Problema fluidodinamica con Bernoulli
'Giorno, avrei un problema con un esercizio di fisica che proprio non riesco a risolvere e purtroppo, siccome mi impunto, finché non riesco a trovare la soluzione non mi do pace 
Il problema è il seguente:
Il flusso d'acqua che scorre in un tubo è stazionario ed ideale. In un punto dove la pressione è $ 2.50 xx 10^4 Pa $ il diametro è $ 8.00 cm $. In un altro punto, $ 0.500 m $ più in alto, la pressione è $ 1.50 xx 10^4 Pa $ ed il diametro $ 4.00 cm $. Si trovi la velocità del flusso (a) nella sezione più bassa (b) in quella più alta. (c) Si calcoli la portata.
Io ho provato, con l'equazione di continuità, a ricavare $ v_2=(A_1)/(A_2) v_1 $ (dove per trovare $A_1$ e $A_2$ ho utilizzato la formula $pir^2$ con il raggio uguale al diametro diviso 2) e poi a sostituire $v_2$ nell'equazione di Bernoulli nella forma: $P_1 + 1/2rhov_1^2 = P_2 + 1/2rhov_2^2 + rhogh$
Però poi sostituendo il valori non riesco a farmelo venire perché mi viene la radice di un numero negativo. Il mio dubbio è se considerare anche l'altezza nella prima sezione, ma in questo caso non riesco proprio a ricavarla. Una mano?
Il problema è il seguente:
Il flusso d'acqua che scorre in un tubo è stazionario ed ideale. In un punto dove la pressione è $ 2.50 xx 10^4 Pa $ il diametro è $ 8.00 cm $. In un altro punto, $ 0.500 m $ più in alto, la pressione è $ 1.50 xx 10^4 Pa $ ed il diametro $ 4.00 cm $. Si trovi la velocità del flusso (a) nella sezione più bassa (b) in quella più alta. (c) Si calcoli la portata.
Io ho provato, con l'equazione di continuità, a ricavare $ v_2=(A_1)/(A_2) v_1 $ (dove per trovare $A_1$ e $A_2$ ho utilizzato la formula $pir^2$ con il raggio uguale al diametro diviso 2) e poi a sostituire $v_2$ nell'equazione di Bernoulli nella forma: $P_1 + 1/2rhov_1^2 = P_2 + 1/2rhov_2^2 + rhogh$
Però poi sostituendo il valori non riesco a farmelo venire perché mi viene la radice di un numero negativo. Il mio dubbio è se considerare anche l'altezza nella prima sezione, ma in questo caso non riesco proprio a ricavarla. Una mano?
Risposte
Mi sembra che, completando il tuo ragionamento, si possa risolvere così....
Se
$A_1v_1=A_2v_2$,
allora
$v_2=(A_1)/(A_2)v_1=(pi r_1^2)/(pi r_2^2)v_1=(d_1^2)/(d_2^2)v_1=((d_1)/(d_2))^2v_1$.
Inoltre l'equazione di Bernoulli è
$p_1 + 1/2rho v_1^2 = p_2 + 1/2rhov_2^2 + rhogy_2$.
Sostituendo $v_2$ nella seconda equazione si ottiene
$p_1 + 1/2rho v_1^2 = p_2 + 1/2rho (((d_1)/(d_2))^2v_1)^2 + rhogy_2$
$1/2rho v_1^2(1- ((d_1)/(d_2))^4)= p_2 -p_1 + rhogy_2$
e
$v_1= sqrt(2(p_2 -p_1 + rhogy_2)/(rho(1- ((d_1)/(d_2))^4)))=$
$sqrt(2(1.50* 10^4 -2.5*10^4 + 10^3*9.8*0.5)/(10^3*(1- ((8)/(4))^4))) \ m*s^-1~=0.82 \ m*s^-1$.
