Problema geometria delle masse
Ragazzi ho un problema per quanto riguarda il calcolo del momento di inerzia..vi scrivo il problema:
Da un disco materiale omogeneo di raggio R centro O e massa M viene cavato il triangolo equilatero ABC inscritto di lato l ( $ l=Rsqrt(3) $ ). Trovare il momento di inerzia della figura materiale restante rispetto alla retta r tangente in B al disco.Dopo aver trovato il legame tra la massa del disco e quella del triangolo, lasciare indicate tali grandezze.
Ho fatto una foto con la webcam del mio pc al foglio ed è venuta rovesciata ma si capisce
Io ho scomposto la figura in 2 considerando che quella figura è la differenza tra un cerchio di massa m1 e un triangolo di massa m2. Mi sono calcolato le masse dei singoli pezzi ma non ho capito come calcolare l'inerzia rispetto alla retta r.Un'idea è il teorema di stainer, ma è numericamente che non riesco a procedere!
vi do i valori delle 2 masse:
massa cerchio $ m1=(R)^(2)pi $
massa triangolo incavato $ m2=3/4(R)^(2) $
Grazie mille
aiutatemiiii
Da un disco materiale omogeneo di raggio R centro O e massa M viene cavato il triangolo equilatero ABC inscritto di lato l ( $ l=Rsqrt(3) $ ). Trovare il momento di inerzia della figura materiale restante rispetto alla retta r tangente in B al disco.Dopo aver trovato il legame tra la massa del disco e quella del triangolo, lasciare indicate tali grandezze.
Ho fatto una foto con la webcam del mio pc al foglio ed è venuta rovesciata ma si capisce
Io ho scomposto la figura in 2 considerando che quella figura è la differenza tra un cerchio di massa m1 e un triangolo di massa m2. Mi sono calcolato le masse dei singoli pezzi ma non ho capito come calcolare l'inerzia rispetto alla retta r.Un'idea è il teorema di stainer, ma è numericamente che non riesco a procedere!
vi do i valori delle 2 masse:
massa cerchio $ m1=(R)^(2)pi $
massa triangolo incavato $ m2=3/4(R)^(2) $
Grazie mille
aiutatemiiii
Risposte
Hai giustamente osservato che il corpo è la "differenza" tra il cerchio e il triangolo equilatero. Ti basta ricordare che il momento di inerzia è addittivo, penso
e in termini di calcoli ragazzi mi potete aiutare?
Hai diversi modi, alcuni calcolosi altri meno.
Secondo me conviene trovare i momenti baricentrici delle due figure e poi traslare l'asse secondo Steiner.
Per i momenti baricentrici hai due strade: o calcoli gli integrali [tex]{I_a} = \int_V {\rho {r^2}dV}[/tex] (dove r è la distanza dall'asse e dV il volumetto elementare, che nel caso delle superfici piane corrisponde all'area elementare, e la densità di volume va sostituita con la densità di massa superficiale: per fare l'integrale è necessario che l'area elementare venga scritta in funzione della distanza r), oppure ti avvali di calcoli già fatti che per il cerchio e il triangolo puoi trovare ad esempio anche su Wiki: http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di_inerzia
Secondo me conviene trovare i momenti baricentrici delle due figure e poi traslare l'asse secondo Steiner.
Per i momenti baricentrici hai due strade: o calcoli gli integrali [tex]{I_a} = \int_V {\rho {r^2}dV}[/tex] (dove r è la distanza dall'asse e dV il volumetto elementare, che nel caso delle superfici piane corrisponde all'area elementare, e la densità di volume va sostituita con la densità di massa superficiale: per fare l'integrale è necessario che l'area elementare venga scritta in funzione della distanza r), oppure ti avvali di calcoli già fatti che per il cerchio e il triangolo puoi trovare ad esempio anche su Wiki: http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di_inerzia
ciao ragazzi tra meno di una settimana ho l'esame...mi potete dire come si risolve questo problema?
Da un disco materiale, omogeneo, di raggio R, centro O e densità P1, viene
cavato un dischetto di raggio R/4, tangente internamente come in figura e
sostituito, nella stessa posizione, da un altro dischetto materiale, omogeneo di
uguale raggio e densità (P2) = 9(P1).
Trovare il momento d’inerzia del sistema rispetto al suo centro di massa,
lasciando indicate le masse.
io ho provato a risolvere solo che mi blocco quando calcolo le masse, potete risolvermelo tanto non è complesso...
