Problema Dinamica
Ciao a tutti, non riesco in alcun modo a fare questo problema di dinamica. Ci sto sbattendo la testa ma mi sembra di non capire proprio da dove dover iniziare.
"Un camion inizialmente a riposo e con un solido cilindrico caricato su di esso ad una distanza d dal bordo posteriore, parte con accelerazione costante su strada orizzontale. Determinare la distanza percorsa dal camion all'instante in cui il solido cilindrico rotola fuori dalla piattaforma"
Vi sarei davvero grato se riusciste ad aiutarmi!
"Un camion inizialmente a riposo e con un solido cilindrico caricato su di esso ad una distanza d dal bordo posteriore, parte con accelerazione costante su strada orizzontale. Determinare la distanza percorsa dal camion all'instante in cui il solido cilindrico rotola fuori dalla piattaforma"
Vi sarei davvero grato se riusciste ad aiutarmi!
Risposte
Il camion che parte con accelerazione costante , supponiamo verso destra, è riferimento di trascinamento per il cilindro, quindi non inerziale; la sua accelerazione , rispetto al suolo , è $veca_t$. Perciò il cilindro , di massa $m$ , è soggetto ad una forza apparente di trascinamento , nel riferimento del camion , pari a $vecF_t = -mveca_t$ . Inoltre sul cilindro agisce la forza di attrito col pianale del camion, che vale $vecF_a$, diretta in avanti, e determina la rotazione del cilindro stesso, e supponiamo che si tratti di rotolamento puro. Quindi l'accelerazione relativa $veca_r$ del CM del cilindro è legata all'accelerazione angolare , e questa si trova con la seconda eq. cardinale della dinamica.
Le forze che determinano la traslazione del cilindro all'indietro sono dunque due , cioè la forza apparente e la forza di attrito (statico) che ha momento rispetto al CM responsabile dell'accelerazione angolare; il cilindro percorre il tratto $d$, sopra il camion, in un certo tempo, e il suo CM si sposta con accelerazione relativa $veca_r$ , che devi determinare risolvendo la prima eq. cardinale della dinamica.
$vecF_a +vecF_t = mveca_r$
Tutto questo determina il calcolo di $veca_r$ . Fai un disegno, metti le forze , metti le accelerazioni, proietta tutto su un asse $x$ orizzontale orientato come il senso di avanzamento del camion. Devi scrivere le due equazioni cardinali della dinamica e la relazione tra l'accelerazione relativa del CM e l'accelerazione angolare.
Trovata $veca_r$ , è facile trovare il tempo in cui il cilindro si sposta di $d$ e cade. Nello stesso tempo, evidentemente il camion si è spostato con moto accelerato verso destra, facendo un pezzo di strada.
Le forze che determinano la traslazione del cilindro all'indietro sono dunque due , cioè la forza apparente e la forza di attrito (statico) che ha momento rispetto al CM responsabile dell'accelerazione angolare; il cilindro percorre il tratto $d$, sopra il camion, in un certo tempo, e il suo CM si sposta con accelerazione relativa $veca_r$ , che devi determinare risolvendo la prima eq. cardinale della dinamica.
$vecF_a +vecF_t = mveca_r$
Tutto questo determina il calcolo di $veca_r$ . Fai un disegno, metti le forze , metti le accelerazioni, proietta tutto su un asse $x$ orizzontale orientato come il senso di avanzamento del camion. Devi scrivere le due equazioni cardinali della dinamica e la relazione tra l'accelerazione relativa del CM e l'accelerazione angolare.
Trovata $veca_r$ , è facile trovare il tempo in cui il cilindro si sposta di $d$ e cade. Nello stesso tempo, evidentemente il camion si è spostato con moto accelerato verso destra, facendo un pezzo di strada.
La cosa che mi dà più fastidio, certe volte, è che lo studente, una volta postato un quesito e ottenuta una risposta, sparisca dalla circolazione, come un pesce che , per difetto di nascita, sia muto per sempre... 
