[PROBLEMA] Fisica Tecnica | Sistema Pistone-Cilindro (H+Ag)

[Bacchinif]

Salve a tutti, come da titolo, gradirei una mano nella risoluzione del seguente problema di Fisica Tecnica. Di seguito riporto il testo:

TESTO PROBLEMA
Una massa di idrogeno, $ H_2 $ , è racchiusa in un sistema pistone-cilindro adiabatico e, inizialmente, occupa un volume pari a $ V_1 = 5,00 m^3 $ , alla pressione $ p = 2,00 $ bar ed alla temperatura $ T_H = 15,0 °C $ . Nel sistema pistole-cilindro, in condizioni di equilibrio nello stato iniziale, vengono introdotte 3000 sfere di argento, $ Ag $ , del diametro di $ 5,00 mm $ alla temperatura di $ T_(Ag) = 450 °C $ . Raggiunta la nuova condizione di equilibrio ed utilizzando come riferimento la temperatura $ T_0 = 0°C $ , determinare:

- la temperatura del sistema nello stato finale.
- il volume del sistema nello stato finale.
- la variazione di entropia subita dal sistema nella trasformazione.

RISOLUZIONE TENTATA
Per prima cosa determino la massa dell'idrogeno ed il suo volume specifico:
$ v_H = (R*T)/p = (4124*288)/(2*10^5) = 5,93 m^3/(kg) $

$ m_H = (V_H)/(v_h) = (5,00)/(5,93) = 0,84 kg $
dato che
$ R = 4124 J/(kgK) $
$ T = 273+15 = 288 K $

Successivamente calcolo la massa complessiva delle 3000 sfere, come segue:
$ V_(Sfera) = (4/3)*π*(r)^3 = (4/3)*π*(0,0025)^3 = 0,000000065 m^3 $$ rho _(Ag)=10500 (kg)/m^3 $
$ rho _(Ag)=10500 (kg)/m^3 $
$ m_(Sfera) = rho _(Ag) * V_(Sfera) = 10500 * 0,000000065 = 0,0006825 kg $

quindi:

$ m_(TotSfere) = 3000*m_(Sfera)= 2,06 kg $

Ed in definitiva:

$ M_(TotSistema) = 2,9 kg $

Ora, in teoria è sarebbe possibile calcolare anche l'entalpia specifica iniziale e l'energia interna specifica iniziale dell'idrogeno, dal momento che è come se dovessimo considerare $ Delta T_(H_2) = (15-0) = 15 $ e ciò, in un certo senso, ci permette di pervenire ad $ h_1 $ ed $ u_1 $. Infatti, trattandosi di un gas è possibile usare le seguenti:

$ Delta h = m*c_(p)*Delta T = 0,84*14,2*15=178,9 (kJ)/(kg) $
$ Delta u = m*c_(v)*Delta T = 0,84*10,1*15=127,3 (kJ)/(kg) $

E dal I° Principio Della Termodinamica sappiamo anche che:

$ Delta U = Q-L = -L $ con $ Q = 0 $ trattandosi di un sistema adiabatico. Ovviamente questo non significa che l'idrogeno, di per sé, non riceva calore ma semplicemente che l'intero sistema (idrogeno ed argento assieme) non scambi calore con l'esterno. In particolar modo se volessimo calcolare l'effettivo valore di $ Delta U $ per il solo idrogeno, dovremmo usare la seguente: $ Delta u = m*c_(v)*Delta T $ dove, però, $ Delta T $ adesso è $ Delta T = (T_(f) - 15) $.
Ovviamente questa non è immediatamente applicabile perché la temperatura finale del sistema non la conosciamo.

Allora ho pensato: a quanto ammonta il calore che le sfere di argento cederanno all'idrogeno. E' palese che la trasmissione avvenga in questa direzione, dati i valori delle due temperature.
Intuitivamente il calore ceduto dall'argento è il seguente:

$ Q = m_(TotAg) * c_(Ag) * (T_(f) - T_(Ag)) $

ed è ovvio che il calore ricevuto dall'idrogeno per via del contatto con le sfere è il seguente:

$ Q = m_(H) * c_(H) * (T_(f) - T_(H)) $

che, ovviamente, è l'opposto di quello di prima. Mi rendo conto che intuitivamente non ha senso parlare di $ c_(H) $ ma a rigor di logica è proprio quella la quantità di calore che l'idrogeno riceve.
Ora, nessuna delle due formule è utilizzabile perché non conosciamo la temperatura finale del sistema!

Ho pensato: e se la temperatura finale fosse brutalmente la media aritmetica delle due $ Delta T $

Infine ho svolto anche una ulteriore considerazione sull'entropia.
$ Delta S = (Q)/(T) + S_(Gen) $
dove $ Delta S $ è la variazione di entropia del nostro sistema, $ (Q)/(T) $ è l'entropia dell'ambiente (in questo caso nulla perché il sistema è adiabatico) è $ S_(Gen) = Delta S_(SI) >= 0 $.
Ricordando che la variazione entropica specifica circoscritta al solo idrogeno si calcola così:
$ Delta s = c_(v)*ln(T_(f)/T_(H)) + Rln((v_(2H))/(v_(1H))) $
e che non è detto che sia nulla (perché, in effetti, la temperatura finale cambia ed anche il volume specifico finale) si potrebbe usare questa per calcolare ciò che è richiesto. Ma non ne sono venuto a capo.

[Bacchinif]

Faccio un piccolo up.
Nessuno è in grado di aiutarmi? Eppure mi sembrava di aver scritto correttamente tutto il problema e di aver tentato anche una soluzione, cosa che in pochi fanno.
Ringrazio ancora tutti per la pazienza ed attendo un piccolo aiuto.

[Bacchinif]

$ Delta s = (q_(IN))/(T_(1H)) $Piccolo update.
Ne ho parlato con un amico e mi ha detto che secondo lui l'intero processo è isobaro, nel senso che: il cilindro è libero di muoversi nel sistema pistone-cilindro (e questo genera certamente una variazione del volume finale rispetto a quello iniziale), ma che il tutto avviene a pressione costante.
Se così fosse, avremmo:

$ p_(1H) = p_(2H) = 2,00 $ bar

E questo ci porta sicuramente a dire che:

$ (T_(f))/(T_(1H)) = (V_(2H))/(V_(1H)) $

dove $ T_(f) $ è proprio la temperatura finale del sistema (comprensivo anche dell'argento) e, quindi, anche dell'idrogeno; a differenza, invece, di $ V_(2H) $ che si riferisce solo ed esclusivamente al volume finale occupato dall'idrogeno e non dell'intero sistema.
Nonostante ciò, però, non sono riuscito a tirar fuori nulla.
Pur sapendo, infatti, che è isobara dall'entropia risulta che:

$ Delta s = cp*ln((T_(f))/(T_(1H))) - 0 $ con $ 0 = R*ln*((p_(2H))/(p_(1H))) $

dove questa è la variazione di entropia circoscritta al "solo" idrogeno che, chiaramente, non è nulla. E se la conoscessimo potremmo effettivamente calcolare la temperatura finale dell'idrogeno, nonché del sistema. Il problema è che non la conosciamo.

[Bacchinif]

Ho risolto il problema.
Bastava considerare il calore specifico dell'idrogeno a pressione costante (perché la trasformazione è isobara anche se non viene esplicitamente detto) e poi da lì eguagliare le due quantità di calore scambiate. Così facendo mi trovavo la temperatura finale e potevo procedere nella risoluzione generale dell'esercizio.

Anche se non ho avuto risposte, ringrazio tutti per la pazienza e per la eventuale lettura.