Problema fisica 1 forze elastiche e funi
Salve putroppo non riesco a capire come risolvere il problema.
Un corpo di massa m1 = 2 Kg può scivolare su un piano senza attrito. Da un lato è connesso ad una parete verticale tramite una molla di constante elastica K = 10^3 N/m e lunghezza a riposo l = 0.5 m; dall’altro lato una fune di massa trascurabile, attraverso una carrucola, lo connette al corpo m2 = 3 Kg, libero di muoversi verticalmente. La carrucola ha massa trascurabile e senza attrito.
Calcolare
1) L’allungamento della molla nella posizione di equilibrio.
2) Scrivere le equazioni del moto
3) Determinare la frequenza di oscillazione del sistema
4) Supponendo che il filo sia in grado di sopportare una tensione massima TM = 100 N, determinare la massima velocità iniziale che le masse possono avere nella posizione di equilibrio per evitare che questo si spezzi.
per quanto riguarda il primo punto basta equagliare la forza peso del secondo corpo con la forza elastica, ma dal secondo punto in poi non so proseguire.
per risolvere il secondo punto ho fatto un sistema analizzando quali forze agissero sui corpi.
$\{(t + Fel = 2a),(P - t = 3a) :}$
la prima equazione è relativa all asse x quindi al corpo m1 mentre la seconda equazione è relativa al corpo m2. (t=tensione , fel =forza elastica, P=forza peso, l accelerazione l ho considerata positiva quando va verso destra lungo x e verso il basso lungo y)
Il sistema presenta 3 incognite quindi non so proseguire.
Per il terzo punto l unica cosa che mi viene in mente è $ w=sqrt(k/m) $ ma non so se ha senso. Per il quarto punto non ho idea di come si risolva.
grazie mille a chi risponderà.
Un corpo di massa m1 = 2 Kg può scivolare su un piano senza attrito. Da un lato è connesso ad una parete verticale tramite una molla di constante elastica K = 10^3 N/m e lunghezza a riposo l = 0.5 m; dall’altro lato una fune di massa trascurabile, attraverso una carrucola, lo connette al corpo m2 = 3 Kg, libero di muoversi verticalmente. La carrucola ha massa trascurabile e senza attrito.
Calcolare
1) L’allungamento della molla nella posizione di equilibrio.
2) Scrivere le equazioni del moto
3) Determinare la frequenza di oscillazione del sistema
4) Supponendo che il filo sia in grado di sopportare una tensione massima TM = 100 N, determinare la massima velocità iniziale che le masse possono avere nella posizione di equilibrio per evitare che questo si spezzi.
per quanto riguarda il primo punto basta equagliare la forza peso del secondo corpo con la forza elastica, ma dal secondo punto in poi non so proseguire.
per risolvere il secondo punto ho fatto un sistema analizzando quali forze agissero sui corpi.
$\{(t + Fel = 2a),(P - t = 3a) :}$
la prima equazione è relativa all asse x quindi al corpo m1 mentre la seconda equazione è relativa al corpo m2. (t=tensione , fel =forza elastica, P=forza peso, l accelerazione l ho considerata positiva quando va verso destra lungo x e verso il basso lungo y)
Il sistema presenta 3 incognite quindi non so proseguire.
Per il terzo punto l unica cosa che mi viene in mente è $ w=sqrt(k/m) $ ma non so se ha senso. Per il quarto punto non ho idea di come si risolva.
grazie mille a chi risponderà.
Risposte
i) L'energia potenziale del sistema in funzione dell'allungamento x della molla dal punto di riposo è: $U(x)=1/2kx^2-m_2gx$, si ha equilibrio nei punti di stazionarietà del potenziale: $(dU)/(dx)=kx-m_2g=0 -> x=(m_2g)/k$
ii) Considera un asse y verticale positivo verso il basso e un asse x orizzontale positivo a destra, le equazioni dei due corpi sono:
Corpo 1: $T-kx=m_1ddot(x)$
Corpo 2: $m_2g-T=m_2ddot(y)$
Essendo il filo inestensibile ed essendo i versi dei due assi concordi risulta $ddot(x)=ddot(y)$ e quindi sommando la prima equazione con la seconda si ottiene:
$m_2g-kx=(m_1+m_2)ddot(x)$
Da cui:
$ddot(x)=-(kx)/(m_1+m_2)+(m_2g)/(m_1+m_2)$
Questa è l'equazione del moto del sistema, da cui si capisce subito la frequenza delle oscillazioni.
ii) Considera un asse y verticale positivo verso il basso e un asse x orizzontale positivo a destra, le equazioni dei due corpi sono:
Corpo 1: $T-kx=m_1ddot(x)$
Corpo 2: $m_2g-T=m_2ddot(y)$
Essendo il filo inestensibile ed essendo i versi dei due assi concordi risulta $ddot(x)=ddot(y)$ e quindi sommando la prima equazione con la seconda si ottiene:
$m_2g-kx=(m_1+m_2)ddot(x)$
Da cui:
$ddot(x)=-(kx)/(m_1+m_2)+(m_2g)/(m_1+m_2)$
Questa è l'equazione del moto del sistema, da cui si capisce subito la frequenza delle oscillazioni.
Per quanto riguarda il primo punto siamo arrivati allo stesso risultato(credo di non aver fatto quella formula durante il corso).
Per il secondo punto quelle x e y con i due puntini sopra cosa indicano? Se sono delle accelerazioni allora hai impostato il sistema come il mio e io mi ero bloccato perché ottenevo $ a= (p+fel)/5 $ e non sapevo andare avanti.
Arrivato a questo punto perché Dici che la frequenza è semplice da trovare io non capisco perché il sistema dovrebbe oscillare, dato che non si sono attriti arrivati al punto di equilibrio non dovrebbe essere tutto ferme e restare tale?
Per il secondo punto quelle x e y con i due puntini sopra cosa indicano? Se sono delle accelerazioni allora hai impostato il sistema come il mio e io mi ero bloccato perché ottenevo $ a= (p+fel)/5 $ e non sapevo andare avanti.
Arrivato a questo punto perché Dici che la frequenza è semplice da trovare io non capisco perché il sistema dovrebbe oscillare, dato che non si sono attriti arrivati al punto di equilibrio non dovrebbe essere tutto ferme e restare tale?
$ddot(x)$ e $ddot(y)$ rappresentano le derivate seconde, e quindi le accelerazioni, di due corpi che si muovo lungo l'asse $x$ e l'asse $y$. Non so in quale corsi stai studiando fisica e a quale livello di approfondimento, però in generale il moto di un corpo è descritto da un'equazione differenziale, ossia una equazione che coinvolge una funzione e le sue derivate. Si può dimostrare che u moto oscillatorio è rappresentato da una equazione differenziale del tipo:
$ddot(x)=-omega^2x+C$, dove $ddot(x)$ è l'accelerazione del corpo (derivata seconda di x) e x è la posizione del corpo e $omega^2$ e $C$ sono delle costanti, ossia in un moto oscillatorio l'accelerazione è proporzionale e contraria allo spostamento. Il periodo di tale moto vale $T=(2pi)/omega$
Nel caso in esame si ha:
$ddot(x)=-(k/(m_1+m_2))x+(m_2g)/(m_1+m_2)$, e ponendo $k/(m_1+m_2)=omega^2$ e $(m_2g)/(m_1+m_2)=C$, l'equazione è proprio quella di un moto armonico.
$ddot(x)=-omega^2x+C$, dove $ddot(x)$ è l'accelerazione del corpo (derivata seconda di x) e x è la posizione del corpo e $omega^2$ e $C$ sono delle costanti, ossia in un moto oscillatorio l'accelerazione è proporzionale e contraria allo spostamento. Il periodo di tale moto vale $T=(2pi)/omega$
Nel caso in esame si ha:
$ddot(x)=-(k/(m_1+m_2))x+(m_2g)/(m_1+m_2)$, e ponendo $k/(m_1+m_2)=omega^2$ e $(m_2g)/(m_1+m_2)=C$, l'equazione è proprio quella di un moto armonico.
scusa se rispondo a distanza di cosi tanto tempo,comunque credo di aver capito. mi restano soltanto un altro paio di dubbi.
essendo il moto oscillatorio l' equazione del moto non dovrebbe essere $ x(t)=Asin($ $\omega$ $ t + $ $\phi$ $) + C $ .
con C= $ (m_2 g)/(m_1 + m_2) $ .
l' altro dubbio riguarda l'ultimo punto del problema. io ho pensato di risolverlo in questo modo ma non so se va bene.
$ m_2 g-kx = 100 $ ricavo la x= $ (m_2 g -100)/k $
al punto di equilibrio il corpo avrà una certa energia cinetica che si trasformerà quando la x è uguale a $ (m_2 g -100)/k $ in energia potenziale elastica e energia potenziale gravitazionale dato che il corpo due scende verso il basso.
Ec=Epg+Epel
$ 1/2(m_1+m_2)v^2 = 1/2 k ((m_2g -100)/k)^2 + (m_2g)(m_2g-100)/k $
facendo tutti i calcoli ottengo v=1.35
essendo il moto oscillatorio l' equazione del moto non dovrebbe essere $ x(t)=Asin($ $\omega$ $ t + $ $\phi$ $) + C $ .
con C= $ (m_2 g)/(m_1 + m_2) $ .
l' altro dubbio riguarda l'ultimo punto del problema. io ho pensato di risolverlo in questo modo ma non so se va bene.
$ m_2 g-kx = 100 $ ricavo la x= $ (m_2 g -100)/k $
al punto di equilibrio il corpo avrà una certa energia cinetica che si trasformerà quando la x è uguale a $ (m_2 g -100)/k $ in energia potenziale elastica e energia potenziale gravitazionale dato che il corpo due scende verso il basso.
Ec=Epg+Epel
$ 1/2(m_1+m_2)v^2 = 1/2 k ((m_2g -100)/k)^2 + (m_2g)(m_2g-100)/k $
facendo tutti i calcoli ottengo v=1.35
Devi risolvere l'equazione differenziale del moto con le seguenti condizioni:
$x(0)=0$
$dot(x)(0)=v_0$
Dove $v_0$ è la velocità del sistema nel punto di equilibrio.
Una volta trovata $x(t)$ sai che risulta:
$m_2g-T=m_2ddot(x)(t)$
Ossia:
$T_(max)=m_2g-m_2ddot(x)(t)_(max)$
Devi quindi trovarti il $ddot(x)(t)_(max)$ e risolvere l'equazione che sarà in funzione di $v_0$
$x(0)=0$
$dot(x)(0)=v_0$
Dove $v_0$ è la velocità del sistema nel punto di equilibrio.
Una volta trovata $x(t)$ sai che risulta:
$m_2g-T=m_2ddot(x)(t)$
Ossia:
$T_(max)=m_2g-m_2ddot(x)(t)_(max)$
Devi quindi trovarti il $ddot(x)(t)_(max)$ e risolvere l'equazione che sarà in funzione di $v_0$
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