Vi mostro come ho proceduto io...Ho scomposto la figura in 3 parti e mi sono calcolato le masse...adesso non so come procedere per calcolarmi il momento di inerzia rispetto al centro di massa della figura nella traccia
Aiutatemiii grazie
Da un disco materiale, omogeneo, di raggio R, centro O e densità P1, viene
cavato un dischetto di raggio R/4, tangente internamente come in figura e
sostituito, nella stessa posizione, da un altro dischetto materiale, omogeneo di
uguale raggio e densità (P2) = 9(P1).
Trovare il momento d’inerzia del sistema rispetto al suo centro di massa,
lasciando indicate le masse.
io ho provato a risolvere solo che mi blocco quando calcolo le masse, potete risolvermelo tanto non è complesso...
Vi mostro come ho proceduto io...Ho scomposto la figura in 3 parti e mi sono calcolato le masse...adesso non so come procedere per calcolarmi il momento di inerzia rispetto al centro di massa della figura nella traccia
Aiutatemiii grazie
Basta sfruttare l'additività del momento di inerzia.
Conosci il momento di inerzia del disco completo iniziale.
Calcoli il momento di inerzia della parte da sottrarre.
Calcoli il momento di inerzia della parte da aggiungere.
Calcoli il momento di inerzia del disco senza il primo dischetto semplicemente sottraendo questo da quello del disco iniziale.
Calcoli il momento di inerzia del disco risultante finale aggiungendo il momento di inerzia del dischetto da aggiungere a quello del disco cavato del primo dischetto.
Conosci il momento di inerzia del disco completo iniziale.
Calcoli il momento di inerzia della parte da sottrarre.
Calcoli il momento di inerzia della parte da aggiungere.
Calcoli il momento di inerzia del disco senza il primo dischetto semplicemente sottraendo questo da quello del disco iniziale.
Calcoli il momento di inerzia del disco risultante finale aggiungendo il momento di inerzia del dischetto da aggiungere a quello del disco cavato del primo dischetto.
e come si calcola il Momento d'inerzia del disco senza il primo dischetto?cioè dove mi considero il centro di massa?
Grazie
Grazie
Ripeto.
Sai il centro di massa del disco pieno, sai dov'è il centro di massa del disco da sottrarre (centro del vuoto), sai il momento di inerzia del disco pieno, sai il il momento di inerzia del disco da sottrarre (lo calcoli con Hyugens-Steiner) calcoli il momento di inerzia del disco senza il disco rimosso sottraendo il momento di inerzia del disco da sottrarre a quello del disco pieno.
Sai il centro di massa del disco pieno, sai dov'è il centro di massa del disco da sottrarre (centro del vuoto), sai il momento di inerzia del disco pieno, sai il il momento di inerzia del disco da sottrarre (lo calcoli con Hyugens-Steiner) calcoli il momento di inerzia del disco senza il disco rimosso sottraendo il momento di inerzia del disco da sottrarre a quello del disco pieno.
ma con huygens steiner mi da il momento d'inerzia rispetto a una retta, io voglio sapere il momento rispetto al suo centro di massa...non so se è chiaro
Grazie
Grazie
Non capisco quale sia il tuo problema.
A parte che Hyugens Steiner vale anche considerando momenti d'inerzia rispetto a punti e non solo rispetto a assi (se hai capito la dimostrazione di uno è ovvia anche per l'altro caso), poi in questo caso il momento d'inerzia rispetto all'asse per il baricentro e normale al piano del disco è coincidente con il momento rispetto al baricentro.
A parte che Hyugens Steiner vale anche considerando momenti d'inerzia rispetto a punti e non solo rispetto a assi (se hai capito la dimostrazione di uno è ovvia anche per l'altro caso), poi in questo caso il momento d'inerzia rispetto all'asse per il baricentro e normale al piano del disco è coincidente con il momento rispetto al baricentro.
non me lo potete fare in termini numerici?....non riesco a capire teoricamente...non ho neanche un esempio sul libro..
Grazie mille
Grazie mille
"Tampynet":
non me lo potete fare in termini numerici?....non riesco a capire teoricamente...non ho neanche un esempio sul libro..
Grazie mille
...ma scusa la figura l'hai fatta bene, più hai il procedimento da seguire!