Aggiungo questo disegno, dove ho messo forze e accelerazioni. Sei in grado di imbastire un ragionamento e far lavorare questa roba ?
Aggiungo questo disegno, dove ho messo forze e accelerazioni. Sei in grado di imbastire un ragionamento e far lavorare questa roba ?
Propongo un'altra soluzione, magari non per OP che è sparito, ma così, per la gloria... 
Parto dalla considerazione che chi si trova sul pianale del camion con accelerazione $a$ non può distinguere una accelerazione da una inclinazione del pianale all'indietro, che provochi uno scivolamento con accelerazione $a$ (insomma, il principio di equivalenza).
L'angolo $alpha$ di inclinazione deve essere quindi tale che $g sin alpha = a$, ossia $sin alpha = a/g$.
Si può obiettare: e se $a$ è maggiore di $g$?
Rispondo: $g$ entra in modo del tutto strumentale, e non occorre che sia proprio la nostra normale $g$. Possiamo prendere quella che vogliamo.
Ma allora, se possiamo prendere $g$ a piacere, tanto vale che lo prendiamo uguale ad $a$, così l'inclinazione del pianale diventa 90°, e il problema diventa molto più semplice, ossia:
un cilindro che cade rotolando lungo una guida verticale, lunga $d$, sottoposto ad una accelerazione di gravità di valore $a$.
Basta scrivere l'equazione $M = I \dot omega$, dove $M = m*a*r$ (massa del cilindro, per accelerazione per raggio) e $I$ è quella di un disco di massa $m$ con raggio $r$ rispetto al punto di contatto con la guida ($3/2mr^2$ se non sbaglio).
Troviamo l'accelerazione angolare $\dot omega = 2/3a/r$, quella lineare $r*\dot omega = 2/3a$, e il tempo di caduta (quello chiesto dal problema) come $sqrt((2d)/(2/3a)) = sqrt((3d)/a)$
Salvo errori di calcolo..
Parto dalla considerazione che chi si trova sul pianale del camion con accelerazione $a$ non può distinguere una accelerazione da una inclinazione del pianale all'indietro, che provochi uno scivolamento con accelerazione $a$ (insomma, il principio di equivalenza).
L'angolo $alpha$ di inclinazione deve essere quindi tale che $g sin alpha = a$, ossia $sin alpha = a/g$.
Si può obiettare: e se $a$ è maggiore di $g$?
Rispondo: $g$ entra in modo del tutto strumentale, e non occorre che sia proprio la nostra normale $g$. Possiamo prendere quella che vogliamo.
Ma allora, se possiamo prendere $g$ a piacere, tanto vale che lo prendiamo uguale ad $a$, così l'inclinazione del pianale diventa 90°, e il problema diventa molto più semplice, ossia:
un cilindro che cade rotolando lungo una guida verticale, lunga $d$, sottoposto ad una accelerazione di gravità di valore $a$.
Basta scrivere l'equazione $M = I \dot omega$, dove $M = m*a*r$ (massa del cilindro, per accelerazione per raggio) e $I$ è quella di un disco di massa $m$ con raggio $r$ rispetto al punto di contatto con la guida ($3/2mr^2$ se non sbaglio).
Troviamo l'accelerazione angolare $\dot omega = 2/3a/r$, quella lineare $r*\dot omega = 2/3a$, e il tempo di caduta (quello chiesto dal problema) come $sqrt((2d)/(2/3a)) = sqrt((3d)/a)$
Salvo errori di calcolo..
@mgrau
nulla da eccepire. Ma ritengo che sia poco "didattico" . Lo scopo , penso , è quello di far comprendere allo studente come risolvere un problema di moto relativo. Tu gli parli di "principio di equivalenza"...., e non so se lui ti segue...
