Problema Fisica II sfere conduttrici
Salve a tutti ho un problema non capisco la spiegazione del mio libro, e volevo un parere sul mio metodo alternativo, a questo problema:
Una sfera conduttrice di raggio $ R_1=5 cm $ porta una carica $ Q_1=+10^-6 C $. Un guscio sferico(sfera cava), pure conduttore, concetrico alla sfera di raggio $ R_1 $ , avente raggio interno $ R_1=10 cm $ e raggio esterno $ R_1=12 cm $ , è carico con carica $ Q_2=10 Q_1 $.
Calcolare, nell'ipotesi che il sistema sia nel vuoto:
a) la densità di carica superficiale $ sigma _2 $ sulla superficie interna del guscio sferico esterno ( di raggio $ R_2 $ );
b) la d.d.p. ( $ V_1 -V_2 $ )tra i due conduttori considerati.
Il libro lo svolge così:
Il campo elettrico interno al conduttore che costituisce il guscio sferico è nullo.
a) Applichiamo il teorema di Gauss ad una superficie $ Sigma $ interna al guscio sferico si ha:
$ Phi_Sigma(E)=0=Q^(INT)/epsilon _0 $
Dove $ Q^(INT) $ è la somma della carica $ Q_1 $ e della carica $ q_1 $ che si distribuisce sulla superficie di limitazione del guscio di raggio $ R_2 $. Dunque:
$ Q^(INT)=Q_1 + q_2=0 rArr Q_1 =- q_2 rArr sigma_2=q_2/(4piR_2^2)= -Q_1/(4piR_2^2)=-7.96*10^-6 $
Fino a qui mi trovo su tutto.
b) $ V_1-V_2=int_(R_1)^(R_2) E_0 dr = int_(R_1)^(R_2) E_0 dr= Q_1/(4piepsilon_0)int_(R_1)^(R_2) (dr)/r^(2)=(Q_1(R_1-R_2))/(4piepsi_0R_1 R_2)=9*10^4 V $
Osservazione: La carica $ Q_2 $ non influenza sulle grandezze richieste.
Ecco quest'ultimo punto non mi trovo la differenza di potenziale dell'intera sfera non dovrebbe dipendere anche carica superficiale? Questo caso dovrebbe essere un caso di induttanza completa? Io intuitivamente ho ragionato così considiramo il caso il cui il guscio non fosse carico di una carica $ 10Q_1 $ ma fosse scarico, questo vorrebbe dire che una parte si caricherebbe con una carica pari a $ -Q_1 $ internamente e una parte pari a $ +Q_1 $ esternamente.
Quindi sapendo che $Q_2=0$ $Q_1=Q$:
$V_1=p_12Q$
$V_2=p_22Q$ (Dove quest'ultimo è il potenziale sulla superficie esterna del guscio in questo caso scarico)
Sapendo che $ V_2=Q/(4piepsi_0R_3)rArr p_21=V_2/Q=1/(4piepsi_0R_3) $
$ V_1-V_2=int_(R_1)^(R_2)E(r)dl=[-Q/(4piepsi_0 R_2)]_(R_1)^(R_2)= Q/(4piepsi_0) (1/(R_1) -1/(R_2))$
$ V_1=V_2+ Q/(4piepsi_0) (1/(R_1) -1/(R_2))= Q/(4piepsi_0) (1/(R_3)+1/(R_1) -1/(R_2)) $
ricavo quindi $ p_21=V_1/Q=1/(4piepsi_0) (1/(R_3)+1/(R_1) -1/(R_2))=1/(4piepsi_0) (R_1R_2+R_2R_3-R_1R_3)/(R_3R_2R_1) $
Se invece fosse il caso inverso, cioè la sfera interna fosse scarica e il guscio esterno fosse carico carica, si avrebbe che:
$Q_1=0$ $Q_2=Q$
$V_1=p_12Q$
$V_2=p_22Q$ (Dove quest'ultimo è il potenziale sulla superficie esterna del guscio in questo caso carico)
Sapendo che $ V_2=Q/(4piepsi_0R_3)rArr p_22=V_2/Q=1/(4piepsi_0R_3) $
Il campo elettrico compreso tra $R_1$ e $R_2$ è nullo quindi $ V_1= V_2=Q/(4piepsi_0R_3)rArrp_12=V_12/Q=1/(4piepsi_0R_3) $
Sommo i due casi che ho considerato e uso il sistema:
$ { ( V_1=p_11Q_1
+p_12Q_2 ),( V_2=p_21Q_1+p_22Q_2 ):} $
Ottengo i due Potenziali e li sottraggo però non mi trovo. E' sicuramente più lungo e laborioso rispetto all'altro ma eprchè è sbagliato il mio ragionamento?
