Problema distribuzioni di carica su lastre conduttrici
Salve a tutti. Ho riscontrato delle difficoltà col seguente problema:
Ho un sistema come mostrato in figura. Devo calcolare le distribuzioni $sigma_1$ 2 3 e 4 dato il valore di $sigma$.
Dato che ho 4 incognite ho provato a trovare 4 equazioni:
Per prima cosa so che il campo all'interno dei conduttori è uguale a 0 e conosco il valore del potenziale (che calcolo facendo l'integrale del campo $E_(3)$ e del campo $E_(4)$ in ds. Trovo quindi 3 equazioni. Per l'ultima equazione pensavo di utilizzare gauss, considerando una superficie cilindrica con le aree di base all'interno dei conduttori, in modo che io flusso totale sia nullo.
Così facendo trovo il seguente sistema di equazioni:
$ { ( sigma_1 -sigma_2 -sigma-sigma_3-sigma_4=0 ),( sigma_1+sigma_2+sigma+sigma_3-sigma_4=0 ),( (2V_0 epsilon_0)/d=sigma_1 +sigma_2 +sigma/2-sigma_3-sigma_4),( sigma+sigma_2+sigma_3=0 ):} $
Il problema è che non mi sembrano linearmente indipendenti quindi in teoria non può essere risolto. Non riesco a capire quale altra equazione potrei utilizzare. Grazie in anticipo per eventuali aiuti.
Ho un sistema come mostrato in figura. Devo calcolare le distribuzioni $sigma_1$ 2 3 e 4 dato il valore di $sigma$.
Dato che ho 4 incognite ho provato a trovare 4 equazioni:
Per prima cosa so che il campo all'interno dei conduttori è uguale a 0 e conosco il valore del potenziale (che calcolo facendo l'integrale del campo $E_(3)$ e del campo $E_(4)$ in ds. Trovo quindi 3 equazioni. Per l'ultima equazione pensavo di utilizzare gauss, considerando una superficie cilindrica con le aree di base all'interno dei conduttori, in modo che io flusso totale sia nullo.
Così facendo trovo il seguente sistema di equazioni:
$ { ( sigma_1 -sigma_2 -sigma-sigma_3-sigma_4=0 ),( sigma_1+sigma_2+sigma+sigma_3-sigma_4=0 ),( (2V_0 epsilon_0)/d=sigma_1 +sigma_2 +sigma/2-sigma_3-sigma_4),( sigma+sigma_2+sigma_3=0 ):} $
Il problema è che non mi sembrano linearmente indipendenti quindi in teoria non può essere risolto. Non riesco a capire quale altra equazione potrei utilizzare. Grazie in anticipo per eventuali aiuti.
Risposte
"giuseppe.b_02":
... Il problema è che non mi sembrano linearmente indipendenti ...
Certo, non puoi usare l'ultima relazione in quanto già inclusa nelle prime due; devi trovarne un'altra, del resto molto semplice, visto il ... "collegamento".
Grazie per la risposta. Per collegamento intendi che vi è una differenza di potenziale costante tra le lastre? Questo l'ho gia considerato nella terza equazione e l'espressione trovata è quella che ho scritto nel sistema, dovrebbe essere corretta. Se non intendi questo non so cosa altro potrebbe essere, sicuramente mi sfugge qualcosa.
Ti rispondo con una domanda: da dove arrivano le cariche presenti sui due conduttori?
Devo porre la somma di tutte le distribuzioni di carica sulle lastre uguale a sigma?
Io ti ho fatto una domanda. 
Non vale rispondere con un'altra domanda.
... su un condensatore, esiste una relazione fra le cariche presenti sulle due armature?
... non sono forse uguali ma di segno opposto?
Non vale rispondere con un'altra domanda.
... su un condensatore, esiste una relazione fra le cariche presenti sulle due armature?
... non sono forse uguali ma di segno opposto?
In teoria le cariche sulle due lastre sono uguali in modulo. Oppure il campo elettrico all'esterno è nullo
xxx
"giuseppe.b_02":
In teoria le cariche sulle due lastre sono uguali in modulo.
Le cariche sono uguali in modulo, ma opposte in segno, per il semplice fatto che ci può essere solo stato un "travaso" da un conduttore all'altro attraverso il generatore, di conseguenza la somma delle loro cariche sarà nulla e questo ti permetterà di scrivere la quarta relazione fra le quattro densità $\sigma_i$.
Quindi nonostante sia presente una carica interna alla lastre del condensatore Q1 rimane uguale a Q2 in modulo?
In sostanza sigma 1 +sigma2 =sigma3+ sigma4 ?
In sostanza sigma 1 +sigma2 =sigma3+ sigma4 ?
"giuseppe.b_02":
... sigma 1 +sigma2 =sigma3+ sigma4 ?
Visto che le cariche complessive sui conduttori devono essere di segno opposto e quindi dare somma nulla
$\sigma_1 +\sigma_2 =-(\sigma_3+ \sigma_4)$
la lastra, per quanto detto sul "trasferimento" di carica, non può cambiare questa relazione, potrà solo cambiare il valore delle singole densità; se infatti immagini di toglierla cosa avrai per quelle quattro densità?
Come cambieranno?