Poi
$v_2=((d_1)/(d_2))^2v_1=$
$(8/4)^2*0.82 \ m*s^-1~=4*0.82 \ m*s^-1~=3.30 \ m*s^-1$
e
$Q=A_1*v_1=pi((d_1)/2)^2*v_1~=$
$pi*((8*10^-2)/2)^2*0.82 \ m^3*s^-1~=4.1*10^-3 \ m^3*s^-1$.
Se
$A_1v_1=A_2v_2$,
allora
$v_2=(A_1)/(A_2)v_1=(pi r_1^2)/(pi r_2^2)v_1=(d_1^2)/(d_2^2)v_1=((d_1)/(d_2))^2v_1$.
Inoltre l'equazione di Bernoulli è
$p_1 + 1/2rho v_1^2 = p_2 + 1/2rhov_2^2 + rhogy_2$.
Sostituendo $v_2$ nella seconda equazione si ottiene
$p_1 + 1/2rho v_1^2 = p_2 + 1/2rho (((d_1)/(d_2))^2v_1)^2 + rhogy_2$
$1/2rho v_1^2(1- ((d_1)/(d_2))^4)= p_2 -p_1 + rhogy_2$
e
$v_1= sqrt(2(p_2 -p_1 + rhogy_2)/(rho(1- ((d_1)/(d_2))^4)))=$
$sqrt(2(1.50* 10^4 -2.5*10^4 + 10^3*9.8*0.5)/(10^3*(1- ((8)/(4))^4))) \ m*s^-1~=0.82 \ m*s^-1$.
Poi
$v_2=((d_1)/(d_2))^2v_1=$
$(8/4)^2*0.82 \ m*s^-1~=4*0.82 \ m*s^-1~=3.30 \ m*s^-1$
e
$Q=A_1*v_1=pi((d_1)/2)^2*v_1~=$
$pi*((8*10^-2)/2)^2*0.82 \ m^3*s^-1~=4.1*10^-3 \ m^3*s^-1$.
Ok, l'ho rifatto sostituendo $v_2=(d_1/d_2)^2v_1$ ed i risultati vengono uguali ai tuoi.
Grazie mille per la dritta, però non capisco perché calcolando a parte $A_1$ e $A_2$ e quindi ottenendo $v_2 = (A_1/A_2)v_1 = ((50.24xx10^4)/(12.56xx10^4))v_1 = 4v_1$ mi venivano fuori dei calcoli sbagliati, pur essendo giusto il ragionamento..
Grazie mille per la dritta, però non capisco perché calcolando a parte $A_1$ e $A_2$ e quindi ottenendo $v_2 = (A_1/A_2)v_1 = ((50.24xx10^4)/(12.56xx10^4))v_1 = 4v_1$ mi venivano fuori dei calcoli sbagliati, pur essendo giusto il ragionamento..
Le equazioni risolutive sono due :
1) conitnuità , ovvero costanza della portata : $A_1*v_1 = A_2*v_2$
2) conservazione dell'energia,ovvero costanza del trinomio di Bernouilli :
$ gz_1 + p_1/\rho + 1/2v_1^2 = gz_2 + p_2/\rho + 1/2v_2^2 $
Se la sezione $1$ è più in alto della $2$ , è evidente che devi passare $gz_2$ al primo membro, e ottieni il termine : $g(z_1-z_2) = gh$ , dove $h$ è il dislivello tra la sez. 1 e la 2.
Lo hai scritto dalla parte sbagliata, penso. È solo questione di fare i passaggi giusti sulle due formulette anzidette.
1) conitnuità , ovvero costanza della portata : $A_1*v_1 = A_2*v_2$
2) conservazione dell'energia,ovvero costanza del trinomio di Bernouilli :
$ gz_1 + p_1/\rho + 1/2v_1^2 = gz_2 + p_2/\rho + 1/2v_2^2 $
Se la sezione $1$ è più in alto della $2$ , è evidente che devi passare $gz_2$ al primo membro, e ottieni il termine : $g(z_1-z_2) = gh$ , dove $h$ è il dislivello tra la sez. 1 e la 2.
Lo hai scritto dalla parte sbagliata, penso. È solo questione di fare i passaggi giusti sulle due formulette anzidette.
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