Problema dinamica con energia

[oleg.fresi]

Ho questo problema trato dal Mencuccini Fisica 1: un piano liscio, inclinato di $alpha=30°$ rispetto all'orizzontale, termina verso l'alto con un piolo liscio, su cui può scorrere senza attrito un filo inestensibile e di massa trascurabile, che collega la massa $m_1= 2Kg$ con la massa $m_2 = 4Kg$. Inizialmente il sistema è in quiete e da questa situazione inizia a muoversi sotto l'azione della gravità. Ad un certo istante la massa $m_2$ urta il suolo, dopo essere scesa di un tratto verticale $h= 2m$. Calcolare lo spostamento totale della massa $m_1$ lungo il piano inclinato, dal momento in cui inizia a muoversi al momento a cui arriva alla massima quota.
Io ho risolto il problema trovando come risultato $h=4m$ mentre il risultato del libro è $h=2m$. Io ho risolto il problema usando la dinamica e cinematica, mentre il libro utilizza i teoremi su lavoro ed energia. Essendoci la soluzione nel libro, vi riporto i passaggi che non ho compreso. Il lavoro totale è la variazione di energia cinetica:
$L_(TOT)=m_2gh-m_1ghsin(alpha)=K_(FIN)-K_(IN)=1/2m_1v^2+1/2m_2v^2$, essendo all'inzione $v=0$. Da questa relazion si ricava la velocità che è $v=sqrt((2gh)/(m_1+m_2)(m_2-m_1sinalpha))$. Qui non capisco, la velocità finale è uguale per i due corpi, ma per il corpo $m_2$ è $v=sqrt(2gh)$ quindi come si giustifica l'altra espressione per la velocità?

Potreste chairirmi questo dubbio e confermare se il risultato del libro è corretto o meno?

[anonymous_0b37e9]

"ZfreS":
... ma per il corpo $m_2$ ...

Veramente, il corpo puntiforme di massa $m_2$ non è in caduta libera.

[oleg.fresi]

Come no? La massa è sospesa e ad un certo punto è libera di cadere trascinandosi dietro la massa $m_1$ sul piano. Tra l'altro questo ragionamento, di trovare la velocità come $sqrt(2gh)$ lo avevo già visto fare in un esercizio simile dove per di più, la massa sul piano inclinato era soggetta ad attrito.

[anonymous_0b37e9]

Muoversi lungo la direzione verticale non significa muoversi in caduta libera. Insomma, oltre alla forza peso, agisce la tensione del filo.

[oleg.fresi]

Ho capito, ma le tensioni non si elidono a vicenda essendo forze interne?

[axpgn]

"ZfreS":Come no? La massa è sospesa e ad un certo punto è libera di cadere trascinandosi dietro la massa $m_1$ sul piano. …

È così libera la caduta che se la massa $m_1$ è sufficientemente pesante la massa sospesa sale invece di scendere

[axpgn]

"ZfreS":Ho capito, ma le tensioni non si elidono a vicenda essendo forze interne?

Ma non stai considerando il sistema!
Stai applicando il concetto di "caduta libera" alla sola massa sospesa e quindi la tensione non è una "forza interna".

[anonymous_0b37e9]

@ Zfres

Solo quando applichi il teorema delle forze vive al sistema nel suo complesso, le due tensioni, facendo lavoro opposto, non compaiono. Tuttavia, se applichi il teorema delle forze vive oppure il secondo principio della dinamica a uno solo dei due corpi, la relativa tensione compare.

[oleg.fresi]

Tempo fa, risolsi un esercizio simile usando quella formula. Sul forum ci sono due discussioni sul problema, che risolvendo in quel modo mi porta al risultato giusto. sarà forse un caso.

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ?p=8458364

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=160388

[oleg.fresi]

Bene, rivedendo il file da cui ho preso spunto, ho notato che la formula ra $v=sqrt(2ah$ e non $v=sqrt(2gh)$.
Grazie a entrambi per avermi fatto capire l'errore! Ma o ancora un dubbio sul problema. Una volta che la massa $m_2$ arriva a terra, la massa $m_1$ possiede ancora un po di velocita o si ferma subito?

[anonymous_0b37e9]

Quando $m_2$ tocca terra, la tensione si annulla e $m_1$ continua a salire lungo il piano inclinato soggetto solo alla forza peso e alla reazione vincolare del piano medesimo.

[oleg.fresi]

Bene, quindi il risultato del libro è sbagliato, visto che $h=2m$ e il corpo percorre esatemente $2m$ ?

[Lucacs1]

Allora come in tutti questi problemi prima cosa trovi l'accelerazione.
Sarà $ a=F_(ris) /(m_1+m_2) $
Poi il problema è la tensione (ma non la chiede).
Sai che $ v=root(2)(2ah) $
Ti fai un bel bilancio dell'energia e trovi lo spazio percorso
Se sai fare questo, allora il tuo risultato è corretto

[anonymous_0b37e9]

@ ZfreS

Hai ragione. Per esempio:

Corpo 1

$m_1a=-m_1gsin\alpha+T$

Corpo 2

$m_2a=m_2g-T$

Accelerazione prima fase

$a=(g(m_2-m_1sin\alpha))/(m_1+m_2)=1/2g$

Velocità finale prima fase

$[h=1/4g t^2] ^^ [v=1/2g t] rarr [v=sqrt(gh)]$

Spazio percorso seconda fase

$[0=-1/2g t+sqrt(gh)] ^^ [s=-1/4g t^2+sqrt(gh)t] rarr [s=h]$

Spazio percorso totale

$s=h+h=2h$

Sicuramente una svista del libro.

[Lucacs1]

Ha ragione? Lui dice 2 metri tu 4....vabbè

[anonymous_0b37e9]

"ZfreS":
Io ho risolto il problema trovando come risultato $h=4m$ ...

Anche se sarebbe stato meglio scrivere $s=4$ m, il risultato è corretto.

[oleg.fresi]

Bene, grazie per l'aiuto!