Problema difficilino dinamica dei sistemi (secondo me)
ragazzi qualcuno può aiutarmi a risolvere questo problema? io sono arrivato solo a scrivere un sistema (che probabilmente è sbagliato) di due equazioni differenziali in due incognite, inutile dire che non ho intenzione di risolverlo perchè sicuramente c'è una via più semplice..ecco il testo del problema e l'immagine relativa:
https://www.dropbox.com/s/7o1i1uu4esgbl ... 172407.jpg
Un rullo cilindrico omogeneo, di raggio $r=0.4m$ e massa $M=80kg$, è appoggiato su una superficie orizzontale e viene tirato con un filo disposto perpendicolarmente all'asse del rullo. Il filo è elastico, con costante elastica $k=10N/m$, e ha massa trascurabile. Il filo passa su una piccola carrucola liscia che lo tiene parallelo alla superficie di appoggio, a distanza $r$ da questa; la parte restante del filo è disposta verticalmente e alla sua estremità è attaccato un corpo di massa $m=20kg$. Inizialmente il corpo viene tenuto in equilibrio da una forza esterna opposta al suo peso e il filo ha lunghezza uguale a quella di riposo. All'istante $t=0$ si elimina la forza esterna lasciando il corpo libero di muoversi. Sapendo che fra il rullo e la superficie è presente un attrito tale da non permettere al rullo di scivolare, si determini il valore minimo $µ_(min)$ permesso per il coefficiente di attrito statico.
https://www.dropbox.com/s/7o1i1uu4esgbl ... 172407.jpg
Un rullo cilindrico omogeneo, di raggio $r=0.4m$ e massa $M=80kg$, è appoggiato su una superficie orizzontale e viene tirato con un filo disposto perpendicolarmente all'asse del rullo. Il filo è elastico, con costante elastica $k=10N/m$, e ha massa trascurabile. Il filo passa su una piccola carrucola liscia che lo tiene parallelo alla superficie di appoggio, a distanza $r$ da questa; la parte restante del filo è disposta verticalmente e alla sua estremità è attaccato un corpo di massa $m=20kg$. Inizialmente il corpo viene tenuto in equilibrio da una forza esterna opposta al suo peso e il filo ha lunghezza uguale a quella di riposo. All'istante $t=0$ si elimina la forza esterna lasciando il corpo libero di muoversi. Sapendo che fra il rullo e la superficie è presente un attrito tale da non permettere al rullo di scivolare, si determini il valore minimo $µ_(min)$ permesso per il coefficiente di attrito statico.
Risposte
Dai, non c'è bisogno di equazioni differenziali...
Se chiamiamo $T$ la tensione del filo abbiamo per il peso la seguente equivalenza: $ma=mg-T$, supponendo che l'accelerazione $a$ sia verso il basso.
Per disco abbiamo $Ma=T-F_a$, dove $F_a$ è la forza di attrito col piano.
In più c'è da considerare il rotolamento: $Fa\ r = I\alpha=Ia/r = 1/2Mr^2 a/r = $ ovvero $F_a = 1/2 Ma$.
Ora effettuiamo tutte le sostituzioni in modo da far sparire $F_a$ e $T$.
$(M+m)a = mg-Fa$
$(M+m)a = mg-1/2Ma$
$(3/2 M+m)a = mg$
$a= (mg) / (3/2 M+m)$
Con questa accelerazione troviamo $F_a$
$F_a= 1/2Ma = (mMg) / (3 M+2m)$
da cui il coefficiente di attrito:
$\mu_s = F_a/(Mg) = (m) / (3 M+2m)$
Se chiamiamo $T$ la tensione del filo abbiamo per il peso la seguente equivalenza: $ma=mg-T$, supponendo che l'accelerazione $a$ sia verso il basso.
Per disco abbiamo $Ma=T-F_a$, dove $F_a$ è la forza di attrito col piano.
In più c'è da considerare il rotolamento: $Fa\ r = I\alpha=Ia/r = 1/2Mr^2 a/r = $ ovvero $F_a = 1/2 Ma$.
Ora effettuiamo tutte le sostituzioni in modo da far sparire $F_a$ e $T$.