Momento del disco intero $I_1=1/2 P1*pi*R^2* R^2$
Momento del disco da sottrarre $I_2=1/2 m_2 r^2 + m_2 d^2$
con $m_2=P1* pi r^2$
$r$ raggio del foro e $d$ distanza centro del foro dal centro del disco.
Momento del disco forato $I_3=I_1-I_2$
(Questo assumendo che la densità sia per unità di superficie altrimenti tutto va moltiplicato per lo spessore del disco).
....il resto puoi completarlo tu.....
Non avevo notato che forse è richiesto il momento di inerzia rispetto al centro di massa finale del sistema.
Comunque niente di diverso puoi prima calcolare il momento di inerzia rispetto al centro del disco iniziale (seguendo il procedimento che abbiamo descritto fin qui), quindi calcolare il centro di massa del sistema finale, usando anche qui l''additività degli integrali per il calcolo del centro di massa, e infine usare ancora Huygens...
Il centro di massa del disco forato lo trovi considerando il centro di massa del disco pieno e immaginando una massa negativa per il disco sottratto cioè
$x_{cm}= (M X_p - m X_d) / (-m+M)$
dove con $X_p$ e con $X_d$ indico la posizione del centro di massa del disco pieno e del disco sottratto rispetto a un qualunque sistema di riferimento.
Una volta noto questo in maniera analoga calcoli la posizione del centro di massa del disco con il nuovo inserto.
Comunque niente di diverso puoi prima calcolare il momento di inerzia rispetto al centro del disco iniziale (seguendo il procedimento che abbiamo descritto fin qui), quindi calcolare il centro di massa del sistema finale, usando anche qui l''additività degli integrali per il calcolo del centro di massa, e infine usare ancora Huygens...
Il centro di massa del disco forato lo trovi considerando il centro di massa del disco pieno e immaginando una massa negativa per il disco sottratto cioè
$x_{cm}= (M X_p - m X_d) / (-m+M)$
dove con $X_p$ e con $X_d$ indico la posizione del centro di massa del disco pieno e del disco sottratto rispetto a un qualunque sistema di riferimento.
Una volta noto questo in maniera analoga calcoli la posizione del centro di massa del disco con il nuovo inserto.
quindi io fisso il centro del disco come riferimento...che poi il centro di massa coicide con il centro geometrico del cerchio...mi calcolo le masse relative a ogni parte ma per il momento di inerzia dovrei fare I(totale)=I(1)-I(2)+I(3)?
Sì a patto che i momenti siano tutti calcolati rispetto allo stesso punto.
I momenti di inerzia sono additivi. Perché? Be' basta che consideri la definizione.
Alla fine però se è richiesto il momento di inerzia rispetto al centro di massa del disco con l'inserto, ovviamente tale centro di massa non coincide più col centro del disco, quindi va calcolato il centro di massa come detto sopra e infine il momento di inerzia va trasportato dal centro del disco al centro di massa.
Adesso se hai altri dubbi devi postare i tuoi conti, non credo posso dire altro.
I momenti di inerzia sono additivi. Perché? Be' basta che consideri la definizione.
Alla fine però se è richiesto il momento di inerzia rispetto al centro di massa del disco con l'inserto, ovviamente tale centro di massa non coincide più col centro del disco, quindi va calcolato il centro di massa come detto sopra e infine il momento di inerzia va trasportato dal centro del disco al centro di massa.
Adesso se hai altri dubbi devi postare i tuoi conti, non credo posso dire altro.
ho calcolato il centro di massa della figura e mi viene 1/4..adesso per i singoli momenti d'inerzia dovrei fare quelli rispetto ai centri + quello rispetto al centro di massa trovato?
"Tampynet":
ho calcolato il centro di massa della figura e mi viene 1/4..adesso per i singoli momenti d'inerzia dovrei fare quelli rispetto ai centri + quello rispetto al centro di massa trovato?
E questo secondo te sarebbe scrivere i calcoli che hai fatto?
Calcola prima tutti i momenti rispetto al centro del disco iniziale, poi poniti il problema di come calcolare il centro di massa del disco finale (tra l'altro ti è stato indicato come), e poi riconduci il momento di inerzia calcolato dal centro del disco iniziale al nuovo centro di massa.
Puoi fare anche al contrario, come vagamente mi sembra hai scritto: cioè prima calcoli il centro di massa e poi i momenti rispetto a quel centro di massa , ok basta che sei congruente.
Senza altri input comprensibili da parte tua questo è il mio ultimo messaggio a riguardo.
Ciao,
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