Problema fisica 2 filo indefinito e spira quadrata

[Anyanka8]

Ciao a tutti..vi sarei molto grata se mi aiutaste con questo problema di fsica 2:

Un filo indefinito è attraversato dalla corrente \(\displaystyle i=i_0sen(\omega t) \). Una spira quadrata di lato l, resistenza R, è complanare al filo; il suo centro è posto a distanza d dal filo.
Determinare:
a) l'espressione del flusso del campo B attraverso la spira in funzione del tempo (B non è uniforme);
b) la potenza media dissipata per effetto Joule in R.
\(\displaystyle l=8cm \)
\(\displaystyle d=6cm \)
\(\displaystyle i_0=10A \)
\(\displaystyle \omega=314 s^-1 \)
\(\displaystyle R=0.1 \Omega \).

Ho provato a svolgere il primo punto, ma non sono per niente sicura del risultato:

Ho posto il campo magnetico del filo uguale a:
\(\displaystyle B=( \mu _0 i)/(2 \pi d) \)
con \(\displaystyle i=i_0sen(\omega t) \)
quindi il flusso attraverso la spira:

\(\displaystyle \Phi (B) = \int B dA = \frac{ \mu _0 i_0 l^2}{2 \pi d} \int sen(\omega t) dt = - \frac{ \mu _0 i_0 l^2 \omega cos(\omega t)}{(2 \pi d} \)

Come ho detto non sono per niente convinta del risultato...per quanto riguarda il secondo punto, l'unica idea che mi è venuta in mente è stata quella di utilizzare Lagrange... ma non so...potete aiutarmi? Grazie mille.

[chiaraotta1]

Se il quadrato hai 2 lati paralleli e gli altri 2 perpendicolari al filo, allora conviene prendere un asse $x$ perpendicolare al filo, passante per un lato del quadrato e con l'origine sul filo stesso.
Così
$B(x)=mu_0/(2 pi) (I(t))/x$.
Poi
$dPhi_B=B(x)dS=B(x) l dx=mu_0/(2 pi) (I(t))/x l dx$
e
$Phi_B(t)=int_d^(d+l) dPhi_B= mu_0/(2 pi) l I(t)int_d^(d+l)1/x dx=$
$ mu_0/(2 pi) l I_0 sin(omega t) ln((d+l)/d)$.