Problema Fisica Subatomica
Buongiorno,
Studiando il decadimento $ beta $ più nel dettaglio la teoria di Fermi, c'è un punto che proprio non riesco a capire:
Per descrivere la probabilità si usa la regola d'oro di fermi, ovviamente non si conosce il termine del Hamiltoniana per l'interazione debole che compare in tale formula, fin qui tutto bene.
Ora il problema sta nel calcolo di uno dei termini della regola d'oro di fermi cioè la densità di stati $(dn)/(dE)$
nello specifico da quanto ho capito per l'elettone o eventualmente il positrone sia $k$ il modulo del impulso si considera un guscio sferico di volume $4pik^2dk$ nello spazio delle fasi e lo si divide per il volume di uno stato.
Tale volume viene preso facendo l'ipotesi che la particella si comporti come la particella in una scatola cubica e quindi se $L$ è il lato della scatola $k=(h/(2L))sqrt(sum_(i=1)^3(n_i)^2)$
dove $n_i$ sono i numeri quantici del problema della particella in una scatola cubia
Disegnando nello spazio delle fasi questi k si vede che seguono uno schema cubico e che il volume che contiene uno solo di questi $k$ è $(h/(2L))^3=h^3/(8V)$
Quindi il numero di stati per questa particella dovrebbe essere a parer mio $(4pik^2dk)/(h^3/(8V))$ ma se si guarda al libro quel 8 non c'è
Perché ?
Studiando il decadimento $ beta $ più nel dettaglio la teoria di Fermi, c'è un punto che proprio non riesco a capire:
Per descrivere la probabilità si usa la regola d'oro di fermi, ovviamente non si conosce il termine del Hamiltoniana per l'interazione debole che compare in tale formula, fin qui tutto bene.
Ora il problema sta nel calcolo di uno dei termini della regola d'oro di fermi cioè la densità di stati $(dn)/(dE)$
nello specifico da quanto ho capito per l'elettone o eventualmente il positrone sia $k$ il modulo del impulso si considera un guscio sferico di volume $4pik^2dk$ nello spazio delle fasi e lo si divide per il volume di uno stato.
Tale volume viene preso facendo l'ipotesi che la particella si comporti come la particella in una scatola cubica e quindi se $L$ è il lato della scatola $k=(h/(2L))sqrt(sum_(i=1)^3(n_i)^2)$
dove $n_i$ sono i numeri quantici del problema della particella in una scatola cubia
Disegnando nello spazio delle fasi questi k si vede che seguono uno schema cubico e che il volume che contiene uno solo di questi $k$ è $(h/(2L))^3=h^3/(8V)$
Quindi il numero di stati per questa particella dovrebbe essere a parer mio $(4pik^2dk)/(h^3/(8V))$ ma se si guarda al libro quel 8 non c'è
Perché ?
Risposte
Premetto che:
1) non so nulla a riguardo, ho solo letto la pagina che hai riportato
2) Il tuo ragionamento non l'ho capito per nulla e non so dirti dove hai sbagliato, scusami.
Tornando al problema:
Se ti metti nello spazio $k$, vuoi calcolare il numero si stati nell'elemento di volume $4 \pi k^2 dk$, ma siccome $$p = \hbar k$$, usando come variabile il momento al posto del vettore d'onda, $$4 \pi k^2 dk = \frac {4 \pi p^2 dp} {\hbar ^3} $$. Questo qui è un volume nello spazio k e dunque, per ottenere il numero degli stati totali devi moltiplicare per la densità di stati nello spazio k che è $\frac V {(2 \pi)^3}$ (lo conosci questo risultato? è abbastanza facile da dimostrare) e dunque:
$$dn = \frac {4 \pi p^2 dp} {\hbar^3} \frac V {(2 \pi)^3} = \frac {4 \pi p^2 dp V} {h^3}$$
visto che $$2 \pi \hbar = h$$.
1) non so nulla a riguardo, ho solo letto la pagina che hai riportato
2) Il tuo ragionamento non l'ho capito per nulla e non so dirti dove hai sbagliato, scusami.
Tornando al problema:
Se ti metti nello spazio $k$, vuoi calcolare il numero si stati nell'elemento di volume $4 \pi k^2 dk$, ma siccome $$p = \hbar k$$, usando come variabile il momento al posto del vettore d'onda, $$4 \pi k^2 dk = \frac {4 \pi p^2 dp} {\hbar ^3} $$. Questo qui è un volume nello spazio k e dunque, per ottenere il numero degli stati totali devi moltiplicare per la densità di stati nello spazio k che è $\frac V {(2 \pi)^3}$ (lo conosci questo risultato? è abbastanza facile da dimostrare) e dunque:
$$dn = \frac {4 \pi p^2 dp} {\hbar^3} \frac V {(2 \pi)^3} = \frac {4 \pi p^2 dp V} {h^3}$$
visto che $$2 \pi \hbar = h$$.
ho fatto un po' di macello nel testo della domanda perché ho usato $vec(k)$ come impulso e non come vettore d'onda.
Il problema che ho è proprio quello della densità di stati che a me non torna. Ora a te la densità viene con $V/(2pi)^3$ perché stai lavorando nello spazio dei vettori d'onda mentre io stavo già lavorando con gli impulsi quindi a me sarebbe dovuto venire $V/(bar(h)^3(2pi)^3)=V/h^3$ perché stavo lavorando con gli impulsi, invece a me questa densità viene
$8V/h^3$.
Quello che ho fatto io e quello che hai fatto tu sono praticamente dei procedimenti identici nel senso che io invece di calcolare la densità ho calcolato il volume nel quale si trova un solo stato ovvero il reciproco della densità, infatti dividendo il numero di stati cioè 1 per il volume occupato si ottiene la densità come reciproco di quel volume.
In sostanza la mia domanda è:
come si ricava la densità di stati che hai usato?
Il problema che ho è proprio quello della densità di stati che a me non torna. Ora a te la densità viene con $V/(2pi)^3$ perché stai lavorando nello spazio dei vettori d'onda mentre io stavo già lavorando con gli impulsi quindi a me sarebbe dovuto venire $V/(bar(h)^3(2pi)^3)=V/h^3$ perché stavo lavorando con gli impulsi, invece a me questa densità viene
$8V/h^3$.
Quello che ho fatto io e quello che hai fatto tu sono praticamente dei procedimenti identici nel senso che io invece di calcolare la densità ho calcolato il volume nel quale si trova un solo stato ovvero il reciproco della densità, infatti dividendo il numero di stati cioè 1 per il volume occupato si ottiene la densità come reciproco di quel volume.
In sostanza la mia domanda è:
come si ricava la densità di stati che hai usato?
Non mi ricordo il procedimento fisico "rigoroso" da cui salta fuori. Io uso sempre questo trucco che ci fece vedere un prof:
Immagina di voler espandere una funzione $f(x)$ in serie di Fourier usando le autofunzioni dell'operatore impulso, che per un elettrone in una scatola sono le solite onde piane:
$f(x) = \sum_n f(k) e^{i \frac {2 \pi n} L x}$
Le condizioni al contorno ti danno $k = \frac {2 \pi n} L$. Adesso al posto della sommatoria su n, fai un integrale su $k$, (tanto i k sono così tanti e così vicini che sommatoria e integrale sono la stessa cosa). Per ogni elemento $n$ della sommatoria corrisponde un $\frac {2 \pi} L dk$ nell'integrale e quindi la rappresentazione di Fourier diventa:
$f(x) = \frac L {2 \pi} \int dk f(k) e^{ikx}$
Per confronto deduci che $\frac L {2 \pi}$ è il "peso" (aka densità) dei vettori k. Se lo generalizzi a 3 dimensioni salta fuori il volume e il 2 pi-greco al cubo.
Spero ti soddisfi come dimostrazione
*avevo fatto un errore nell'ultima riga. Ora l'ho corretto.*
Immagina di voler espandere una funzione $f(x)$ in serie di Fourier usando le autofunzioni dell'operatore impulso, che per un elettrone in una scatola sono le solite onde piane:
$f(x) = \sum_n f(k) e^{i \frac {2 \pi n} L x}$
Le condizioni al contorno ti danno $k = \frac {2 \pi n} L$. Adesso al posto della sommatoria su n, fai un integrale su $k$, (tanto i k sono così tanti e così vicini che sommatoria e integrale sono la stessa cosa). Per ogni elemento $n$ della sommatoria corrisponde un $\frac {2 \pi} L dk$ nell'integrale e quindi la rappresentazione di Fourier diventa:
$f(x) = \frac L {2 \pi} \int dk f(k) e^{ikx}$
Per confronto deduci che $\frac L {2 \pi}$ è il "peso" (aka densità) dei vettori k. Se lo generalizzi a 3 dimensioni salta fuori il volume e il 2 pi-greco al cubo.