$(M+m)a = mg-Fa$
$(M+m)a = mg-1/2Ma$
$(3/2 M+m)a = mg$
$a= (mg) / (3/2 M+m)$
Con questa accelerazione troviamo $F_a$
$F_a= 1/2Ma = (mMg) / (3 M+2m)$
da cui il coefficiente di attrito:
$\mu_s = F_a/(Mg) = (m) / (3 M+2m)$
prima di tutto grazie 
avevo iniziato anche io così ma non ho pensato di applicare la prima cardinale anche al rullo...
comunque avrei un dubbio...tu non stai considerando il fatto che il filo è elastico, cioè una molla. Essendoci una molla collegata a $m$, che lo fa "rimbalzare" come può essere la sua accelerazione costante come è risultato a te? inoltre tu hai sottinteso che l'accelerazione $a$ del centro del rullo e di $m$ sia la stessa, ma sempre per il fatto che è presente un filo elastico e non uno inestensibile secondo me non dovrebbe essere così..o sbaglio?
p.s. ho ricontrollato i calcoli nel tuo procedimento e sembrano giusti ma il risultato che mi dà il libro è: $μ_s=(2m)/(3M+2m)$ , cioè è diverso dal tuo per un 2 al numeratore..
avevo iniziato anche io così ma non ho pensato di applicare la prima cardinale anche al rullo...comunque avrei un dubbio...tu non stai considerando il fatto che il filo è elastico, cioè una molla. Essendoci una molla collegata a $m$, che lo fa "rimbalzare" come può essere la sua accelerazione costante come è risultato a te? inoltre tu hai sottinteso che l'accelerazione $a$ del centro del rullo e di $m$ sia la stessa, ma sempre per il fatto che è presente un filo elastico e non uno inestensibile secondo me non dovrebbe essere così..o sbaglio?
p.s. ho ricontrollato i calcoli nel tuo procedimento e sembrano giusti ma il risultato che mi dà il libro è: $μ_s=(2m)/(3M+2m)$ , cioè è diverso dal tuo per un 2 al numeratore..
Hai ragione, avevo praticamente guardato solo il disegno e avevo concluso che era un banale esercizio con una fune inestendibile.
Se la fune è in realtà un elastico il problema si complica dal punto di vista concettuale ma poco da quello di vista matematico (per fortuna).
Partiamo da un esercizio analogo: un peso collegato a una molla verticale, la molla è attaccata al soffitto. La molla è inizialmente a riposo perchè il peso è sostenuto da una mano. Si toglie la mano che sostiene il peso, il peso comincia a oscillare attorno alla posizione di equilibrio data da $\Deltax=(mg)/(k)$, dove $\Delta x$ è la differenza di lunghezza tra la molla a risposo e la molla in equilibrio. Dovresti anche essere convinto del fatto che quando, durante l'oscillazione, il peso raggiunge il punto più basso, la tensione del filo è $2mg$. Se hai chiaro il funzionamento del moto oscillatorio, non ci dovrebbero essere dubbi.
Il tuo problema è sostanzialmente uguale, tranne che la posizione di equilibrio non è statica ma è dinamica. La posizione di equilibrio diventa esattamente quella da me calcolata nella soluzione (non corretta) che ti avevo dato nella risoluzione del problema.
Nella mia risoluzione avevo concluso che l'accelerazione è $a=(mg)/(3/2M+m)$ da cui una tensione della fune (chè in realtà è una molla) $T=(3/2M)/(3/2M+m)g$. Quello che dovresti capire è che se io tengo fermo con le mani i due pesi, e li posizioni in modo da tirare la molla, e faccio in modo che la molla abbia proprio la tensione da me calcolata, e infine lascio improvvisamente liberi i due pesi, allora i pesi scendono in modo uguale al caso della fune inestendibile. Ovvero senza oscillazioni.
Se invece i pesi vengono lasciati liberi in posizione di non equilibrio, allora oltre alla accelerazione uniforme c'è sovrapposto un moto oscillatorio.
E il moto oscillatorio ha come equilibrio la tensione $T=(3/2M)/(3/2M+m)g$ e quindi, durante la caduta, la massima tensione della molla sarà il doppio della tensione $T$. Esattamente come nell'esempio della molla verticale dove la tensione nel punto più basso è $2mg$, cioè il doppio del punto di equilibrio, dove la tensione è $mg$.
