Problema dinamica

[ZioGiak]

Ciao raga, di questo problema non riesco ad arrivare alla soluzione per la parte finale

Un automobile di 700 Kg viene fatta salire con velocità costante di 10km/h lungo un piano inclinato di 30 gradi($ theta $), ruvido con coefficienti di attrito dinamico $ mud $ =0,15 mediante un cavo di traino che forma a sua volta un angolo $ beta $ con il piano inclinato stesso. Quanto deve valere l'angolo $ beta $ , affinchè la forza necessaria a trainare l'auto sia minima?

io ho trovato due modi per svolgerlo dove però in entrambi mi manca la fine, e comunque volevo sapere quale fosse corretto:

$ Fcosbeta= mgsentheta +mud(mgcostheta-Fsenbeta) $

pongo la forza di attrito uguale a 0 e viene

$ mudmgcostheta-mudFsenbeta=0 $

$ F=mgcostheta//senbeta $

$ mgcosthetacosbeta//senbeta=mgsentheta $

$ cosbeta//senbeta=sentheta//costheta $

già qui sono insicuro onestamente su come dovrei continuare,

$ beta=arccot(tg theta) $ ma mi sa che sto dicendo na scemenza....


oppure l'altra via era, forse più corretta

$ Fcosbeta -mgsentheta -mudmgcostheta + mudFsenbeta= 0 $
$ F(cosbeta+mudsenbeta)=mgsentheta+mudmgcostheta $
$ F=mgsentheta+mudmgcostheta//cosbeta+mudsenbeta $
avendo F in funzione di $ theta $ applichiamo la derivata ponendola a zero e ci dovremmo trovare l'angolo, derivata che però nn so fare attualmente,
$ F(theta)=(cosbeta+mudsenbeta)^-1 $
$ F'(theta)= $

qualcuno potrebbe controllare entrambi gli svolgimenti e valutarli? e se potete aiutarmi anche con la derivata nel secondo svolegimento mi fareste un piacere, so che è un aiuto inutile ai fini del mio apprendimento però mi servirebbe molto sapere il risultato finale(non è nessun compito da consegnare quindi non pensate a male, solo che mi serve una mano tutto qui)

[professorkappa]

$\theta$ e' costante (e' l'inclinazione della salita).
Non devi annullare la forza di attrito (perche lo fai)?

Hai scritto bene le forze applicate al corpo. la loro risultante deve essere nulla.
Risolvi rispetto a F e trovi F in funzione di $/mu, \theta, \beta$.

Derivi rispetto a $\beta$ (le altre due sono costanti e assegnate) e imponendo uguale a zero trovi $\beta$.
A memoria, se non vado errato, devi tirare con $\beta=arctg(\mu)$

[ZioGiak]

mi sembra di capire dunque che la seconda via, dove appunto ho posto la risultante uguale a 0 e mi viene:
$ F=mgsentheta+mudmgcostheta//cosbeta+mudsenbeta $

qui derivo tutto e poi ponendolo uguale a zero mi trovo $ beta $ oppure devo derivare solo
$ F(beta)=(cosβ+μdsenβ)^-1 $

[professorkappa]

L'equazione da derivare e'

$F={mgsin\theta+\mu\cdotmgcos\theta}/{cos\beta+\musin\beta}$

Va derivata rispetto a $\beta$, trattando gli altri termini come costanti.

Poi imponi ${dF}/{d\beta}=0$ (condizione di minimo) e trovi $\beta$.

A rigore dovresti anche verificare la ${d^2F}/{d\beta^2}$ per essere sicuro che il valore di $\beta$ trovato corrisponde a un minimo di $F$ e non a un massimo o a un flesso orizzontale.

[ZioGiak]

ma essendo costanti, la loro derivata non dovrebbe essere 0 e mi annulla tutto?


*Modifica:

ok, no ho detto un'altra scemenza
allora ora vado a fare la derivata di $ F=(mgsinθ+μ⋅mgcosθ)/(cosβ+μsinβ) $
quindi faccio la derivata di sopra per la non derivata di sotto e viene 0, poi la non derivata di sopra per la derivata di sotto fratto il denominatore al quadrato e dovrebbe venire:

$ F'=[(mgsintheta+mudmgcostheta)(-sinbeta+mudcosbeta)]/(cosbeta+mudsenbeta)^2 $

**
penso sia giusta la derivazione, però non riesco a completarla, mi potresti illustrare passo per passo?

comunque per la fase successiva non basta pormi la derivata F' maggiore di zero e vedere la crescenza per vedere che è un punto di minimo? con la derivata seconda non vado a vedermi la concavità e la convessita?

[professorkappa]

La derivazione e' corretta.
Per quali valori si annulla quella $F'$?

Si annulla quando il secondo termine tra parentesi al numeratore e' nulla $\mucos\beta=sin\beta$.

Cosa e' la d che introduci???

Per capire se e' un massimo o un minimo, puoi vedere (1) la crescenza (un minimo in $x_0$ ha derivata negativa prima e positiva dopo. Oppure guardi la concavita' o la convessita', che ti chiarisce se e' un minimo o un massimo. Sono due modi alternativi (io preferisco usare la derivata seconda, mi trovo meglio)

[ZioGiak]

ah ok quindi devo annullare semplicemente $ −sinβ+μdcosβ=0 $ quindi mi trovo $ beta=arctgmud $
mentre invece per la prova che sia un minimo basta andarmi a svolgere la funzione, grazie mille per l'aiuto