_b-E_a>0$.
@fu^2
in genere non si parla di variazione del lavoro, per lo meno nel senso che gli dai tu; si parla solo di lavoro compiuto dalla forza.[/quote]
si effettivamente variazione di lavoro è un termine molto imprciso,,,grazie della puntualizzazione
Alla fine mi trovo che la differenza di energia meccanica ed il lavoro sono uguali in modulo,ma diversi di segno(lavoro negativo,energia meccanica positiva), quindi $W=-ΔE_m$?E' giusto?
No. Il lavoro compiuto sul sistema ne incrementa l'energia. Hanno lo stesso segno. Non riesco a capire il tuo dubbio.
Allora, il lavoro che devi compiere sul satellite è uguale alla variazione della sua energia, quindi, con la tua notazione è: $W=E_b-E_a$.
Poiché $E=-1/2G(mM)/r$ hai: $W=(-1/2G(mM)/(r_b))-(-1/2G(mM)/(r_a))=1/2G(mM)/(r_a)-1/2G(mM)/(r_b)=1/2GmM(1/(r_a)-1/(r_b))$. OK?
Allora, il lavoro che devi compiere sul satellite è uguale alla variazione della sua energia, quindi, con la tua notazione è: $W=E_b-E_a$.
Poiché $E=-1/2G(mM)/r$ hai: $W=(-1/2G(mM)/(r_b))-(-1/2G(mM)/(r_a))=1/2G(mM)/(r_a)-1/2G(mM)/(r_b)=1/2GmM(1/(r_a)-1/(r_b))$. OK?
Allora:
Il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica,giusto?
quindi $W=E_(kb)-E_(ka)$ ovvero il lavoro è uguale all'energia cinetica finale meno quella iniziale.Fin qui è giusto?Però non capisco perchè l'energia cinetica ha segno negativo.Io mi trovo che $W=1/2(GmM)(1/r_b-1/r_a)$
Mentre per quanto riguarda la differenza di energia meccanica $ΔE_m=E_(mb)-E_(ma)$ e mi viene uguale a $1/2(GmM)(1/r_a-1/r_b)$
Il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica,giusto?
quindi $W=E_(kb)-E_(ka)$ ovvero il lavoro è uguale all'energia cinetica finale meno quella iniziale.Fin qui è giusto?Però non capisco perchè l'energia cinetica ha segno negativo.Io mi trovo che $W=1/2(GmM)(1/r_b-1/r_a)$
Mentre per quanto riguarda la differenza di energia meccanica $ΔE_m=E_(mb)-E_(ma)$ e mi viene uguale a $1/2(GmM)(1/r_a-1/r_b)$
Credo di aver capito dove stai pasticciando.
Il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica se questa è l'unica forma di energia meccanica in gioco. Se consideri, per esempio, il caso in cui sollevi un corpo, vedi che quanto affermi non è più vero, e che devi compiere lavoro anche per aumentare l'energia potenziale. Nel caso del satellite, portandolo su un'orbita più larga lo sollevi.
Se osservi l'espressione dell'energia meccanica del corpo in orbita vedrai che l'energia cinetica è pari alla metà, in valore assoluto, dell'energia potenziale. Ne consegue che l'energia meccanica è pari alla metà di quella potenziale. E' quì che hai pasticciato. Quindi, non devi limitarti a considerare il teorema delle forze vive, altrimenti i conti non ti tornano. Devi considerare che il lavoro andrà ad incrementare sia l'energia cinetica sia quella potenziale, quindi l'energia meccanica totale.
Il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica se questa è l'unica forma di energia meccanica in gioco. Se consideri, per esempio, il caso in cui sollevi un corpo, vedi che quanto affermi non è più vero, e che devi compiere lavoro anche per aumentare l'energia potenziale. Nel caso del satellite, portandolo su un'orbita più larga lo sollevi.
Se osservi l'espressione dell'energia meccanica del corpo in orbita vedrai che l'energia cinetica è pari alla metà, in valore assoluto, dell'energia potenziale. Ne consegue che l'energia meccanica è pari alla metà di quella potenziale. E' quì che hai pasticciato. Quindi, non devi limitarti a considerare il teorema delle forze vive, altrimenti i conti non ti tornano. Devi considerare che il lavoro andrà ad incrementare sia l'energia cinetica sia quella potenziale, quindi l'energia meccanica totale.
Quindi ha sbagliato fu^2 a dire che dovevo considerare solo l'energia cinetica?Ora mi trovo con te per quanto riguarda il lavoro.Resta un'ultima cosa:portando il satellite da a a b compio dunque un lavoro che và ad incrementare l'energia meccanica.Ora la differenza di energia meccanica sarà,dunque, uguale al lavoro?
Appena ho letto il problema ho pensato che in effetti le due richieste fossero la stessa cosa: credo che il lavoro che si compie per spostare il satellite sia equivalente alla variazione di energia meccanica, perché è proprio quel lavoro la causa di quella variazione..
"darinter":
Quindi ha sbagliato fu^2 a dire che dovevo considerare solo l'energia cinetica?Ora mi trovo con te per quanto riguarda il lavoro.Resta un'ultima cosa:portando il satellite da a a b compio dunque un lavoro che và ad incrementare l'energia meccanica.Ora la differenza di energia meccanica sarà,dunque, uguale al lavoro?
Puoi usare anche il teorema delle forze vive (d'altra parte quello dell'energia meccanica deriva da questo) i conti tornano se consideri tutti i termini... il problema è che la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro prodotto da tutte le forze che agiscono nel sistema, quindi anche quella che fa cambiare orbita al satellite non solo la forza di gravità.
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