A questo punto, visto che l 'OP vuole il piatto pronto , la soluzione verso cui ho cercato di indirizzarlo la scrivo io [nota]Però è l'ultima volta che faccio una cosa del genere, se l' OP non risponde . SE fa cosí , vuol dire che non è interessato alla fisica, ma alla soluzione.[/nota].
Assumo un asse $x$ orizzontale, fisso, orientato positivamente verso destra. Suppongo che il camion abbia accelerazione $veca_t$ equiversa ad $x$ , cioè sia accelerato verso destra . Il camion è un riferimento non inerziale per il cilindro posto su di esso. Quindi nasce in tale riferimento una forza apparente di trascinamento :
$vecF_t = -mveca_t$
che agisce sul cilindro verso sinistra. Il cilindro rotola in verso antiorario, tra cilindro e pianale c'è la forza di attrito statico $vecF_a$ diretta verso destra ; il momento di questa forza , applicata nel punto di contatto $P$ , rispetto al centro $O$ , dà luogo ad accelerazione angolare $vec\alpha$, antioraria, tale che :
$(P-O) times vecF_a = I vec\alpha$
cioè , il vettore $vec\alpha $ è diretto dal foglio all'osservatore .
nella condizione di rotolamento puro , il CM del cilindro ha accelerazione relativa diretta verso sinistra , di modulo : $ a_r = alphaR $ ( vedere figura ).
Nel riferimento del camion, la prima eq. cardinale scritta in forma vettoriale è :
$vecF_t + vecF_a = mveca_r$
mettendo insieme quanto finora detto, e proiettando sull'asse $x$ , si ha :
$-ma_t + I\alpha/R = -ma_r$
da cui : $ ma_t = ma_r + I\alpha/R = a_r(m+I/R^2) \rightarrow a_t = a_r (1 + I/(mR^2) ) $
Posto : $I/(mR^2) = k = 1/2$ , scrivo : $a_t = a_r (1+k) = 3/2 a_r \rightarrow a_r = 2/3 a_t $ (*)
queste quantità sono moduli , i versi dei vettori sono indicati in figura.
Non ci sono dati numerici, ma non importa . Il tratto $d$ è percorso dal cilindro con moto uniformemente accelerato, nel tempo :
$t = sqrt ((2d)/(a_r)) = sqrt ( (3d)/(a_t) ) $
nello stesso tempo , il camion si sposta verso destra con moto uniformemente accelerato , e accelerazione $a_t$ .
(*) Ho messo $I/(mR^2) = k \rarr\ a_t = a_r (1+k) $ , perchè in questo modo la formula è utilizzabile anche per altri corpi in grado di rotolare (cilindro cavo, anello, sfera piena, sfera cava) , basta cambiare il valore di $k$.
nulla da eccepire. Ma ritengo che sia poco "didattico" . Lo scopo , penso , è quello di far comprendere allo studente come risolvere un problema di moto relativo. Tu gli parli di "principio di equivalenza"...., e non so se lui ti segue...
A questo punto, visto che l 'OP vuole il piatto pronto , la soluzione verso cui ho cercato di indirizzarlo la scrivo io [nota]Però è l'ultima volta che faccio una cosa del genere, se l' OP non risponde . SE fa cosí , vuol dire che non è interessato alla fisica, ma alla soluzione.[/nota].
Assumo un asse $x$ orizzontale, fisso, orientato positivamente verso destra. Suppongo che il camion abbia accelerazione $veca_t$ equiversa ad $x$ , cioè sia accelerato verso destra . Il camion è un riferimento non inerziale per il cilindro posto su di esso. Quindi nasce in tale riferimento una forza apparente di trascinamento :
$vecF_t = -mveca_t$
che agisce sul cilindro verso sinistra. Il cilindro rotola in verso antiorario, tra cilindro e pianale c'è la forza di attrito statico $vecF_a$ diretta verso destra ; il momento di questa forza , applicata nel punto di contatto $P$ , rispetto al centro $O$ , dà luogo ad accelerazione angolare $vec\alpha$, antioraria, tale che :
$(P-O) times vecF_a = I vec\alpha$
cioè , il vettore $vec\alpha $ è diretto dal foglio all'osservatore .
nella condizione di rotolamento puro , il CM del cilindro ha accelerazione relativa diretta verso sinistra , di modulo : $ a_r = alphaR $ ( vedere figura ).