Alla fine ho impostato il sistema seguendo il tuo consiglio:
$ { ( sigma_1-sigma_2-sigma-sigma_3-sigma_4=0 ),(sigma_1+sigma_2+sigma+sigma_3-sigma_4=0 ),( 2V_0 epsilon_0/d =sigma_1+sigma_2+sigma/2-sigma_3-sigma_4=0 ),(sigma_1+sigma_2+sigma_3+sigma_4=0 ):} $
Da cui trovo:
$ { ( sigma_1=sigma_4=sigma/2),( sigma_3=-(V_0epsilon_0/d+sigma/4) ),(V_0epsilon_0/d-3sigma/4 ):} $
Inoltre se ho capito bene, se il generatore non fosse presente (quindi un unico conduttore con sempre sigma tra le lastre) dovrei sostituire due delle 4 equazioni . In particolare quella del potenziale, ponendo quelli delle lastre uguali, e l'ultima, imponendo che la somma delle distribuzioni sulle lastre debba essere uguale a sigma. È corretto questo ragionamento?
$ { ( sigma_1-sigma_2-sigma-sigma_3-sigma_4=0 ),(sigma_1+sigma_2+sigma+sigma_3-sigma_4=0 ),( 2V_0 epsilon_0/d =sigma_1+sigma_2+sigma/2-sigma_3-sigma_4=0 ),(sigma_1+sigma_2+sigma_3+sigma_4=0 ):} $
Da cui trovo:
$ { ( sigma_1=sigma_4=sigma/2),( sigma_3=-(V_0epsilon_0/d+sigma/4) ),(V_0epsilon_0/d-3sigma/4 ):} $
Inoltre se ho capito bene, se il generatore non fosse presente (quindi un unico conduttore con sempre sigma tra le lastre) dovrei sostituire due delle 4 equazioni . In particolare quella del potenziale, ponendo quelli delle lastre uguali, e l'ultima, imponendo che la somma delle distribuzioni sulle lastre debba essere uguale a sigma. È corretto questo ragionamento?
Se il generatore non fosse presente, dobbiamo distinguere fra la condizione di collegamento fra i due conduttori (via conduttore filiforme) e quella di isolamento degli stessi.
Nel primo caso le quattro equazioni da te scritte, così come le soluzioni ottenute, vanno ancora bene, con l'unica particolarizzarizzazione $V_0=0$.
Nel secondo caso, non potrai più scrivere la terza e la quarta, essendo i conduttori galvanicamente disgiunti ma, grazie a ciò, potresti scrivere che $\sigma_1+\sigma_2=0$ come anche $\sigma_3+\sigma_4=0$, ma in questo caso, non serve nessun sistema per ottenere le quattro densità di carica; lascio a te spiegare perché.
NB Non è corretto parlare di potenziale se prima non viene (arbitrariamente) scelto un punto (o conduttore) da considerare ad un particolare (arbitrario) potenziale di riferimento (in generale nullo), in questo caso quindi $V_0$ sta ad indicare non un potenziale ma una differenza di potenziale fra i due conduttori, dovuta alla fem del generatore che li collega.
Nel primo caso le quattro equazioni da te scritte, così come le soluzioni ottenute, vanno ancora bene, con l'unica particolarizzarizzazione $V_0=0$.
Nel secondo caso, non potrai più scrivere la terza e la quarta, essendo i conduttori galvanicamente disgiunti ma, grazie a ciò, potresti scrivere che $\sigma_1+\sigma_2=0$ come anche $\sigma_3+\sigma_4=0$, ma in questo caso, non serve nessun sistema per ottenere le quattro densità di carica; lascio a te spiegare perché.
NB Non è corretto parlare di potenziale se prima non viene (arbitrariamente) scelto un punto (o conduttore) da considerare ad un particolare (arbitrario) potenziale di riferimento (in generale nullo), in questo caso quindi $V_0$ sta ad indicare non un potenziale ma una differenza di potenziale fra i due conduttori, dovuta alla fem del generatore che li collega.
Posto anche una soluzione basata su SE e approccio circuitale che può essere di interesse in altri casi simili.
Intanto ti ringrazio per l'immensa disponibilità. Ti chiedo un'altra precisazione e spero di non disturbarti più. Se le lastre sono collegate tra di loro e non vi è il generatore (primo caso quindi), perchè la somma delle distribuzioni sulle lastre deve essere uguale a 0 e non a sigma, che in teoria è la distribuzione che le genera per induzione?
I ringraziamenti sono per Renzo che saluto 
.
Invece per quanto riguarda la tua domanda la risposta è che non puoi creare della carica.
L'induzione la separa in zone diverse di un conduttore ma alla fine il totale se era nullo rimane nullo.
.Invece per quanto riguarda la tua domanda la risposta è che non puoi creare della carica.
L'induzione la separa in zone diverse di un conduttore ma alla fine il totale se era nullo rimane nullo.
Grazie anche a te ingres per la risposta. Per quanto riguarda la risoluzione che hai proposto tu, nel primo caso non hai considerato la presenza di sigma giusto?
Si, il problema è stato analizzato per sovrapposizione degli effetti ovvero prima col solo generatore senza sigma e poi con solo il sigma e senza generatore.
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