Problema equilibrio e stabilità
Un'asta $AB$ di lunghezza $2l$ e massa $m$, posta in un piano vertivale liscio $Oxy$, con $y$ verticale ascendente, è vincolata a ruotare senza attrito, intorno al suo centro $O$. Un punto $P$ di massa $m$ è vincolato rigidamente all'asta mediante una sbarra di lunghezza $l$ e massa $m$ che foma con l'asta un angolo di $pi/2$. Il sistema è soggetto, otre che alla forza peso, a due forze elastiche $F_1 = -k(A - A_0)$ e $F_2 = -k(B - B_0)$ agenti rispettivamente sugli estremi $A$ e $B$ dell'asta dove $A_0$ e $B_0$ sono rispettivamente la proiezione di $A$ e $B$ sull'asse $x$.
Determinare equilibrio e stabilità del sistema.
In questo problema non riesco bene a determinare il poteziale delle forze elastiche.........come vi trovare le esperssioni dei quadrati $(A - A_0)^2$ e $(B - B_0)^2$?
In ogni cosa il potenziale totale vi esce come la somme dei tre potezieli rispettivamente della forza peso dell'asta e delle due forze elastiche?
Grazie anticipate.
Determinare equilibrio e stabilità del sistema.
In questo problema non riesco bene a determinare il poteziale delle forze elastiche.........come vi trovare le esperssioni dei quadrati $(A - A_0)^2$ e $(B - B_0)^2$?
In ogni cosa il potenziale totale vi esce come la somme dei tre potezieli rispettivamente della forza peso dell'asta e delle due forze elastiche?
Grazie anticipate.
Risposte
Eccomi di nuovo qua. 
Spero di avere capito bene il disegno del sistema, perchè stavolta è un po' complicato... nel caso in cui io abbia fatto un fiasco totale, posto un disegno ok?
Se usi come coordinata lagrangiane l'agolo formato dall'asta $AB$ con l'asse delle $x$, le coordinate di $A$ sono $(l*cos\theta, l*sin\theta)$ e quelle di $B$ sono $(-l*cos\theta, -l*sin\theta)$. Poichè $A_0$ e $B_0$ sono le loro proiezioni ortogonali sull'asse $x$ hanno coordinate $(l*cos\theta, 0))$ e $(-l*cos\theta, 0))$. Da cui la distanza $(A-A_0)^2=l^2sin^2\theta$ e $(B-B_0)^2$ è uguale.
Il potenziale totale non dovrebbe essere la somma di quattro potenziali? Due relativi alle due forze elastiche e due relativi alla forza peso che agisce sull'asta $AB$ e sul punto $P$.
Spero di avere capito bene il disegno del sistema, perchè stavolta è un po' complicato... nel caso in cui io abbia fatto un fiasco totale, posto un disegno ok?
Se usi come coordinata lagrangiane l'agolo formato dall'asta $AB$ con l'asse delle $x$, le coordinate di $A$ sono $(l*cos\theta, l*sin\theta)$ e quelle di $B$ sono $(-l*cos\theta, -l*sin\theta)$. Poichè $A_0$ e $B_0$ sono le loro proiezioni ortogonali sull'asse $x$ hanno coordinate $(l*cos\theta, 0))$ e $(-l*cos\theta, 0))$. Da cui la distanza $(A-A_0)^2=l^2sin^2\theta$ e $(B-B_0)^2$ è uguale.
Il potenziale totale non dovrebbe essere la somma di quattro potenziali? Due relativi alle due forze elastiche e due relativi alla forza peso che agisce sull'asta $AB$ e sul punto $P$.
"44gatti":
Eccomi di nuovo qua.
Spero di avere capito bene il disegno del sistema, perchè stavolta è un po' complicato... nel caso in cui io abbia fatto un fiasco totale, posto un disegno ok?
Se usi come coordinata lagrangiane l'agolo formato dall'asta $AB$ con l'asse delle $x$, le coordinate di $A$ sono $(l*cos\theta, l*sin\theta)$ e quelle di $B$ sono $(-l*cos\theta, -l*sin\theta)$. Poichè $A_0$ e $B_0$ sono le loro proiezioni ortogonali sull'asse $x$ hanno coordinate $(l*cos\theta, 0))$ e $(-l*cos\theta, 0))$. Da cui la distanza $(A-A_0)^2=l^2sin^2\theta$ e $(B-B_0)^2$ è uguale.
Il potenziale totale non dovrebbe essere la somma di quattro potenziali? Due relativi alle due forze elastiche e due relativi alla forza peso che agisce sull'asta $AB$ e sul punto $P$.
Non mi trovo con quanto dici!
Forse ho fatto male il disegno....non riesco a postarlo dannazione
cmq. perchè quelle di $B$ sono $(-l*cos\theta, -l*sin\theta)$?
Provo a rivedere il disegno e i conti.....
Però se l'asta AB è centrata nell'origine, la forza peso non da potenziale perchè la sua y è nulla...
Allora ho sbagliato il disegno.....chi riesce gentilmente a postarlo?
Allora: c'è la sbarra AB centrata nell'origine che è libera di ruotare attorno ad essa; agli estremi A e B sono agganciate due molle vincolate rispettivamente ad $A_0$ e $B_0$ che sono le proiezioni di A e B sull'asse x. Però non riesco a capire come sia messa la seconda sbarra...
Le coordinate indicate da 44 gatti mi sembrano giuste, e il potenziale sarà dato da tre termini in tutto: due per la forza elastica e uno per la massa del punto P (che, come dicevo, però non capisco dove possa essere...)
Le coordinate indicate da 44 gatti mi sembrano giuste, e il potenziale sarà dato da tre termini in tutto: due per la forza elastica e uno per la massa del punto P (che, come dicevo, però non capisco dove possa essere...)
Hai ragione, gianlu87! Non ci avevo pensato, ma il potenziale della forza peso sull'asta è nullo... Grazie per la correzione.
Ora provo a fare il disegno e postarlo.
Ora provo a fare il disegno e postarlo.
La seconda sbarra, stando a quanto dice la traccia è perpendicolare ad $AB$ poichè dice che forma con essa un angolo di $pi/2$
Non ho capito invece perchè se l'asta è centrata in $O$ il potenziale della forza peso è nullo?
Non dovrebbe essere:
$U_F = mgy_g = mglcos(theta)$
dove $theta$ è l'angolo che l'asta $AB$ forma col semiasse positivo delle $x$.
poi mi trovo le coordinate dei punti:
$x_A = -lcos(theta)$
$y_A =- lsen(theta)$
$x_B = lcos(theta)$
$y_B = lsen(theta)$
$B_0 = (lsen(theta), 0)$
$A_0 = (-lsen(theta), 0)$
Non ho capito invece perchè se l'asta è centrata in $O$ il potenziale della forza peso è nullo?
Non dovrebbe essere:
$U_F = mgy_g = mglcos(theta)$
dove $theta$ è l'angolo che l'asta $AB$ forma col semiasse positivo delle $x$.
poi mi trovo le coordinate dei punti:
$x_A = -lcos(theta)$
$y_A =- lsen(theta)$
$x_B = lcos(theta)$
$y_B = lsen(theta)$
$B_0 = (lsen(theta), 0)$
$A_0 = (-lsen(theta), 0)$
il potenziale della forza peso è nullo perchè se la densità di massa è omogenea su tutta l'asta, il baricentro starà proprio al centro dell'asta stessa. Essento l'asta centrata in O, la y del baricentro sarà 0 e quindi quella parte di potenziale si annulla.
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