Nel riferimento del camion, la prima eq. cardinale scritta in forma vettoriale è :
$vecF_t + vecF_a = mveca_r$
mettendo insieme quanto finora detto, e proiettando sull'asse $x$ , si ha :
$-ma_t + I\alpha/R = -ma_r$
da cui : $ ma_t = ma_r + I\alpha/R = a_r(m+I/R^2) \rightarrow a_t = a_r (1 + I/(mR^2) ) $
Posto : $I/(mR^2) = k = 1/2$ , scrivo : $a_t = a_r (1+k) = 3/2 a_r \rightarrow a_r = 2/3 a_t $ (*)
queste quantità sono moduli , i versi dei vettori sono indicati in figura.
Non ci sono dati numerici, ma non importa . Il tratto $d$ è percorso dal cilindro con moto uniformemente accelerato, nel tempo :
$t = sqrt ((2d)/(a_r)) = sqrt ( (3d)/(a_t) ) $
nello stesso tempo , il camion si sposta verso destra con moto uniformemente accelerato , e accelerazione $a_t$ .
(*) Ho messo $I/(mR^2) = k \rarr\ a_t = a_r (1+k) $ , perchè in questo modo la formula è utilizzabile anche per altri corpi in grado di rotolare (cilindro cavo, anello, sfera piena, sfera cava) , basta cambiare il valore di $k$.
"Shackle":
Il camion che parte con accelerazione costante , supponiamo verso destra, è riferimento di trascinamento per il cilindro, quindi non inerziale; la sua accelerazione , rispetto al suolo , è $veca_t$. Perciò il cilindro , di massa $m$ , è soggetto ad una forza apparente di trascinamento , nel riferimento del camion , pari a $vecF_t = -mveca_t$ . Inoltre sul cilindro agisce la forza di attrito col pianale del camion, che vale $vecF_a$, diretta in avanti, e determina la rotazione del cilindro stesso, e supponiamo che si tratti di rotolamento puro. Quindi l'accelerazione relativa $veca_r$ del CM del cilindro è legata all'accelerazione angolare , e questa si trova con la seconda eq. cardinale della dinamica.
Le forze che determinano la traslazione del cilindro all'indietro sono dunque due , cioè la forza apparente e la forza di attrito (statico) che ha momento rispetto al CM responsabile dell'accelerazione angolare; il cilindro percorre il tratto $d$, sopra il camion, in un certo tempo, e il suo CM si sposta con accelerazione relativa $veca_r$ , che devi determinare risolvendo la prima eq. cardinale della dinamica.
$vecF_a +vecF_t = mveca_r$
Tutto questo determina il calcolo di $veca_r$ . Fai un disegno, metti le forze , metti le accelerazioni, proietta tutto su un asse $x$ orizzontale orientato come il senso di avanzamento del camion. Devi scrivere le due equazioni cardinali della dinamica e la relazione tra l'accelerazione relativa del CM e l'accelerazione angolare.
Trovata $veca_r$ , è facile trovare il tempo in cui il cilindro si sposta di $d$ e cade. Nello stesso tempo, evidentemente il camion si è spostato con moto accelerato verso destra, facendo un pezzo di strada.
Ciao Shackle, ti ringrazio per la risposta, sei riuscito a spiegarmi in maniera chiarissima tutto e per di più hai anche fatto un disegno,davvero grande...
Avrei però un dubbio, che intendi per " è riferimento di trascinamento per il cilindro"?
