Problema elettrostatica nel vuoto
ciao a tutti 
,
ho problemi nella risoluzione di questo esercizio https://www.dropbox.com/s/em4d1m0v18686k6/1.23.png. In particolare, non capisco come mai la risoluzione dell'esercizio sul libro parli dell'equivalenza tra la configurazione di carica del problema e quella di una sfera di centro O1 e raggio R1 uniformemente carica con densità volumetrica ρ cui si sovrappone una sfera con centro in O2 e densità volumetrica -ρ. Grazie
, ho problemi nella risoluzione di questo esercizio https://www.dropbox.com/s/em4d1m0v18686k6/1.23.png. In particolare, non capisco come mai la risoluzione dell'esercizio sul libro parli dell'equivalenza tra la configurazione di carica del problema e quella di una sfera di centro O1 e raggio R1 uniformemente carica con densità volumetrica ρ cui si sovrappone una sfera con centro in O2 e densità volumetrica -ρ. Grazie
Risposte
Semplicemente perché, grazie alla linearita del "mezzo", è applicabile la sovrapposizione degli effetti e quindi è possibile scomporre il problema complesso in due sottoproblemi più semplici.
Il campo elettrico sarà poi dato in ogni punto dalla somma vettoriale dei due campi elettrici parziali.
---------------------------------------------------------
Edit: visto che non lo fai tu, posto io l'immagine
Il campo elettrico sarà poi dato in ogni punto dalla somma vettoriale dei due campi elettrici parziali.
---------------------------------------------------------
Edit: visto che non lo fai tu, posto io l'immagine
ciao, grazie per la risposta
hai ragione, concordo con tutto.. ho una domanda: come mai si considera proprio tale configurazione equivalente? Cosa succede alle densità di carica volumetrica? grazie:)
hai ragione, concordo con tutto.. ho una domanda: come mai si considera proprio tale configurazione equivalente? Cosa succede alle densità di carica volumetrica? grazie:)
Cerco di spiegartelo con un disegno qualitativo, se sovrapponiamo una sfera S1 carica con densità $+\rho$ (rossa) ad una sfera S2 carica con densità $-\rho$ (blu), è chiaro che lo spazio interno alla sola sfera rossa, avrà ancora densità totale pari a $+\rho$, mentre quello interno alla sfera blu (contemporaneamente interno anche alla rossa) avrà densità pari alla somma delle due, ovvero $+\rho+(-\rho)=0$ e quindi le due sfere "sovrapposte" equivarranno alla sfera con il buco.
Questa equivalenza, come ti dicevo è utile per semplificare il problema, ovvero per ridurlo a due configurazioni molto più facilmente analizzabili.
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC L 10 -52429 0.43
FJC L 13 -6118750 0.47
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 85 120 85 120 0
LI 145 65 145 65 0
SA 109 61 0
TY 109 56 3 2 0 1 0 * P
LI 139 61 109 61 0
FCJ 1 0 3 1 0 0
TY 142 61 4 3 0 1 0 * E
LI 103 75 109 61 1
FCJ 1 0 3 1 0 0
EV 90 55 120 85 1
TY 118 77 4 3 0 1 1 * S2
TY 97 67 4 3 0 1 1 * E2
EV 95 60 115 80 1
FCJ 1 0
EV 60 95 110 45 2
FCJ 1 0
TY 131 44 4 3 0 1 2 * E1
LI 145 47 109 61 2
FCJ 1 0 3 1 0 0
EV 130 115 40 25 2
TY 42 39 4 3 0 1 2 * S1
LI 35 70 145 70 13
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 85 15 85 120 13
FCJ 1 0 3 1 0 0
LI 105 65 105 75 13
TY 81 71 4 3 0 1 14 * 0
LI 139 61 145 47 14
FCJ 0 0 3 1 1 0
LI 139 61 103 75 14
FCJ 0 0 3 1 1 0[/fcd]
A questo punto, scelto un generico punto P e determinati via Gauss i campi componenti E1 e E2 relativi a quelle frazioni sferiche di carica associate al punto P stesso (sfere interne ai tratteggi), avremo che in campo complessivo E, sarà determinabile via somma vettoriale dei due.
