Problema fisica corpo rigido
Volevo ripassare un pò di meccanica e mi sono imbattutto in questo esercizio: una rampa di massa $M$ è ferma su un piano sul quale è libera di scorrere senza attrito. Una sua faccia è curva ed ha come sezione un quarto di circonferenza di raggio $R$. Una sfera (piena) di massa $m$ e raggio $r$ viene accostata alla rampa nella posizione in figura. La sfera può solo rotolare, senza strisciare, sulla faccia curva della rampa. In un certo istante la sfera viene lasciata libera di muoversi. Si chiede di trovare la velocità della sfera e quella della rampa nell’istante in cui esse perdono contatto tra loro.
Io ho ragionato così: non essendoci attrito, l'energia meccanica totale si conserva: all'inzio non c'è energia cinetica ma solo potenziale $mgh$ dove $h=R-r$ e alla fine non c'è energia potenziale ma solo energia cinetica e energia di rotolamento(assente all'inizio) dato che la sfera è un corpo rigido con momento d'inerzia pari a $I = 2/5mr^2$.
Ho difficoltà invece a trovare l'altra condizione per trovare la velocità della sfera. Ma il problema chiede anche di trovare la velocità della rampa. Quello che non capisco è perchè la rampa dovrebbe muoversi?
Potreste aiutarmi a capire per favore?
Io ho ragionato così: non essendoci attrito, l'energia meccanica totale si conserva: all'inzio non c'è energia cinetica ma solo potenziale $mgh$ dove $h=R-r$ e alla fine non c'è energia potenziale ma solo energia cinetica e energia di rotolamento(assente all'inizio) dato che la sfera è un corpo rigido con momento d'inerzia pari a $I = 2/5mr^2$.
Ho difficoltà invece a trovare l'altra condizione per trovare la velocità della sfera. Ma il problema chiede anche di trovare la velocità della rampa. Quello che non capisco è perchè la rampa dovrebbe muoversi?
Potreste aiutarmi a capire per favore?
Risposte
La sfera si muove per conservare quantita' di moto, dato che il sistema non ha forze esterne.
Condizione iniziale:
Energia cinetica = 0
Energia potenziale = 0
Condizione finale
Energia cinetica = $1/2mv_1^2+1/2Iomega^2+1/2Mv_2^2$
Energia potenziale = $-mg(R-r)$
Con l'imposizione che $v_1+omega*r=v_2$ per via del puro rotolamento
Quindi l equazione risolutiva
$1/2mv_1^2+1/2I(v_1^2)/r^2+1/2Mv_2^2-mg(R-r)=0$
Che si risolve tenendo conto che $Mv_2+mv_1=0$ per la conservazione della qdm anzidetta
Condizione iniziale:
Energia cinetica = 0
Energia potenziale = 0
Condizione finale
Energia cinetica = $1/2mv_1^2+1/2Iomega^2+1/2Mv_2^2$
Energia potenziale = $-mg(R-r)$
Con l'imposizione che $v_1+omega*r=v_2$ per via del puro rotolamento
Quindi l equazione risolutiva
$1/2mv_1^2+1/2I(v_1^2)/r^2+1/2Mv_2^2-mg(R-r)=0$
Che si risolve tenendo conto che $Mv_2+mv_1=0$ per la conservazione della qdm anzidetta
Non ho capito due cose: perchè si impone anche la conservazione dell'energia della rampa? Perchè la rampa non rimane ferma quando si muove la sfera? Il puro rotolamento non so cosa sia, con le mie conoscenze da liceo.
Se sul sistema non esistono forze esterne, la qdm si conserva. Quando tutto e' fermo e' nulla.
Ergo, se la sfera se ne esce con velocita' diretta verso sx nel disegno vuol dire che acquista qdm.
La rampa deve muoversi verso destra (qdm opposta) per riportare la qdm del sistema a zero.
Ovviamente questa velocita' della rampa partecipa al calcolo dell'energia cinetica.
Il rotolamento puro avviene quando il corpo non slitta, cioe la velocita periferica e' proprio $omegar$, Bisognerebbe elaborare un po', ma come fai in un post solo?
Ergo, se la sfera se ne esce con velocita' diretta verso sx nel disegno vuol dire che acquista qdm.
La rampa deve muoversi verso destra (qdm opposta) per riportare la qdm del sistema a zero.
Ovviamente questa velocita' della rampa partecipa al calcolo dell'energia cinetica.
Il rotolamento puro avviene quando il corpo non slitta, cioe la velocita periferica e' proprio $omegar$, Bisognerebbe elaborare un po', ma come fai in un post solo?
Grazie proffessorkappa, chiarissimo! $omega*r$ sarebbe la velocità angolare di un corpo rigido. Se non sbaglio hai corretto il primo post scrivendo $v_1+omega*r=v_2$, questo vorrebbe dire che per la velocità finale vanno considerate le due velocità della sfera, quella normale e quella angolare, giusto?
