Problema Elettromagnetismo

[WalterWhite1]

salve ragazzi ho un problema con questo esercizio
Nel vuoto una carica positiva Q non nota è distribuita all'interno di una sfera di raggio R , la densità di carica di volume varia radialmente con legge $ rho = rho_0 / r^2 $ con $ rho_0 $ costante nota.
calcolare : il valore di Q, il campo elettrico generato dalla distribuzione di carica in tutto lo spazio.

io ho pensato che essendo $rho$ densità volumica si ha che $rho = 3Q/(4piR^3)$ e di conseguenza ricavo la mia $Q=4/3 rho pi R^3$ e con il dato fornito dal problema $q=4/3 rho_0/r^2 pi R^3$ tuttavia nella correzione dell'esercizio $ Q=int_(0)^(R) rho d tau =int_(0)^(R) rho_0/r^2 4 pi r^2dr = 4 pi rho_0 R $ non è errato visto che la densità è volumica e non superficiale? inoltre c'è un modo generale per impostare questo integrale?

per quanto riguarda il secondo punto so che si fa con il teorema di gauss ma non so da dove iniziare, se potreste darmi una mano ve ne sarei grato.

[Falco5x]

"WalterWhite":snon è errato visto che la densità è volumica e non superficiale?

Sì, è sbagliato dal punto di vista dimensionale.
Si vede che questo problema è stato inventato da un matematico...

Scherzi a parte io lo imposterei in modo più corretto dimensionalmente in questo modo:

$$\eqalign{
& \rho = {\rho _0}{\left( {\frac{{{r_0}}}
{r}} \right)^2} \cr
& {r_0} = 1m \cr} $$

Calcolo della carica:

$$\eqalign{
& Q = \int_V^{} {\rho \left( V \right)dV} \cr
& dV = 4\pi {r^2}dr \cr
& Q = \int_0^R {\rho \left( r \right)4\pi {r^2}dr} = \int_0^R {{\rho _0}{{\left( {\frac{{{r_0}}}
{r}} \right)}^2}4\pi {r^2}dr} = {\rho _0}{r_0}^24\pi R \cr} $$

Calcolo del campo elettrico col teorema del flusso (o di Gauss):

$$\eqalign{
& r \leqslant R \cr
& E = {\rho _0}{r_0}^2\frac{{4\pi r}}
{{4\pi \varepsilon {r^2}}} = \frac{{{\rho _0}{r_0}^2}}
{{\varepsilon r}} \cr
& r > R \cr
& E = {\rho _0}{r_0}^2\frac{{4\pi R}}
{{4\pi \varepsilon {r^2}}} = \frac{{{\rho _0}R}}
{\varepsilon }{\left( {\frac{{{r_0}}}
{r}} \right)^2} \cr} $$

[WalterWhite1]

scusami, ne approfitto invece di aprire un nuovo topic, dato invece quest'altra configurazione :
Una carica puntiforme$ q1 3 10^5 C$ è posta nel centro di un conduttore sferico cavo, di raggio interno$ R = 10cm$ e raggio esterno$ R = 20cm $.
a) Calcolare il campo e ilpotenziale nelle 3 regioni: rR2
il campo credo che sia:
r>R2 = $q/(4 pi epsilon_0 r^2)$
R1 r> R2 = al caso r>R1

ma per il potenziale come devo fare???

[Falco5x]

Possiamo integrare il campo spezzando lo spazio in 3 zone.
Partiamo dal potenziale all'infinito e calcoliamo il potenziale nella zona più lontana:

$$\eqalign{
& {R_2} < r \cr
& V\left( r \right) = \int_{{R_2}}^\infty {E\left( r \right)dr} + V\left( \infty \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\int_{{R_2}}^\infty {\frac{1}
{{{r^2}}}dr + V\left( \infty \right)} = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\frac{1}
{r} + V\left( \infty \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\frac{1}
{r} \cr} $$

Questo se per convenzione, come si usa fare, poniamo a zero il potenziale all'infinito.

Gli altri integrali partono dal valore trovato al confine della zona precedente, poiché il potenziale è una funzione continua :

$$\eqalign{
& {R_1} < r \leqslant {R_2} \cr
& V\left( r \right) = \int_{{R_1}}^{{R_2}} {0dr} + V\left( {{R_2}} \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\frac{1}
{{{R_2}}} \cr
& r \leqslant {R_1} \cr
& V\left( r \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\int_r^{{R_1}} {\frac{1}
{{{r^2}}}dr} + V\left( {{R_1}} \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\frac{1}
{r} - \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\frac{1}
{{{R_1}}} + \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\frac{1}
{{{R_2}}} \cr} $$

[WalterWhite1]

scusami ma perché quando il campo è 0 il potenziale che naturalmente è costante vale proprio $Q/(4piepsilonR_2)$ ? cioè perché $R_2$ e non $R_1$?
inoltre nel calcolo di $r

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[Falco5x]

"WalterWhite":scusami ma perché quando il campo è 0 il potenziale che naturalmente è costante vale proprio $Q/(4piepsilonR_2)$ ? cioè perché $R_2$ e non $R_1$?

Perché il potenziale calcolato per r = R2 deve risultare sempre lo stesso, sia quando viene calcolato con la formula del tratto più lontano, sia quando viene calcolato con la formula del tratto intermedio. Il potenziale, come dicevo, deve essere una funzione continua di r, dunque una volta fissato il valore 0 a infinito le costanti degli altri tratti non sono più arbitrarie perché ogni tratto si deve raccordare al successivo senza fare gradini. Prova a disegnare un grafico col potenziale in ordinata e la distanza r in ascissa, e te ne renderai conto.

