Problema dinamica dei sistemi
Salve,
avrei un dubbio circa un esercizio di dinamica dei sistemi nel quale si dice che un veicolo inizialmente fermo e di massa M presenta "sul retro" una piattaforma inclinabile e scabra (noti entrambi i coefficienti)sulla quale è posto un blocco di massa m.
Si chiede di determinare il valore minimo dell'angolo affinchè il blocco scivoli e di valutare (ponendosi nella condizione nella quale l'angolo è proprio quello cercato al punto 1) il coefficiente di attrito statico tra asfalto e ruote del veicolo affinchè esso rimanga in quiete.
Chiamando $\theta$ l'angolo richiesto, per il primo punto basta imporre che la forza di attrito statico sia minore od uguale alla componente parallela della forza peso:
$\F_(as) <=mgsin(theta)$ da cui $\mumgcos(theta) <=mgsin (theta)$ e cioè $\tan (theta) >= mu_s$
occorre cioè $\theta>= arctan(mu_s)$
e fin qui tutto normale.
Per il secondo punto avevo idea di usare la prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi
$\R_(ext)$ = $\M_T$ $a_(CM)$
dove i termini a destra dell'uguale sono rispettivamente la massa totale e l'accelerazione del centro di massa.
E dato che $\R_(ext)= N + P + F_(as1) $ (relazione vettoriale, non tiene ancora conto dei segni)
dove si è indicato con $\ F_(as1)$ la forza di attrito statico ruote-asfalto (per distinguerla da quella piano-blocco calcolata al punto 1),
scomponendo lungo gli assi :
$\R_(ext,x)= F_(as1) $ (1)
$\R_(ext,y)= N + P $ (2)
prendendo in esame la (1), abbiamo che
$\M_T * a_(CM,x)= F_(as1) $
e poichè il sistema non ha accelerazione lungo y (non si solleva da terra) :
$\N+P=0 <=> N=-P <=> N=(m+M)*g $
sostituendo nella (1),
$\M_T * a_(CM,x)= mu*(m+M)*g <=> a_(b,x)*m + a_(c,x)*M=mu*(m+M)*g $
dove $\ a_(b,x)$ e $\a_(c,x)$ sono rispettivamente le accelerazioni del blocco e del veicolo lungo x.
Poichè voglio che il veicolo resti in quiete, il termine $\a_c*M=0$
da cui
$\ a_(b,x)*m/((m+M)*g)=mu$
e ricavo $\a_(b,x)$ scrivendo le forze agenti sul blocchetto e cercando la componente lungo l'asse x (parallelo alla superficie del suolo) come $\m*a_(b,x)=(m*g*sin(theta)-mu_d*m*g*cos(theta))*cos(theta)$
dove $\mu_d$ è il coeff di attrito radente del piano inclinato.
mettendo insieme le cose:
$m*(sintheta-mu_d*costheta)*costheta/(m+M)=mu$
il problema è che il risultato così ottenuto sostituendo i dati è circa 1/4 più piccolo di quanto dovrebbe, dunque in giro deve esserci qualche(o parecchi) errori. Qualcuno sa cosa non va?
Grazie in anticipo
avrei un dubbio circa un esercizio di dinamica dei sistemi nel quale si dice che un veicolo inizialmente fermo e di massa M presenta "sul retro" una piattaforma inclinabile e scabra (noti entrambi i coefficienti)sulla quale è posto un blocco di massa m.
Si chiede di determinare il valore minimo dell'angolo affinchè il blocco scivoli e di valutare (ponendosi nella condizione nella quale l'angolo è proprio quello cercato al punto 1) il coefficiente di attrito statico tra asfalto e ruote del veicolo affinchè esso rimanga in quiete.
Chiamando $\theta$ l'angolo richiesto, per il primo punto basta imporre che la forza di attrito statico sia minore od uguale alla componente parallela della forza peso:
$\F_(as) <=mgsin(theta)$ da cui $\mumgcos(theta) <=mgsin (theta)$ e cioè $\tan (theta) >= mu_s$
occorre cioè $\theta>= arctan(mu_s)$
e fin qui tutto normale.
Per il secondo punto avevo idea di usare la prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi
$\R_(ext)$ = $\M_T$ $a_(CM)$
dove i termini a destra dell'uguale sono rispettivamente la massa totale e l'accelerazione del centro di massa.
E dato che $\R_(ext)= N + P + F_(as1) $ (relazione vettoriale, non tiene ancora conto dei segni)
dove si è indicato con $\ F_(as1)$ la forza di attrito statico ruote-asfalto (per distinguerla da quella piano-blocco calcolata al punto 1),
scomponendo lungo gli assi :
$\R_(ext,x)= F_(as1) $ (1)
$\R_(ext,y)= N + P $ (2)
prendendo in esame la (1), abbiamo che
$\M_T * a_(CM,x)= F_(as1) $
e poichè il sistema non ha accelerazione lungo y (non si solleva da terra) :
$\N+P=0 <=> N=-P <=> N=(m+M)*g $
sostituendo nella (1),
$\M_T * a_(CM,x)= mu*(m+M)*g <=> a_(b,x)*m + a_(c,x)*M=mu*(m+M)*g $
dove $\ a_(b,x)$ e $\a_(c,x)$ sono rispettivamente le accelerazioni del blocco e del veicolo lungo x.