In qualsiasi caso mi sembra di aver capito davvero tutto, ora provo a seguire il tuo ragionamento e provo a trovare la soluzione, qualora non ci riuscissi provo a leggere l'ultimo messaggio dove hai scritto la soluzione vera e propria.
E comunque tranquillo, non sparisco, non sono solo interessato alla soluzione del problema ma mi interessa davvero capire questi concetti, dato che a breve ho un esame che si basa proprio su questi!
"mgrau":
Propongo un'altra soluzione, magari non per OP che è sparito, ma così, per la gloria...
Parto dalla considerazione che chi si trova sul pianale del camion con accelerazione $a$ non può distinguere una accelerazione da una inclinazione del pianale all'indietro, che provochi uno scivolamento con accelerazione $a$ (insomma, il principio di equivalenza).
L'angolo $alpha$ di inclinazione deve essere quindi tale che $g sin alpha = a$, ossia $sin alpha = a/g$.
Si può obiettare: e se $a$ è maggiore di $g$?
Rispondo: $g$ entra in modo del tutto strumentale, e non occorre che sia proprio la nostra normale $g$. Possiamo prendere quella che vogliamo.
Ma allora, se possiamo prendere $g$ a piacere, tanto vale che lo prendiamo uguale ad $a$, così l'inclinazione del pianale diventa 90°, e il problema diventa molto più semplice, ossia:
un cilindro che cade rotolando lungo una guida verticale, lunga $d$, sottoposto ad una accelerazione di gravità di valore $a$.
Basta scrivere l'equazione $M = I \dot omega$, dove $M = m*a*r$ (massa del cilindro, per accelerazione per raggio) e $I$ è quella di un disco di massa $m$ con raggio $r$ rispetto al punto di contatto con la guida ($3/2mr^2$ se non sbaglio).
Troviamo l'accelerazione angolare $\dot omega = 2/3a/r$, quella lineare $r*\dot omega = 2/3a$, e il tempo di caduta (quello chiesto dal problema) come $sqrt((2d)/(2/3a)) = sqrt((3d)/a)$
Salvo errori di calcolo..
Ciao, a dir la verità non abbiamo mai usato il principio di equivalenza, però visto come me lo hai spiegato, applicandolo al problema, mi sembra davvero molto utile. Ti ringrazio ovviamente per la risposta e andrò a documentarmi su questo principio, magari mi può tornare utile in altri casi
Avrei però un dubbio, che intendi per " è riferimento di trascinamento per il cilindro"?
Ah, allora ci sei !
Riguardo alla tua domanda sopra quotata , che cosa sai di cinematica relativa e di dinamica relativa ? Credo poco o nulla , forse non te ne hanno ancora parlato. Allora guarda questa figura :
in essa, c'è il riferimento $(\Omega\ xi \ eta \ zeta) $ che assumiamo come riferimento fisso o "assoluto" , e il riferimento $(Oxyz)$ , che assumiamo come riferimento mobile , o "relativo" , o di trascinamento. Lo spazio solidale al riferimento mobile si muove, rispetto al riferimento fisso, come se fosse un "corpo rigido" .
Il punto $P$ è in moto, e occupa posizioni diverse , nel tempo, sia rispetto al rif. fisso che rispetto al rif. mobile.
La velocità di $P$, In un dato istante , rispetto al rif. mobile, è la velocita relativa $vecv_r$ ; nello stesso istante, il punto $P$ occupa una certa posizione $Q$ nel riferimento mobile , cioè coincide con $Q$ : la velocità "di corpo rigido" che compete al punto $Q$ rispetto al rif. fisso, in quell'istante, compete anche al punto mobile $P$ che coincide con quel punto $Q$ . In istanti diversi $P$ coincide con punti diversi dello spazio mobile, naturalmente .
La velocità di $Q$ , che coincide con $P$ in quell'istante , si chiama " velocità di trascinamento $vecv_t$ " , perché dà appunto l'idea che $P$ venga trascinato dal riferimento $Oxyz$ .