"WalterWhite":inoltre nel calcolo di $r
L'integrale è definito, quindi dà luogo a 2 termini, poi c'è la costante che non è più arbitraria perché per quanto ho detto deve fare in modo che sul confine delle due zone a distanza R1 il potenziale risulti lo stesso, sia che venga calcolato con la formula del tratto intermedio sia con quella del tratto più vicino alla carica.

[WalterWhite1]

scusami ma se l'integrale è definito come fa ad avere anche una costante?
cosa intendi per formula del tratto intermedio o quella del tratto più lontano?
intanto grazie mille per le risposte

[Falco5x]

"WalterWhite":scusami ma se l'integrale è definito come fa ad avere anche una costante? cosa intendi per formula del tratto intermedio o quella del tratto più lontano?
intanto grazie mille per le risposte

Facciamo l'esempio della gravità costante, così è più facile.
Supponiamo il seguente banale problema.
Prendiamo un sistema di riferimento cartesiano con l'asse y orientato verso l'alto e y=0 a livello del mare.
Sapendo che la forza di gravità nel tratto compreso tra y=50 metri e y=100 metri è -Mg, vogliamo calcolare il lavoro fatto da questa forza passando da 100 a 50 metri come differenza di energia potenziale.
Noi sappiamo già il risultato che è 50Mg, e questo risultato lo calcoliamo con un integrale definito:

$$L = \int_{100}^{50} { - Mgdy} = 100Mg - 50Mg = 50Mg$$

Allo stesso risultato giungeremmo avendo definito un potenziale e facendo la differenza tra i valori alle altezze definite:

$$L = U\left( {100} \right) - U\left( {50} \right)$$

dove il potenziale è definito come:

$$U\left( y \right) = Mgy + C$$

Come vedi pur essendo l'integrale definito, e non può essere diversamente poiché i punti di inizio e fine sono ben conosciuti, il potenziale è comunque definibile con una costante arbitraria.
Questo perché se qualcuno ci dicesse che ci è comodo definire zero il potenziale a livello del mare, allora porremmo C=0, ma se per altri usi fosse necessario dire che il potenziale è 0 a 10 metri, allora porremmo C=-10Mg e tutto funzionerebbe comunque.
Infatti il potenziale non è mai un valore assoluto, ma dipende da nostre convenzioni. E' la differenza tra due punti che ha significato fisico, non il valore assoluto.

Tornando al caso elettrico, si è scelto di porre a 0 il potenziale all'infinito.
Dunque la formula del potenziale per una carica puntiforme nello spazio, che rappresenta il lavoro del campo elettrico per portare la carica unitaria all'infinito, è:

$$V\left( r \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\int_r^\infty {\frac{1}
{{{r^2}}}dr} + C = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon r}} + C$$

Ma la condizione al contorno $$V\left( \infty \right) = 0$$ che abbiamo imposto porta a fissare il valore della costate C a zero, dunque:

$$\eqalign{
& C = 0 \cr
& V\left( r \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon r}} \cr} $$

Se adesso noi volessimo calcolare il potenziale in una zona diversa dello spazio, dobbiamo sempre partire dall'infinito ponendo a zero il potenziale, e poi avvicinarci facendo attenzione a porre ogni volta la costante C a un valore tale da rendere continua la funzione Dunque se abbiamo una superficie di separazione tra due regioni nelle quali il campo è diverso, la continuità del potenziale impone che sulla superficie di separazione il valore del potenziale sia il medesimo sia che lo si calcoli con la formula della zona 1 che con quella della zona 2.

Nel caso in esame, la formula del tratto lontano è

$$V\left( r \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon r}}$$

Alla distanza R2 il potenziale, dunque vale

$$V\left( {{R_2}} \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon {R_2}}}$$

Nel tratto compreso tra R1 e R2 (che ho chiamato tratto intermedio) si deve usare la formula:

$$V\left( r \right) = \int_r^\infty {0dr} + C$$

perché il campo elettrico è nullo. Però siccome deve comunque risultare., per la continuità,

$$V\left( {{R_2}} \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon {R_2}}}$$

allora occorre porre la costate C in questo modo:

$$C = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon {R_2}}}$$

In questo modo la formula del tratto intermedio diventa:

$$V\left( r \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon {R_2}}}$$

Poi a distanza R1 si riprende a usare la prima formula:

$$V\left( r \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\int_r^{{R_1}} {\frac{1}
{{{r^2}}}dr} + C = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\left( {\frac{1}
{r} - \frac{1}
{{{R_1}}}} \right) + C$$

Adesso però dobbiamo porre la continuità sulla superficie a distanza R1, dove già sappiamo per la formula precedente che il potenziale deve essere

$$V\left( {{R_1}} \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon {R_2}}}$$

Dunque poniamo questa condizione:

$$V\left( {{R_1}} \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\left( {\frac{1}
{{{R_1}}} - \frac{1}
{{{R_1}}}} \right) + C = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon {R_2}}}$$

da cui viene fuori il valore che deve avere la costante C:

$$C = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon {R_2}}}$$

quindi la formula del tratto più vicino alla carica diventa:

$$V\left( r \right) = \frac{q}
{{4\pi \varepsilon }}\left( {\frac{1}
{r} - \frac{1}
{{{R_1}}} + \frac{1}
{{{R_2}}}} \right)$$

[WalterWhite1]

grazie mille ora ho capito!!!