Poichè voglio che il veicolo resti in quiete, il termine $\a_c*M=0$
da cui
$\ a_(b,x)*m/((m+M)*g)=mu$
e ricavo $\a_(b,x)$ scrivendo le forze agenti sul blocchetto e cercando la componente lungo l'asse x (parallelo alla superficie del suolo) come $\m*a_(b,x)=(m*g*sin(theta)-mu_d*m*g*cos(theta))*cos(theta)$
dove $\mu_d$ è il coeff di attrito radente del piano inclinato.
mettendo insieme le cose:
$m*(sintheta-mu_d*costheta)*costheta/(m+M)=mu$
il problema è che il risultato così ottenuto sostituendo i dati è circa 1/4 più piccolo di quanto dovrebbe, dunque in giro deve esserci qualche(o parecchi) errori. Qualcuno sa cosa non va?
Grazie in anticipo
Risposte
FAccio fatica a seguire il tuo ragionamento anche perche non vedo una figura.
Se $mu_d$ e' il coefficiente di attrito dinamico fra blocco e pianale e $mu_s$ il coeff. di attr. statico tra macchina e asfalto, a me risulta che deve essere
$mu_s>[mcosthetasintheta-mu_dmcos^2theta]/[mu_dmsinthetacostheta+mcos^2theta+M]=[mcostheta(sintheta-mu_dcostheta)]/[mcostheta(mu_dsintheta+costheta)+M]$
Prova un po'
Se $mu_d$ e' il coefficiente di attrito dinamico fra blocco e pianale e $mu_s$ il coeff. di attr. statico tra macchina e asfalto, a me risulta che deve essere
$mu_s>[mcosthetasintheta-mu_dmcos^2theta]/[mu_dmsinthetacostheta+mcos^2theta+M]=[mcostheta(sintheta-mu_dcostheta)]/[mcostheta(mu_dsintheta+costheta)+M]$
Prova un po'
Sì, mi torna. A quella tarda ora avevo dimenticato di riferire il calcolo della normale al sistema di riferimento che avevo scelto e quindi mi mancavano 2 termini molitplicativi 
Tuttavia, il docente ha postato la sua soluzione(seguendo una via diversa dalla mia) nella quale non compaiono i termini legati all'attrito dinamico del piano su cui il blocco scivola e non ne capisco il motivo.
Se all'istante iniziale il veicolo è fermo ed il blocco inizia scivolare lungo il piano scabro, il primo (supponendo per un attimo non vi sia attrito statico gomme-asfalto) inizia a muoversi con un accelerazione che dipende da quella del blocchetto. Vale a dire che se l'attrito dinamico svolgesse un lavoro resistente maggiore, il blocco sarebbe animato da una accelerazione minore e quindi anche la forza che mette in moto il veicolo sarebbe minore, ragion per cui occorrerebbe un coefficiente di attrito statico gomme-asfalto (minimo) minore per tenerlo in quiete.
Per me ha, quindi, senso che l'espressione di $\mu_(s)$ sia legata a quella di $mu_d$.
Commetto qualche errore in queste considerazioni?
Tuttavia, il docente ha postato la sua soluzione(seguendo una via diversa dalla mia) nella quale non compaiono i termini legati all'attrito dinamico del piano su cui il blocco scivola e non ne capisco il motivo.
Se all'istante iniziale il veicolo è fermo ed il blocco inizia scivolare lungo il piano scabro, il primo (supponendo per un attimo non vi sia attrito statico gomme-asfalto) inizia a muoversi con un accelerazione che dipende da quella del blocchetto. Vale a dire che se l'attrito dinamico svolgesse un lavoro resistente maggiore, il blocco sarebbe animato da una accelerazione minore e quindi anche la forza che mette in moto il veicolo sarebbe minore, ragion per cui occorrerebbe un coefficiente di attrito statico gomme-asfalto (minimo) minore per tenerlo in quiete.
Per me ha, quindi, senso che l'espressione di $\mu_(s)$ sia legata a quella di $mu_d$.
Commetto qualche errore in queste considerazioni?
Direi di no, mi sembrano considerazioni corrette.
Io la vedo in un altro modo: la forza che la macchina riceve per via dell'attrito dinamico tra pianale e blocco e' sempre $mu_dN$, quindi l'equazione di equilibrio non puo' prescindere dal coefficiente $mu_d$.
Non so come faccia il docente a far sparire questo contributo.
Io la vedo in un altro modo: la forza che la macchina riceve per via dell'attrito dinamico tra pianale e blocco e' sempre $mu_dN$, quindi l'equazione di equilibrio non puo' prescindere dal coefficiente $mu_d$.
Non so come faccia il docente a far sparire questo contributo.
grazie mille della disponibilità, alla prossima:)
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