PROBLEMA DINAMICA CORPO RIGIDO

[nikko801]

Ho dei dubbi in questo problema:

Un asta omogenea di lunghezza $l$ e massa $m$ può ruotare senza attrito intorno ad un suo estremo in un piano verticale. L'asta è disposta orizzontalmente. Si lascia l'asta libera di ruotare sotto l'azione del peso. Quale è la velocità angolare dell'asta nel passaggio dalla posizione verticale quano vale la reazione del vincolo?

[cavallipurosangue]

Beh, per fare questo, basta usare la conservazione dell'energia meccanica. e poi la prima cardinale.

[nikko801]

si è quello che avevo pensato ma quando faccio la consrvazione dell'energia meccanica la massa la devo considerare distribuita? e per calcolare la forza centrifuga lo stesso?

[cavallipurosangue]

Eh si devi considerarla distribuita. Non è strettamente necessario invece per il secondo punto...

[nikko801]

Io avrei fatto:

$m*g*l=1/2*m*v^2+1/2*I*omega^2$
$v=omega*r$

$m*g+m*omega^2-R=0$

ma non torna. Come faccio in pratica a considerare la massa distribuita?

[cavallipurosangue]

La prima equazione non è corretta, in questo caso infatti non si ha un rotolamento, ma solo una rotazione. L'energia cinetica quindi è solo quella dovuta alla rotazione attorno all'asse. (ricorda di usare Steiner)...

[Sk_Anonymous]

é corretto calcolarla anche in quel modo l'energia cinetica , purchè il momento di inerzia dell'asta sia calcolato rispetto al centro di massa .
Sostituendo l'espressione della velocità del centro di massa si vede che i due modi di esprimere l'energia cinetica sono equivalenti.

I'= I + m r^2

Dove I è il momento di inerzia che compare nella tua seconda equazione, ovvero calcolato rispetto all'asse passante per il centro di massa, mentre I' è quello calcolato rispetto all'estremo.

[nikko801]

Dunque

$m*g*l=1/2*I*omega^2

$I=1/3m*l^2$

$omega=sqrt (6*g/l)$

Dovrebbe essere così no?!però non torna il risultato. dovrebbe essere $sqrt(3*g/l)$

[nikko801]

In pratica ragionandoci su mi viene che l'energia potenziale iniziale è uguale a $m*g*h/2$ se considero la forza peso applicata al centro di massa dell'asta e quindi tornerebbe. Ma qualcuno sa mica farmi vedere come possiamo arrivare a calcolare questa energia potenziale partendo dal considerare la massa infinitesima $dm=rho*dl$ ?

[cavallipurosangue]

Il fatto non è che l'energia potenziale iniziale è $mgh/2$, ma che la differenza di energia potenziale è quella. Dipende tutto da quale punto segli come zero. Se prendi il perno, allora avrai tutte energie negative o nulle: $U_i=0$, mentre $U_f=-mg h/2$

Applicando la legge di conservazione:

$0=-mgh/2+1/2I\omega^2=>mgh=I\omega^2=>\omega^2=m/Igh$

Da qui puoi poi andare avanti...

L'energia potenziale gravitazionale è sempre riferita al cdm, ricordatelo.

[Sk_Anonymous]

Ma qualcuno sa mica farmi vedere come possiamo arrivare a calcolare questa energia potenziale partendo dal considerare la massa infinitesima dm=ρ⋅dl ?

Prova a partire dalla formula fondamentale dei moti rigidi ... moltiplicando scalarmente la forza peso infinitesima che agisce in un punto del corpo e la sua velocità ottieni la potenza infinitesima prodotta... integrando su tutto il corpo e ricordandoti la definizione di centro di massa dovresti ottenere che è uguale al prodotto scalare tra velocità del centro di massa e forza peso totale agente sul corpo.
Non mi sono mai posto una domanda del genere comq va bene