No, ho corretto per un altro motivo, eppero' non ho avuto modo di aggiungere la spiegazione. Lo faccio ora:
Se il centro della sfera si muove di velocita' assoluta $v_1$, i punti della circonferenza si muovono di velocita' $v_1+omegar$. Affinche' non avvenga strisciamento, il punto della sfera a contatto con la rampa deve avere la stessa velocita' della rampa. Quindi deve essere (a meno dei segni) $v_1+omegar=v_2$.
Riscrivo tutte le equazioni assegnando il sistema di riferimento per avere la congruenza dei segni.
Per me, le rotazioni antiorarie sono positive, e le velocita' sono positive verso destra.
Siccome $v_1$ e $v_2$ e $omega$ sono tutte incognite, suppongo in prima ipotesi che siano tutte positive, cioe' rivolte verso destra (sappiamo gia' che non e' cosi) e la velocita' angolare al momento finale sia antioraria (positiva anche essa)
La conservazione della quantita' di moto mi dice che
$mv_1+Mv_2=0$
La conservazione dell'energia meccanica mi dice che
$1/2mv_1^2+1/2Iomega^2+1/2Mv_2^2-mg(R-r)=0$
Infine per il puro rotolamento
$v_1+omegar=v_2$
3 equazioni, in 3 incognite, ti dovrebbe venire, una volta risolto il sistema, che $v_1$ e' negativo (a indicare che la sfera si muove verso sx), $v_2$ e' positiva (la rampa va verso destra) e $omega$ positiva (la sfera gira in senso antiorario).
Se il centro della sfera si muove di velocita' assoluta $v_1$, i punti della circonferenza si muovono di velocita' $v_1+omegar$. Affinche' non avvenga strisciamento, il punto della sfera a contatto con la rampa deve avere la stessa velocita' della rampa. Quindi deve essere (a meno dei segni) $v_1+omegar=v_2$.
Riscrivo tutte le equazioni assegnando il sistema di riferimento per avere la congruenza dei segni.
Per me, le rotazioni antiorarie sono positive, e le velocita' sono positive verso destra.
Siccome $v_1$ e $v_2$ e $omega$ sono tutte incognite, suppongo in prima ipotesi che siano tutte positive, cioe' rivolte verso destra (sappiamo gia' che non e' cosi) e la velocita' angolare al momento finale sia antioraria (positiva anche essa)
La conservazione della quantita' di moto mi dice che
$mv_1+Mv_2=0$
La conservazione dell'energia meccanica mi dice che
$1/2mv_1^2+1/2Iomega^2+1/2Mv_2^2-mg(R-r)=0$
Infine per il puro rotolamento
$v_1+omegar=v_2$
3 equazioni, in 3 incognite, ti dovrebbe venire, una volta risolto il sistema, che $v_1$ e' negativo (a indicare che la sfera si muove verso sx), $v_2$ e' positiva (la rampa va verso destra) e $omega$ positiva (la sfera gira in senso antiorario).
Ho capito tutto tranne una cosa: la sfera non potrebbe rotolare anche se la rampa restasse ferma? Facendo l'esperimento realmente, sicuramente la pallina scivolerebbe rotolando e non strisciando. Potresti chiarirmi questo punto?
Se il coefficiente di attrito e' sufficientemente elevato, certo che la sfera puo' rotolare senza strisciare a rampa ferma.
Ma se tu ti metti con pazienza a risolvere il sistema, e trovi le 3 incognite, queste sono in funzione di M e m.
A quel punto puoi giocare tranquillamente con le formule: per esempio basta imporre nelle soluzioni che la massa della rampa sia molto maggiore (al limite infinita) di quella della sfera e questo ti da la risposta di quello che succede quando la rampa e' ancorata al terreno.
La $v_2$ ti verra' nulla, etc etc etc
Ma se tu ti metti con pazienza a risolvere il sistema, e trovi le 3 incognite, queste sono in funzione di M e m.
A quel punto puoi giocare tranquillamente con le formule: per esempio basta imporre nelle soluzioni che la massa della rampa sia molto maggiore (al limite infinita) di quella della sfera e questo ti da la risposta di quello che succede quando la rampa e' ancorata al terreno.
La $v_2$ ti verra' nulla, etc etc etc
Certo, ma quello è conseguenza delle equazioni imposte. La spiegazione è quella data da te prima, ovvero la conservazione della quantità di moto e quindi la ramoa si muove per quello, anche perchè non c'è attrito.
La spiegazione e' quella, certo. La risoluzione ti da il risultato per ogni singolo caso. prova a farlo. E' interessante vedere cosa succede se la massa della sfera e' molto maggiore di quella della rampa 
Risolvendo viene: $v_1=sqrt((10M^2*g(R-r))/(7M^2+9Mm+2m))$ e
$v_2=sqrt((10m^2g*(R-r))/(7M^2+9Mm+2m))$
Se la massa $M$ vosse molto maggiore della massa $m$, la velocità $v_2$ tenderebbe a zero, come da te detto.
Grazie tante per avermi aiutato nel problema! Buona giornata!
$v_2=sqrt((10m^2g*(R-r))/(7M^2+9Mm+2m))$
Se la massa $M$ vosse molto maggiore della massa $m$, la velocità $v_2$ tenderebbe a zero, come da te detto.
Grazie tante per avermi aiutato nel problema! Buona giornata!
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