Quindi la tensione massima è doppia, quindi tutto nei calcoli raddoppia (è tutto proporzionale) e alla fine l'attrito statico è $\mu_s=(2m)/(3M+2m)$.
Se la fune è in realtà un elastico il problema si complica dal punto di vista concettuale ma poco da quello di vista matematico (per fortuna).
Partiamo da un esercizio analogo: un peso collegato a una molla verticale, la molla è attaccata al soffitto. La molla è inizialmente a riposo perchè il peso è sostenuto da una mano. Si toglie la mano che sostiene il peso, il peso comincia a oscillare attorno alla posizione di equilibrio data da $\Deltax=(mg)/(k)$, dove $\Delta x$ è la differenza di lunghezza tra la molla a risposo e la molla in equilibrio. Dovresti anche essere convinto del fatto che quando, durante l'oscillazione, il peso raggiunge il punto più basso, la tensione del filo è $2mg$. Se hai chiaro il funzionamento del moto oscillatorio, non ci dovrebbero essere dubbi.
Il tuo problema è sostanzialmente uguale, tranne che la posizione di equilibrio non è statica ma è dinamica. La posizione di equilibrio diventa esattamente quella da me calcolata nella soluzione (non corretta) che ti avevo dato nella risoluzione del problema.
Nella mia risoluzione avevo concluso che l'accelerazione è $a=(mg)/(3/2M+m)$ da cui una tensione della fune (chè in realtà è una molla) $T=(3/2M)/(3/2M+m)g$. Quello che dovresti capire è che se io tengo fermo con le mani i due pesi, e li posizioni in modo da tirare la molla, e faccio in modo che la molla abbia proprio la tensione da me calcolata, e infine lascio improvvisamente liberi i due pesi, allora i pesi scendono in modo uguale al caso della fune inestendibile. Ovvero senza oscillazioni.
Se invece i pesi vengono lasciati liberi in posizione di non equilibrio, allora oltre alla accelerazione uniforme c'è sovrapposto un moto oscillatorio.
E il moto oscillatorio ha come equilibrio la tensione $T=(3/2M)/(3/2M+m)g$ e quindi, durante la caduta, la massima tensione della molla sarà il doppio della tensione $T$. Esattamente come nell'esempio della molla verticale dove la tensione nel punto più basso è $2mg$, cioè il doppio del punto di equilibrio, dove la tensione è $mg$.
Quindi la tensione massima è doppia, quindi tutto nei calcoli raddoppia (è tutto proporzionale) e alla fine l'attrito statico è $\mu_s=(2m)/(3M+2m)$.
Credo che manchi un $m$ al numeratore della tensione. Comunque a parte questo dettaglio che non ci interessa vediamo se ho capito: se ho anche il moto oscillatorio i due corpi procedono con la stessa accelerazione solo quando c'è il "rimbalzo" (cioè quando la velocità relativa di oscillazione diventa zero) quindi, ad esempio, quando la tensione è massima (cioè il caso che ci interessa); questa tensione massima corrisponde al doppio di quella di equilibrio, cioè quella che la molla avrebbe se
"Quinzio":ed è anche uguale a quella che si avrebbe nel caso in cui ci fosse un filo inestensibile al posto della molla...è corretto?
io tengo fermo con le mani i due pesi, e li posizioni in modo da tirare la molla, e faccio in modo che la molla abbia proprio la tensione da me calcolata, e infine lascio improvvisamente liberi i due pesi...
stento a crederci ma le equazioni sono proprio quelle che ho ottenuto io 
comunque io definirei questi passaggi 
comunque io definirei questi passaggi "TeM":semplicemente GENIALI, prima di riuscire a pensare cose del genere credo che dovrò masticare ancora parecchi esercizi, grazie mille TeM e complimenti per la genialata
...Detta \(L_0\) la lunghezza a riposo della molla, la sua lunghezza attuale è \( L = L_0 + y - x \) dove
\(y\) è l'abbassamento di \(m\) ed \(x\) l'avanzamento di \(C\). Quindi \( \Delta l = L - L_0 = y - x =: \xi \)...
... Ma \( y'' - x'' = \xi'' \) quindi, sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene \[ \xi''(t) + \left( \frac{k}{m} + \frac{2}{3}\frac{k}{M} \right)\xi(t) = g \]...
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