Problema doppia molla
Entrambe le molle hanno lunghezza a riposo di 0.3m.
La molla 1 ha costante elastica k1=0.003N/m.
La molla 2 ha costante elastica k2=0.006N/m.
La distanza tra gli estremi fissi delle due molle (ovvero la distanza AB) misura 1.2m.
Determinare la posizione di equilibrio del corpo.
Ho pensato che ciascuna molla a riposo misura 0.3m quindi quando il corpo si trova in equilibrio la molla 1 misura 0.3+k1/(k1+k2)*0.6=0.5m.
e' corretto?
Risposte
"thedarkhero":
Entrambe le molle hanno lunghezza a riposo di 0.3m.
La molla 1 ha costante elastica k1=0.003N/m.
La molla 2 ha costante elastica k2=0.006N/m.
La distanza tra gli estremi fissi delle due molle (ovvero la distanza AB) misura 1.2m.
Determinare la posizione di equilibrio del corpo.
Ho pensato che ciascuna molla a riposo misura 0.3m quindi quando il corpo si trova in equilibrio la molla 1 misura 0.3+k1/(k1+k2)*0.6=0.5m.
e' corretto?
Non ho ben capito che ragionamento hai fatto.
Si può proseguire in almeno 2 modi; il modo più immediato è imporre l'equilibrio del nodo, ovvero
$k_1\epsilon_1=k_1\epsilon_1$
da cui si trova la posizione $x$ del nodo rispetto ad un'origine fissata a partire dalla prima molla:
$\frac{k_1l_0+k_2(1,2-l_0)}{k_1+k_2}=0,7m$
Pertanto la molla di rigidezza $k_1$ si deforma di 0,4m.
In alternativa puoi esplicitarti l'energia elastica del sistema ed imponendo la stazionarietà (in quanto sistema conservativo) si ottiene la stessa identica relazione.
Grazie. Avevo fatto il primo dei due ragionamenti (per errore invertendo x1 con x2 al numeratore).
Altra cosa: supponiamo di portare il corpo a x=0.6m e quindi di lasciarlo andare con velocità iniziale nulla.
Vorrei trovare $\omega$ ovvero la frequenza angolare.
Se avessi una sola molla sarebbe $\omega=sqrt(k/m)$ ma visto che ho due molle e' $\omega=sqrt((k1+k2)/m)$?
Altra cosa: supponiamo di portare il corpo a x=0.6m e quindi di lasciarlo andare con velocità iniziale nulla.
Vorrei trovare $\omega$ ovvero la frequenza angolare.
Se avessi una sola molla sarebbe $\omega=sqrt(k/m)$ ma visto che ho due molle e' $\omega=sqrt((k1+k2)/m)$?
Direi di si, per vederlo puoi imporre il principio della conservazione della quantità di moto e determinare così l'equazione differenziale che governa il moto. Io ho considerato la generica configurazione scostata di x da quella di riposo precedentemente determinata; risolvendo si ottiene:
$e^{\alphat}(malpha^2+k_1+k_2)+k_1(l_0+\epsilon_{1,0})-k_2(l_0+\epsilon_{2,0})=0$
dove il termine noto è nullo in quanto rappresenta un sistema di forze a risultante nullo. Svolgendo l'equazione di 2°grado in $\alpha$ è naturale definire la pulsazione propria del sistema come hai scritto te.
$e^{\alphat}(malpha^2+k_1+k_2)+k_1(l_0+\epsilon_{1,0})-k_2(l_0+\epsilon_{2,0})=0$
dove il termine noto è nullo in quanto rappresenta un sistema di forze a risultante nullo. Svolgendo l'equazione di 2°grado in $\alpha$ è naturale definire la pulsazione propria del sistema come hai scritto te.
Ultima considerazione:
per trovare la velocità del corpo quando transita sul punto di equilibrio (sempre dopo essere stato mollato 10cm più vicino all'odigine) ho posto:
$m*a=-k1(0.7-x)+k2(x-0.7)$
esplicitando a:
$a=(0.009x-0.0063)/m$ ma sapendo che la massa è 0.1Kg $a=(0.009x-0.0063)/0.1$
Integrando:
$v(t)=1/m*(0.009x^2/2+0.0063x)=0.02205m/s.
Corretto?
per trovare la velocità del corpo quando transita sul punto di equilibrio (sempre dopo essere stato mollato 10cm più vicino all'odigine) ho posto:
$m*a=-k1(0.7-x)+k2(x-0.7)$
esplicitando a:
$a=(0.009x-0.0063)/m$ ma sapendo che la massa è 0.1Kg $a=(0.009x-0.0063)/0.1$
Integrando:
$v(t)=1/m*(0.009x^2/2+0.0063x)=0.02205m/s.
Corretto?
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