Spero ti soddisfi come dimostrazione
*avevo fatto un errore nell'ultima riga. Ora l'ho corretto.*
Forse ho capito dove ho sbagliato, ho usato come condizione al contorno $k=(pin)/L$ invece che $k=(2pin)/L$.
Vado a riguardarmi il problema della buca di potenziale infinita. Grazie
Vado a riguardarmi il problema della buca di potenziale infinita. Grazie
Ah ok. Si anche io non mi ricordo mai ahahahah So solo che il risultato è quello e poi aggiusto la dimostrazione per farmelo tornare 
(non si fa lo so!)
PS: comunque anche prendendo $\frac {\pi n} L$ deve tornare. Probabilmente salta fuori un 2 da qualche altra parte... E' un po' una noia perché si tratta di ricordarsi convenzioni alla fine... Una volta che hai capito il risultato ti conviene impararti quello e via tanto alla fine $V/(2 \pi)^3$ lo incontri tantissimo ovunque.
(non si fa lo so!)PS: comunque anche prendendo $\frac {\pi n} L$ deve tornare. Probabilmente salta fuori un 2 da qualche altra parte... E' un po' una noia perché si tratta di ricordarsi convenzioni alla fine... Una volta che hai capito il risultato ti conviene impararti quello e via tanto alla fine $V/(2 \pi)^3$ lo incontri tantissimo ovunque.
Riguardando gli appunti sia di Struttura della materia che di Meccanica ho notato che in effetti in un caso si ha:
1) appunti di meccanica sulla buca di potenziale infinita: $ k=(pin)/L $ condizione $psi(0)=psi(L)=0$ in 1-d
2) appunti di struttura della materia, nel modello Sommerfeld $ k=(2pin)/L $ condizione $psi(x)=psi(x+L)$ in 1-d
La differenza sta nel tipo di condizione al contorno usata come si vede in: https://it.wikipedia.org/wiki/Modello_di_Sommerfeld
Adesso quindi devo capire come mai venga usata una condizione al contorno piuttosto che l'altra nel problema del decadimento $beta$.
In effetti la prima condizione si riferisce ad un modello di potenziale che impedisce totalmente alla particella di uscire dalla buca, quindi la particella resta confinata tra 0 ed L senza poter uscire, ma quando si ha un decadimento $beta$
la particella elettrone o positrone che sia diventa una particella libera, perché viene espulsa dal nucleo.
Ha senso?
E soprattutto se nel immagine che ho mandato del libro si parla espressamente della scatola di potenziale (versione 3-d della buca di potenziale) perché poi per fare i conti dovrei usare la densità di stati che ottengo applicando come condizione al contorno quella vista nel modello Sommerfield?
1) appunti di meccanica sulla buca di potenziale infinita: $ k=(pin)/L $ condizione $psi(0)=psi(L)=0$ in 1-d
2) appunti di struttura della materia, nel modello Sommerfeld $ k=(2pin)/L $ condizione $psi(x)=psi(x+L)$ in 1-d
La differenza sta nel tipo di condizione al contorno usata come si vede in: https://it.wikipedia.org/wiki/Modello_di_Sommerfeld
Adesso quindi devo capire come mai venga usata una condizione al contorno piuttosto che l'altra nel problema del decadimento $beta$.
In effetti la prima condizione si riferisce ad un modello di potenziale che impedisce totalmente alla particella di uscire dalla buca, quindi la particella resta confinata tra 0 ed L senza poter uscire, ma quando si ha un decadimento $beta$
la particella elettrone o positrone che sia diventa una particella libera, perché viene espulsa dal nucleo.
Ha senso?
E soprattutto se nel immagine che ho mandato del libro si parla espressamente della scatola di potenziale (versione 3-d della buca di potenziale) perché poi per fare i conti dovrei usare la densità di stati che ottengo applicando come condizione al contorno quella vista nel modello Sommerfield?
