Problema Fisica II su calcolo del potenziale e conservazione dell'energia
Buongiorno a tutti, vi volevo proporre un esercizio di fisica II che ho provato a svolgere ma non mi trovo con la risoluzione del problema stesso. Il testo dice:
" In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla condizione $ r<=R $ con R=1,55 m, è data la distribuzione di carica elettrica con densità $\rho(r) = kr$ , con k=0,222 C/m^4. Una particella di massa m=6,11 g e carica elettrica q= -1,35$\mu$C si trova nell'origine del sistema di riferimento. Determinare la minima velocità in m/s che deve essere posseduta dalla particella per allontanarsi a distanza infinita dalla distribuzione di carica"
Allora io ho pensato di procedere così: so che l'energia della particella si conserva, quindi mi ricavo l'energia iniziale quando la particella si trova al centro della sfera, e quella finale ovvero l'energia cinetica. Uguaglio le due espressioni e mi ricavo "v". Effettivamente controllando la risoluzione il procedimento da adottare è questo, ma non mi trovo con il calcolo del potenziale elettrostatico che mi servirà poi per ricavarmi l'energia elettrostatica al centro della sfera.
Io ho ragionato così per il potenziale: mi calcolo il campo elettrico interno ad una sfera con il teorema di Gauss considerando che la densità di carica non è uniforme. Una volta trovato il campo V lo ottengo come: $ V=\int_0^RE(r)dr$
Il risultato che ottengo è: $ V=kR^3/(12epsilon_0) $ mentre il risultato che ottiene il libro è: $ V=kR^3/(3epsilon_0) $
Vorrei chiedervi quale errore commetto nel calcolare il potenziale e il perché, visto che non riesco proprio a capire…
Grazie mille e scusate per la lunghezza del messaggio
(P.S: il libro per il calcolo del potenziale utilizza le coordinate cilindriche integrando direttamente il potenziale nella formula $ V=(Q/(4piepsilon_0))*(1/r) $ )
" In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla condizione $ r<=R $ con R=1,55 m, è data la distribuzione di carica elettrica con densità $\rho(r) = kr$ , con k=0,222 C/m^4. Una particella di massa m=6,11 g e carica elettrica q= -1,35$\mu$C si trova nell'origine del sistema di riferimento. Determinare la minima velocità in m/s che deve essere posseduta dalla particella per allontanarsi a distanza infinita dalla distribuzione di carica"
Allora io ho pensato di procedere così: so che l'energia della particella si conserva, quindi mi ricavo l'energia iniziale quando la particella si trova al centro della sfera, e quella finale ovvero l'energia cinetica. Uguaglio le due espressioni e mi ricavo "v". Effettivamente controllando la risoluzione il procedimento da adottare è questo, ma non mi trovo con il calcolo del potenziale elettrostatico che mi servirà poi per ricavarmi l'energia elettrostatica al centro della sfera.
Io ho ragionato così per il potenziale: mi calcolo il campo elettrico interno ad una sfera con il teorema di Gauss considerando che la densità di carica non è uniforme. Una volta trovato il campo V lo ottengo come: $ V=\int_0^RE(r)dr$
Il risultato che ottengo è: $ V=kR^3/(12epsilon_0) $ mentre il risultato che ottiene il libro è: $ V=kR^3/(3epsilon_0) $
Vorrei chiedervi quale errore commetto nel calcolare il potenziale e il perché, visto che non riesco proprio a capire…
Grazie mille e scusate per la lunghezza del messaggio
(P.S: il libro per il calcolo del potenziale utilizza le coordinate cilindriche integrando direttamente il potenziale nella formula $ V=(Q/(4piepsilon_0))*(1/r) $ )
Risposte
La carica complessiva e' $\int_0^R 4\pi r^2\ kr\ dr = \piR^4$, giusto ?
Quindi solo per arrivare da $+oo$ a $R$ il potenziale e': $kR^3/(4\epsilon_0)$,
che e' gia' superiore al tuo risultato.
Mi viene il dubbio che tu abbia calcolato solo il potenziale dal centro a $R$, e' cosi ?
Quindi solo per arrivare da $+oo$ a $R$ il potenziale e': $kR^3/(4\epsilon_0)$,
che e' gia' superiore al tuo risultato.
Mi viene il dubbio che tu abbia calcolato solo il potenziale dal centro a $R$, e' cosi ?
Si giusto, ho calcolato solo da 0 a R perché ho pensato che trovandosi al centro della sfera l'energia iniziale è proprio pari al potenziale interno della sfera moltiplicato per q. E quindi l ho calcolato in quella zona. Invece devo sommarci anche il potenziale esterno?
@Nicola: non ho capito del tutto cosa tu abbia fatto, ma ho la sensazione che tu non abbia tenuto conto del fatto che il campo elettrico, e quindi il potenziale, sono definiti in modo diverso a seconda che il punto sia interno o esterno alla sfera di raggio $R$.
Per $r
per $r>R$ hai invece:
avendo messo $Q$ carica complessiva come ha trovato @Quinzio.
Per trovare il potenziale in un punto a distanza $r>R$, ponendo nullo il potenziale nell'origine, devi pertanto integrare una funzione definita a tratti:
Salvo miei errori.
Per $r
$4pi r^2 E(r)=(4pik)/epsilon_0 int_0^r z^3 dz" "to" "E(r)=(kr^2)/(4epsilon_0)$ ;
per $r>R$ hai invece:
$E(r)=1/(4piepsilon_0)Q/r^2=(kR^4)/(4epsilon_0r^2)$ ,
avendo messo $Q$ carica complessiva come ha trovato @Quinzio.
Per trovare il potenziale in un punto a distanza $r>R$, ponendo nullo il potenziale nell'origine, devi pertanto integrare una funzione definita a tratti:
$V(r)=-int_0^rE(z)dz=-[int_0^R(kz^2)/(4epsilon_0)dz+int_R^r(kR^4)/(4epsilon_0z^2)dz]$ .
Salvo miei errori.
Si stupidamente ho tenuto conto solo del potenziale interno alla sfera ma giustamente c'è anche da aggiungere il contributo per $ r > R $
Infatti adesso il risultato torna, Grazie mille a entrambi
Infatti adesso il risultato torna, Grazie mille a entrambi
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