Una sfera conduttrice di raggio $ R_1=5 cm $ porta una carica $ Q_1=+10^-6 C $. Un guscio sferico(sfera cava), pure conduttore, concetrico alla sfera di raggio $ R_1 $ , avente raggio interno $ R_1=10 cm $ e raggio esterno $ R_1=12 cm $ , è carico con carica $ Q_2=10 Q_1 $.
Calcolare, nell'ipotesi che il sistema sia nel vuoto:
a) la densità di carica superficiale $ sigma _2 $ sulla superficie interna del guscio sferico esterno ( di raggio $ R_2 $ );
b) la d.d.p. ( $ V_1 -V_2 $ )tra i due conduttori considerati.
Il libro lo svolge così:
Il campo elettrico interno al conduttore che costituisce il guscio sferico è nullo.
a) Applichiamo il teorema di Gauss ad una superficie $ Sigma $ interna al guscio sferico si ha:
$ Phi_Sigma(E)=0=Q^(INT)/epsilon _0 $
Dove $ Q^(INT) $ è la somma della carica $ Q_1 $ e della carica $ q_1 $ che si distribuisce sulla superficie di limitazione del guscio di raggio $ R_2 $. Dunque:
$ Q^(INT)=Q_1 + q_2=0 rArr Q_1 =- q_2 rArr sigma_2=q_2/(4piR_2^2)= -Q_1/(4piR_2^2)=-7.96*10^-6 $
Fino a qui mi trovo su tutto.
b) $ V_1-V_2=int_(R_1)^(R_2) E_0 dr = int_(R_1)^(R_2) E_0 dr= Q_1/(4piepsilon_0)int_(R_1)^(R_2) (dr)/r^(2)=(Q_1(R_1-R_2))/(4piepsi_0R_1 R_2)=9*10^4 V $
Osservazione: La carica $ Q_2 $ non influenza sulle grandezze richieste.
Ecco quest'ultimo punto non mi trovo la differenza di potenziale dell'intera sfera non dovrebbe dipendere anche carica superficiale? Questo caso dovrebbe essere un caso di induttanza completa? Io intuitivamente ho ragionato così considiramo il caso il cui il guscio non fosse carico di una carica $ 10Q_1 $ ma fosse scarico, questo vorrebbe dire che una parte si caricherebbe con una carica pari a $ -Q_1 $ internamente e una parte pari a $ +Q_1 $ esternamente.
Quindi sapendo che $Q_2=0$ $Q_1=Q$:
$V_1=p_12Q$
$V_2=p_22Q$ (Dove quest'ultimo è il potenziale sulla superficie esterna del guscio in questo caso scarico)
Sapendo che $ V_2=Q/(4piepsi_0R_3)rArr p_21=V_2/Q=1/(4piepsi_0R_3) $
$ V_1-V_2=int_(R_1)^(R_2)E(r)dl=[-Q/(4piepsi_0 R_2)]_(R_1)^(R_2)= Q/(4piepsi_0) (1/(R_1) -1/(R_2))$
$ V_1=V_2+ Q/(4piepsi_0) (1/(R_1) -1/(R_2))= Q/(4piepsi_0) (1/(R_3)+1/(R_1) -1/(R_2)) $
ricavo quindi $ p_21=V_1/Q=1/(4piepsi_0) (1/(R_3)+1/(R_1) -1/(R_2))=1/(4piepsi_0) (R_1R_2+R_2R_3-R_1R_3)/(R_3R_2R_1) $
Se invece fosse il caso inverso, cioè la sfera interna fosse scarica e il guscio esterno fosse carico carica, si avrebbe che:
$Q_1=0$ $Q_2=Q$
$V_1=p_12Q$
$V_2=p_22Q$ (Dove quest'ultimo è il potenziale sulla superficie esterna del guscio in questo caso carico)
Sapendo che $ V_2=Q/(4piepsi_0R_3)rArr p_22=V_2/Q=1/(4piepsi_0R_3) $
Il campo elettrico compreso tra $R_1$ e $R_2$ è nullo quindi $ V_1= V_2=Q/(4piepsi_0R_3)rArrp_12=V_12/Q=1/(4piepsi_0R_3) $
Sommo i due casi che ho considerato e uso il sistema:
$ { ( V_1=p_11Q_1
+p_12Q_2 ),( V_2=p_21Q_1+p_22Q_2 ):} $
Ottengo i due Potenziali e li sottraggo però non mi trovo. E' sicuramente più lungo e laborioso rispetto all'altro ma eprchè è sbagliato il mio ragionamento?
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