$\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2$
Nella figura è indicata la situazione per P interno alla cavità, ma è chiaro che il discorso è valido per un qualsiasi punto P dello spazio.
Questa equivalenza, come ti dicevo è utile per semplificare il problema, ovvero per ridurlo a due configurazioni molto più facilmente analizzabili.
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC L 10 -52429 0.43
FJC L 13 -6118750 0.47
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 85 120 85 120 0
LI 145 65 145 65 0
SA 109 61 0
TY 109 56 3 2 0 1 0 * P
LI 139 61 109 61 0
FCJ 1 0 3 1 0 0
TY 142 61 4 3 0 1 0 * E
LI 103 75 109 61 1
FCJ 1 0 3 1 0 0
EV 90 55 120 85 1
TY 118 77 4 3 0 1 1 * S2
TY 97 67 4 3 0 1 1 * E2
EV 95 60 115 80 1
FCJ 1 0
EV 60 95 110 45 2
FCJ 1 0
TY 131 44 4 3 0 1 2 * E1
LI 145 47 109 61 2
FCJ 1 0 3 1 0 0
EV 130 115 40 25 2
TY 42 39 4 3 0 1 2 * S1
LI 35 70 145 70 13
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 85 15 85 120 13
FCJ 1 0 3 1 0 0
LI 105 65 105 75 13
TY 81 71 4 3 0 1 14 * 0
LI 139 61 145 47 14
FCJ 0 0 3 1 1 0
LI 139 61 103 75 14
FCJ 0 0 3 1 1 0[/fcd]
A questo punto, scelto un generico punto P e determinati via Gauss i campi componenti E1 e E2 relativi a quelle frazioni sferiche di carica associate al punto P stesso (sfere interne ai tratteggi), avremo che in campo complessivo E, sarà determinabile via somma vettoriale dei due.
$\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2$
Nella figura è indicata la situazione per P interno alla cavità, ma è chiaro che il discorso è valido per un qualsiasi punto P dello spazio.
grazie ancora per la risposta
ipotizzare tale sistema equivalente come semplifica i calcoli? inoltre: come mai il campo elettrico all'interno della cavità NON è nullo? Dato che è assimilabile a un conduttore cavo
grazie:)
ipotizzare tale sistema equivalente come semplifica i calcoli? inoltre: come mai il campo elettrico all'interno della cavità NON è nullo? Dato che è assimilabile a un conduttore cavo
grazie:)
"Suv":
... grazie ancora per la risposta
Prego, figurati; se posso essere d'aiuto lo faccio volentieri.
"Suv":
... ipotizzare tale sistema equivalente come semplifica i calcoli?
Usando il "sistema equivalente", ovvero andando a considerare separatamente il campo prodotto dalle due sfere, posso usare il teorema di Gauss, non usando il "sistema equivalente", non posso usare Gauss.
Il grande vantaggio è sostanzialmente quello di andare ad analizzare due campi a simmetria sferica estremamente più semplici di quello iniziale a simmetria assiale.
"Suv":
... come mai il campo elettrico all'interno della cavità NON è nullo? Dato che è assimilabile a un conduttore cavo
Non è assimilabile ad un conduttore cavo, la sfera con la cavità non è ovviamente conduttiva.
Anche se il testo non lo precisa, per poter avere una densità di carica volumetrica interna, la sfera deve essere isolante.
grazie, sei stato molto esaustivo ho un'ultima domanda: i campi elettrici, in questo caso, come sono definiti? mi spiego meglio: sono generati dalle densità di carica volumetrica $ +\rho $ e $ -\rho $? é questa la ragion per cui nel punto P si hanno due campi, la cui risultante è $ E $ ?
grazie
ho un'ultima domanda: i campi elettrici, in questo caso, come sono definiti? mi spiego meglio: sono generati dalle densità di carica volumetrica $ +\rho $ e $ -\rho $? é questa la ragion per cui nel punto P si hanno due campi, la cui risultante è $ E $ ? grazie
Si, E1 è generato dalla carica contenuta internamente alla parte della sfera S1 di raggio OP e quindi dalla carica Q+ data dal prodotto fra il volume interno al tratteggio rosso e $+\rho$ e così parimenti per E2, dal prodotto fra il volume della parte di sfera S2 interna al tratteggio blu e $-\rho$.
Ne segue che entrambi i campi aumenteranno proporzionalmente alla distanza dal centro della relativa sfera fino al raggiungimento delle rispettive superfici, per poi diminuire secondo il quadrato delle stesse distanze, tendendo asintoticamente a zero per distanze tendenti ad infinito.
La somma dei due campi elettrici parziali nel volume interno alla cavità porta ad un risultato inaspettatamente semplice per il campo totale, lascio a te scoprire quale.
------------------------
BTW Per le immagini consiglierei di postarle direttamente sul sito e non usare link a server esterni in quanto, oltre a rendere scomoda la lettura di un thread, la rende impossibile qualora venga ad essere cancellata; se ti va di farlo anche tu modificando il post iniziale, te ne sarei grato.
Non capisco perché non sia richiesto e sottolineato anche nelle regole del Forum.
Ne segue che entrambi i campi aumenteranno proporzionalmente alla distanza dal centro della relativa sfera fino al raggiungimento delle rispettive superfici, per poi diminuire secondo il quadrato delle stesse distanze, tendendo asintoticamente a zero per distanze tendenti ad infinito.
La somma dei due campi elettrici parziali nel volume interno alla cavità porta ad un risultato inaspettatamente semplice per il campo totale, lascio a te scoprire quale.
------------------------
BTW Per le immagini consiglierei di postarle direttamente sul sito e non usare link a server esterni in quanto, oltre a rendere scomoda la lettura di un thread, la rende impossibile qualora venga ad essere cancellata; se ti va di farlo anche tu modificando il post iniziale, te ne sarei grato.
Non capisco perché non sia richiesto e sottolineato anche nelle regole del Forum.
grazie ho un'altra cosa che ancora non mi è chiara: nel sistema equivalente che abbiamo supposto, in cui si suppone la sfera maggiore carica con densità volumetrica positiva uniforme, non si dovrebbe considerare agente in P nella sfera minore solo una densità volumetrica di carica negativa uniforme?
ho un'altra cosa che ancora non mi è chiara: nel sistema equivalente che abbiamo supposto, in cui si suppone la sfera maggiore carica con densità volumetrica positiva uniforme, non si dovrebbe considerare agente in P nella sfera minore solo una densità volumetrica di carica negativa uniforme?
"Suv":
... non si dovrebbe considerare agente in P nella sfera minore solo una densità volumetrica di carica negativa uniforme?
Scusa ma non capisco la tua domanda, come già detto più volte, nel punto P verranno a sovrapporsi i due campi associati alle sottosfere cariche componenti, rispettivamente di raggio $r_1$ e $r_2$ ,
[fcd="fig.2"][FIDOCAD]
FJC L 10 -52429 0.43
FJC L 13 -6118750 0.47
FJC A 0.4
FJC B 0.4
SA 79 56 0
TY 79 51 3 2 0 1 0 * P
LI 75 65 75 65 0
LI 55 65 75 65 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 61 67 3 2 0 1 0 * r
LI 61 67 63 67 0
EV 65 55 85 75 1
FCJ 1 0
LI 75 65 79 56 1
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 76 66 79 66 1
TY 76 66 3 2 0 1 1 * r2
TY 59 58 3 2 0 1 2 * r1
LI 59 58 62 58 2
EV 30 90 81 40 2
FCJ 1 0
LI 79 56 55 65 2
FCJ 1 0 3 1 0 0
LI 75 60 75 70 13
LI 55 30 55 95 13
FCJ 1 0 3 1 0 0
LI 75 65 96 65 13
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 25 65 55 65 13
TY 52 65 3 2 0 1 14 * O[/fcd]
Campi che saranno esprimibili quindi come:
$\vec{E}_1=\frac{+\rho }{3\epsilon _0} \vec{r}_1$
$\vec{E}_2=\frac{-\rho }{3\epsilon _0} \vec{r}_2$
dai quali è possibile ottenere la "semplice" (e normalmente inaspettata) risultante $vec{E}$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
