Problema Disco di Barlow

[carmecut99]

Ho risolto quest'esercizio di elettrostatica ma non avendo i risultati chiedo un vostro riscontro.

Ho una sbarra rigida condutttrice di lunghezza l=10 cm. E' saldata nel punto O, a un asse rigido, conduttore e ortogonale alla sbarra stessa. L’asse è mantenuto in rotazione da una coppia di forze di momento M in modo che la velocità angolare sia costante e valga $ omega $ =30 rad/s.

L’estremo libero C della sbarretta garantisce un contatto elettrico strisciante con un nastro conduttore circolare di raggio l. Tra il nastro e l’asse di rotazione è disposta una resistenza R=100 ohm. Il sistema è immerso in un campo di induzione magnetica B=0.2 T diretto lungo l’asse z, uniforme e costante nel tempo.

a) la corrente che passa nella resistenza R (modulo e verso);
b) il momento che deve essere applicato sulla sbarretta per farla muovere di moto rotatorio uniforme e la potenza meccanica erogata;
c) la potenza dissipata per effetto Joule.
Se ad un certo istante, la sbarretta non è più soggetta ad un momento meccanico esterno,
d) determinare l’andamento temporale della corrente che scorrerà nel circuito.



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a) utilizzando la legge di Faraday

$ fem = -d/(dt)phi (B)=(Bomegal^2)/2 $

$ i= (Bomegal^2)/(2R)=3*10^-4A $

b) Momento

se scorre una corrente , viene esercitata una forza a causa della legge di Lorentz

$ dF=i drxx B=(B^2omegal^2r)/(2R)dr $

$ dM= rxx dF=(B^2omegal^2)/(2R)rdr $

$ M=int_(0)^(l) (B^2omegal^2)/(2R)r dr=(omegaB^2l^4)/(4R)=3*10^-7N/m $

$ P=Momega=9*10^-6W $

c) Potenza dissipata

$ Pj=i^2R=0.03J $

d) Per l'andamento temporale non riesco a venirne a capo

Penso di dover applicare la legge: $ M=Ialpha=I(domega)/(dt) $

[Quinzio]

"Carmelo99":
d) Per l'andamento temporale non riesco a venirne a capo

Penso di dover applicare la legge: $ M=Ialpha=I(domega)/(dt) $

Si... e' un po' complesso e rognoso trovare la soluzione.
Se hai familiarita' con i circuiti RC di elettrotecnica, la situazione e' simile a un condensatore carico di energia $1/2 CV^2$ con attaccata una resistenza che dissipa $V^2/R$. Da li e' facile usare le formule note e stra-note per la scarica di un RC.
Si trova una formula del tipo $i(t) = i_0 e^{-t/\tau}$.
Se non conosci i circuiti RC o comunque vuoi vedere una soluzione completa, qui sotto c'e' tutto lo spiegone, passaggio per passaggio.

L'energia cinetica della sbarretta e' $$E = \frac{1}{2} I \omega^2$$ e la potenza dissipata e' $$P = -M\omega = -k \omega^2$$ dove \(k\) e' una costante che hai gia' determinato. Il segno meno indica una potenza dissipata.
Quindi possiamo scrivere $$E = -\frac{I}{2k} P $$o piu' semplicemente $$E = -\frac{1}{k_1} P$$ usando un'altra costante \(k_1\).
Come saprai, \(P(t) = \frac{dE}{dt} = E'(t) \).
Abbiamo quindi un'eq. differenziale $$E(t) =-\frac{1}{k_1} E'(t)$$ che risolviamo con la separazione delle variabili.
$$-k_1 =\frac{ E'(t)}{E(t)} $$.
Integriamo da ambo il lati $$\int_0^t \frac{ E'(t)}{E(t)} d\tau = -\int_0^{t}k_1 d\tau $$.
$$\ln E(\tau) \Big\rvert_0^t = -k_1 \tau \Big\rvert_0^t$$
$$\ln E(t) - \ln E(0) = -k_1 t$$
$$E(t) = E(0) e^{ -k_1 t}$$
E fin qui abbiamo risolto l'eq differenziale.
Poi passiamo alla velocita' e alla corrente.
$$\frac{1}{2} I \omega(t)^2 = \frac{1}{2} I \omega(0)^2 e^{ -k_1 t}$$
$$ \omega(t)^2 = \omega(0)^2 e^{ -k_1 t}$$
$$ \omega(t) = \omega(0) e^{\frac{ -k_1 t}{2}}$$
$$ i(t) = \frac{B\ l^2}{4 \ R} \omega(t) = \frac{B\ l^2}{4 \ R} \omega(0) e^{\frac{ -k_1 t}{2}}$$

\(\omega(0) = 30 \frac{\text{rad}}{\text{s}}\) e' la velocita' iniziale e \(k_1 = \frac{B\ l^2}{2 \ R\ I}\).

[carmecut99]

Perfetto, grazie, tutto chiaro! Ho risposto correttamente invece agli altri punti, giusto?

[Quinzio]

Si gli altri punti sono ok.

[carmecut99]

Va bene, grazie

[Noodles1]

"Carmelo99":
b) Momento

$P=Momega=9*10^-6W$

c) Potenza dissipata

$Pj=i^2R=0.03J$

Al netto delle unità di misura, poichè le due potenze devono essere uguali, probabilmente hai commesso una svista.

[RenzoDF]

Ovviamente un semplice errore di scrittura in quanto

$P_j=Ri^2=100*(3 \cdot 10^-4)^2=9\cdot 10^-6 \ \text{W}$