Problema elettrostatica - densità superficiale
Ciao a tutti, non riesco a capire come impostare questo problema:
Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche:
$E_\rho = k \rho/(\rho^2+\z^2)^(3/2)$
$E_\phi = 0$
$E_z= 2h + kz/(\rho^2+z^2)^(3/2) $ per $z > z_0$ e $E_z = −h+kz/(\rho^2+z^2)^(3/2)$ per $z < z_0$,
con $h$ = 1.30 V/m, $k$ = 1.22 V·m e $z_0$ = 1.35 m. Determinare la densità superficiale di carica elettrica,
in nC/$m^2$, presente nel punto di coordinate $\rho$= 1.40 m, $\phi$= 1.75 rad, $z = z_0$.
Ho provato a risolverlo con Gauss, calcolando prima $\int \vec E_\rho * d\vec S$ attraverso la superficie laterale del cilindro di raggio $\rho$= 1.40 m e altezza $z = z_0$ per trovare la carica interna allo stesso, quindi ho calcolato $\int \vec E_\z * d\vec S$ attraverso le due basi del cilindro ad altezza $z=0$ e $z=z_0$ per trovare la carica da sottrarre alla prima che ho calcolato, in modo da trovare la carica superficiale nel punto richiesto, da cui $ \sigma =Q*S$. Visto che il campo elettrico non dipende da $\phi$ non ne ho tenuto conto. Qualcuno sa dirmi dove sbaglio? Grazie ;)
Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche:
$E_\rho = k \rho/(\rho^2+\z^2)^(3/2)$
$E_\phi = 0$
$E_z= 2h + kz/(\rho^2+z^2)^(3/2) $ per $z > z_0$ e $E_z = −h+kz/(\rho^2+z^2)^(3/2)$ per $z < z_0$,
con $h$ = 1.30 V/m, $k$ = 1.22 V·m e $z_0$ = 1.35 m. Determinare la densità superficiale di carica elettrica,
in nC/$m^2$, presente nel punto di coordinate $\rho$= 1.40 m, $\phi$= 1.75 rad, $z = z_0$.
Ho provato a risolverlo con Gauss, calcolando prima $\int \vec E_\rho * d\vec S$ attraverso la superficie laterale del cilindro di raggio $\rho$= 1.40 m e altezza $z = z_0$ per trovare la carica interna allo stesso, quindi ho calcolato $\int \vec E_\z * d\vec S$ attraverso le due basi del cilindro ad altezza $z=0$ e $z=z_0$ per trovare la carica da sottrarre alla prima che ho calcolato, in modo da trovare la carica superficiale nel punto richiesto, da cui $ \sigma =Q*S$. Visto che il campo elettrico non dipende da $\phi$ non ne ho tenuto conto. Qualcuno sa dirmi dove sbaglio? Grazie ;)
Risposte
Direi che devi usare la legge di Gauss
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni ... _equazioni
$\bb nabla \bb \cdot \bb E = \rho / \epsilon_0$.
Nota: qui $\rho$ e' la carica
facendo attenzione per la divergenza in coordinate cilindriche:
https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cy ... oordinates
$$\mathbf \nabla \mathbf \cdot \mathbf{A} = {1 \over \rho}{\partial \left( \rho A_\rho \right) \over \partial \rho}
+ {1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}
+ {\partial A_z \over \partial z}$$
Nota: qui $\rho$ e' il raggio.
Non so perche' parli di "densita' superficiale". Superficie di cosa ?
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni ... _equazioni
$\bb nabla \bb \cdot \bb E = \rho / \epsilon_0$.
Nota: qui $\rho$ e' la carica
facendo attenzione per la divergenza in coordinate cilindriche:
https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cy ... oordinates
$$\mathbf \nabla \mathbf \cdot \mathbf{A} = {1 \over \rho}{\partial \left( \rho A_\rho \right) \over \partial \rho}
+ {1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}
+ {\partial A_z \over \partial z}$$
Nota: qui $\rho$ e' il raggio.
Non so perche' parli di "densita' superficiale". Superficie di cosa ?
Ciao Quinzio, grazie per la risposta. Il quesito riguarda la densità superficiale di carica in un punto, quindi ho pensato di dover trattare la carica come se fosse disposta lungo la superficie del cilindro immaginario di raggio 1,40 m e altezza $z_0$.
La divergenza mi viene sempre nulla... possibile?
La divergenza mi viene sempre nulla... possibile?
La densità superficiale è dovuta alla discontinuità della componente del campo lungo l'asse $z$ per $z=z_0$:
$lim_(z->z_0^+)E_z-lim_(z->z_0^-)E_z=3h$
Ciao Noodles, grazie! Però se uso il teorema della divergenza trovo la densità di volume, come faccio per calcolare quella superficiale?
Esiste una relazione tra la discontinuità del campo e la densità superficiale. Puoi facilmente ricavarla analizzando la formula sottostante:
relativa al campo esterno (quello interno è nullo) generato da un conduttore in equilibrio elettrostatico.