Questo vuol dire, che il riferimento mobile funziona da riferimento "di trascinamento " .
La velocità assoluta di $P$ è data dalla composizione vettoriale :
$vecv_a = vecv_r + vecv_t$
Oltre alle velocità , si compongono anche le accelerazioni , ma il discorso è un po' più complesso.
Ho preso la figura da questa dispensa di Tullio Papa , che si trova in rete come capitolo di queste lezioni di fisica.
Nel capitolo detto, viene sviluppata tutta l'algebra vettoriale e la cinematica relativa , che ti consiglio di leggere .
Esempio banale : se io passeggio in un treno che viaggia ad una certa velocità , la terra è il riferimento assoluto, il treno è il riferimento di trascinamento , la sua velocità rispetto a terra è la velocità $vecv_t$ , la mia velocità rispetto al treno è $vecv_r$ . La mia velocita rispetto alla terra è quindi data da :
$vecv_a = vecv_r + vecv_t$
come detto prima .
"Shackle":Avrei però un dubbio, che intendi per " è riferimento di trascinamento per il cilindro"?
Ah, allora ci sei !
Riguardo alla tua domanda sopra quotata , che cosa sai di cinematica relativa e di dinamica relativa ? Credo poco o nulla , forse non te ne hanno ancora parlato. Allora guarda questa figura :
in essa, c'è il riferimento $(\Omega\ xi \ eta \ zeta) $ che assumiamo come riferimento fisso o "assoluto" , e il riferimento $(Oxyz)$ , che assumiamo come riferimento mobile , o "relativo" , o di trascinamento. Lo spazio solidale al riferimento mobile si muove, rispetto al riferimento fisso, come se fosse un "corpo rigido" .
Il punto $P$ è in moto, e occupa posizioni diverse , nel tempo, sia rispetto al rif. fisso che rispetto al rif. mobile.
La velocità di $P$, In un dato istante , rispetto al rif. mobile, è la velocita relativa $vecv_r$ ; nello stesso istante, il punto $P$ occupa una certa posizione $Q$ nel riferimento mobile , cioè coincide con $Q$ : la velocità "di corpo rigido" che compete al punto $Q$ rispetto al rif. fisso, in quell'istante, compete anche al punto mobile $P$ che coincide con quel punto $Q$ . In istanti diversi $P$ coincide con punti diversi dello spazio mobile, naturalmente .
La velocità di $Q$ , che coincide con $P$ in quell'istante , si chiama " velocità di trascinamento $vecv_t$ " , perché dà appunto l'idea che $P$ venga trascinato dal riferimento $Oxyz$ .
Questo vuol dire, che il riferimento mobile funziona da riferimento "di trascinamento " .
La velocità assoluta di $P$ è data dalla composizione vettoriale :
$vecv_a = vecv_r + vecv_t$
Oltre alle velocità , si compongono anche le accelerazioni , ma il discorso è un po' più complesso.
Ho preso la figura da questa dispensa di Tullio Papa , che si trova in rete come capitolo di queste lezioni di fisica.
Nel capitolo detto, viene sviluppata tutta l'algebra vettoriale e la cinematica relativa , che ti consiglio di leggere .
Esempio banale : se io passeggio in un treno che viaggia ad una certa velocità , la terra è il riferimento assoluto, il treno è il riferimento di trascinamento , la sua velocità rispetto a terra è la velocità $vecv_t$ , la mia velocità rispetto al treno è $vecv_r$ . La mia velocita rispetto alla terra è quindi data da :
$vecv_a = vecv_r + vecv_t$
come detto prima .
Ti ringrazio ancora una volta per la spiegazione assolutamente chiara e descrittiva che sei riuscito a darmi e mi scuso per la mia non celere risposta.
Abbiamo già affrontato la cinematica relativa e a dir la verità sentire una seconda spiegazione data da te mi ha aiutato a padroneggiare meglio l'argomento.
Grazie mille!
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