Sempre la stessa buca di potenziale è, non confonderti le idee. Secondo me il problema è che una volta consideri con L tutta la scatola, mentre nell'altro caso con L intendi solo "metà". E' per quello che dicevo che prima o poi un 2 deve saltare fuori.
No allora non c'entra nulla sta cosa. L'elettrone è libero punto. Soltanto che trattare particelle libere è un casino perché la funzione d'onda non è normalizzabile ecc... e tutte cose che già sai. Allora usi il trucco di immaginare una scatola molto grande e poi, una volta finiti i conti, fai il limite per V -> infinito. In questo modo mentre fai i conti hai delle belle funzioni d'onda. Se facessi il limite V -> infinito subito avresti che diverge! Allora spetti alla fine dei calcoli dove, per magia, i termini divergenti si cancellano e quindi ottieni un risultato sensato.
"Andrea-.-'' ":
In effetti la prima condizione si riferisce ad un modello di potenziale che impedisce totalmente alla particella di uscire dalla buca, quindi la particella resta confinata tra 0 ed L senza poter uscire, ma quando si ha un decadimento β
la particella elettrone o positrone che sia diventa una particella libera, perché viene espulsa dal nucleo.
Ha senso?
No allora non c'entra nulla sta cosa. L'elettrone è libero punto. Soltanto che trattare particelle libere è un casino perché la funzione d'onda non è normalizzabile ecc... e tutte cose che già sai. Allora usi il trucco di immaginare una scatola molto grande e poi, una volta finiti i conti, fai il limite per V -> infinito. In questo modo mentre fai i conti hai delle belle funzioni d'onda. Se facessi il limite V -> infinito subito avresti che diverge! Allora spetti alla fine dei calcoli dove, per magia, i termini divergenti si cancellano e quindi ottieni un risultato sensato.
"dRic":
Sempre la stessa buca di potenziale è, non confonderti le idee. Secondo me il problema è che una volta consideri con L tutta la scatola, mentre nell'altro caso con L intendi solo "metà". E' per quello che dicevo che prima o poi un 2 deve saltare fuori.
In entrambi i casi con L si indica la lunghezza della scatola, mai metà
"dRic":
No allora non c'entra nulla sta cosa. L'elettrone è libero punto. Soltanto che trattare particelle libere è un casino perché la funzione d'onda non è normalizzabile ecc... e tutte cose che già sai. Allora usi il trucco di immaginare una scatola molto grande e poi, una volta finiti i conti, fai il limite per V -> infinito. In questo modo mentre fai i conti hai delle belle funzioni d'onda. Se facessi il limite V -> infinito subito avresti che diverge! Allora spetti alla fine dei calcoli dove, per magia, i termini divergenti si cancellano e quindi ottieni un risultato sensato.
Questo ragionamento lo capisco, non mi torna ancora il punto sopra però
"Andrea-.-''":
... il numero di stati per questa particella dovrebbe essere ...
Se si considera la scatola cubica, essendo:
$[n_1 gt 0] ^^[n_2 gt 0] ^^ [n_3 gt 0]$
è necessario limitarsi al primo ottante:
Numero di stati
$(1/8 4/3\pik^3)/(h^3/(8V))$
Densità di stati
$(1/8 4\pik^2)/(h^3/(8V))$
cavolo gli indici 
ma sono proprio un tonto
Grazie mille
"Andrea-.-''":
In entrambi i casi con L si indica la lunghezza della scatola, mai metà
Allora scusami tanto mi sono rinvenuto adesso. A forza di farmi tonare la dimostrazione ho fatto confusione tra condizioni al contorno periodiche e condizioni al contorno della buca di potenziale. Entrambe danno lo stesso risultato (fortunatamente?), ma bisogna prestare un minimo di attenzione. Nel caso della buca di potenziale hai ragione tu, le condizioni al contorno impongono $k = \frac {\pi n} L$, tuttavia $n$ può essere sia positivo che negativo, quindi devi aggiungere un 2 per tenere conto di questa cosa.
Nel caso delle condizioni al contorno periodiche è tutto più semplice , $n > 0$ sempre e quindi non c'è bisogno di toccare nulla.
Quindi il mio secondo e terzo post sono sbagliati. Il risultato è giusto comunque e spero di essermi spiegato affinché l'incomprensione sia sciolta.
Chiedo venia
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