$E=\sigma/\epsilon_0$
relativa al campo esterno (quello interno è nullo) generato da un conduttore in equilibrio elettrostatico.
Come faccio a sapere se posso ipotizzare che nel mio caso si tratti di un conduttore?
Non ho detto questo. Ho detto che, trattandosi di una proprietà generale, analizzando la formula di cui sopra:
puoi ricavare la relazione.
$[E_(e s t)=\sigma/\epsilon_0] rarr [E_(e s t)-E_(i n t)=\sigma/\epsilon_0] rarr [\sigma=\epsilon_0(E_(e s t)-E_(i n t))]$
puoi ricavare la relazione.
Perfetto, ora ho capito, grazie mille.
"Noodles":
La densità superficiale è dovuta alla discontinuità della componente del campo lungo l'asse $z$ per $z=z_0$:
$lim_(z->z_0^+)E_z-lim_(z->z_0^-)E_z=3h$
Si, giustissimo.
Non avevo colto le implicazioni della discontinuita'.
In ogni caso la domanda e': se la divergenza del campo elettrico fosse stata diversa da zero, sarebbe cambiato qualcosa nella risposta ?
Penso di aver sbagliato il calcolo della divergenza perché non avevo considerato la discontinuità del campo. Alla fine penso che non serva usare la legge di Gauss, con la proposta di Noodles si risolve il problema. Però mi chiedevo se la componente radiale del campo abbia qualche implicazione nel calcolo oppure sia ininfluente.
Infine se poteste chiarirmi come funziona il calcolo del campo elettrico in caso di discontinuità (perché si fa la differenza tra limite destro e limite sinistro)... grazie mille
Infine se poteste chiarirmi come funziona il calcolo del campo elettrico in caso di discontinuità (perché si fa la differenza tra limite destro e limite sinistro)... grazie mille
Il campo è la sovrapposizione del campo generato da una carica puntiforme:
situata nell'origine:
e del campo generato da un piano infinito di equazione:
e di densità superficiale:
Ad ogni modo, quando sono presenti distribuzioni di carica singolari, l'applicazione degli operatori differenziali richiede una notevole cautela (teoria delle distribuzioni). Proprio per questo motivo, a mio parere l'esercizio richiedeva, implicitamente, il riconoscimento della sovrapposizione di cui sopra.
$Q=4\pi\epsilon_0k$
situata nell'origine:
$\{(E_\rho=Q/(4\pi\epsilon_0)\rho/(\rho^2+z^2)^(3/2)),(E_\phi=0),(E_z=Q/(4\pi\epsilon_0)z/(\rho^2+z^2)^(3/2)):} rarr \{(E_\rho=k\rho/(\rho^2+z^2)^(3/2)),(E_\phi=0),(E_z=kz/(\rho^2+z^2)^(3/2)):}$
e del campo generato da un piano infinito di equazione:
$z=z_0$
e di densità superficiale:
$\sigma=3h\epsilon_0$
Ad ogni modo, quando sono presenti distribuzioni di carica singolari, l'applicazione degli operatori differenziali richiede una notevole cautela (teoria delle distribuzioni). Proprio per questo motivo, a mio parere l'esercizio richiedeva, implicitamente, il riconoscimento della sovrapposizione di cui sopra.
Grazie mille Noodles, devo quindi sfruttare il principio di sovrapposizione e scomporre il campo nelle sue componenti. Non mi è chiaro però come funziona il procedimento che ti porta a trovare il valore del campo elettrico generato dal piano, ovvero perché si fa la differenza tra il limite destro e il sinistro.
Devi applicare il teorema di Gauss attraverso la superficie chiusa delimitata da un opportuno "cilindretto":
Grazie mille. Mi chiedevo perché $E_1$ e $E_2$ si sottraggono, a differenza di quello che avviene per il classico calcolo del campo elettrico di un piano infinito carico, che genera un campo $E = \sigma/(2epsilon_0)$.
Si tratta comunque della somma dei due flussi elementari attraverso le due basi del "cilindretto" le cui normali sono orientate verso l'esterno:
Il segno del singolo flusso dipende dal segno del coseno. Nel caso del piano infinito, entrambi i flussi elementari sono positivi.
$[vec(E_1)*vec(n_1)+vec(E_2)*vec(n_2)] ^^ [vec(n_1)=-vec(n_2)]^^ [vec(n_2)=vecn] rarr [-vec(E_1)*vecn+vec(E_2)*vecn]$
Il segno del singolo flusso dipende dal segno del coseno. Nel caso del piano infinito, entrambi i flussi elementari sono positivi.
Perfetto grazie. Quindi è solo una questione di scelta dei versori se ho capito bene.
"spina3003":
... se ho capito bene.
Difficile dirlo. Una cosa è certa: il teorema di Gauss richiede, per convenzione, che i versori normali siano diretti verso l'esterno. Insomma, adottata questa convenzione, non si può fissare ad arbitrio il loro verso.
Grazie mille per la disponibilità e le risposte puntuali :))
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo