Problema difficile!!
Come si affronta un problema del genere? Io avevo pensato di sfruttare il fatto che la velocità di ritorno è uguale a quella di andata per sfruttare il fatto che:
$2I\omega=\int_0^t\taudt$.
Ma non mi sembra una buona strada... Se qualcuno volesse illuminarmi...
Risposte
Ho trovato difficoltà nel risolvere questo esercizio, non è che qualche anima pia potrebbe provare a risolverlo? Magari provare a dare suggerimenti...
Problema interessante ma molto lungo da spiegare....
Per quanto riguarda il punto f io ho trovato che la scala si stacca dal muro quando $sinalpha=2/3=>alpha=41,81°$
Per quanto riguarda il punto f io ho trovato che la scala si stacca dal muro quando $sinalpha=2/3=>alpha=41,81°$
Perfavore potresti spiegarmi tutto il problema, anche se è lungo...? Venerdì ho il compito e vorrei discuterne prima se è possibile...
Grazie tante
Grazie tante
Allora....
a) L'unico valore possibile è $alpha=pi/2$ (equilibrio instabile).
b) Le coordinate del centro di massa della scala sono:
$X_(CM)=Lcosalpha/2$
$Y_(CM)=Lsinalpha/2$
Queste sono le equazioni parametriche di una circonferenza di centro O e raggio L/2.
c) Le coordinate del punto (B) a contatto col muro sono:
$X_B=0, Y_B=Lsinalpha$
Derivando rispetto al tempo si trova:
$V_(XB)= 0, V_YB=L*omega*cosalpha$
Quelle del punto A (sul pavimento) sono:
$X_A=L*cosalpha, Y_A =0$
Derivando rispetto al tempo si trova:
$V_(XA)=-L*omega*sinalpha, V_(YA)=0
d) Derivando le due equazioni in (b) rispetto al tempo si trova:
$V_(XCM)=-L*omega*sinalpha/2, V_YCM=L*omega*cosalpha/2$
La velocità del centro di massa diventa:
$V_(CM)=sqrt(V_(XCM)^2+V_(YCM)^2)=L*omega/2$
Derivando rispetto al tempo le componenti delle velocità si ottiene (alfa=accel. angolare):
$a_(XCM)=-L(alfasinalpha+omega^2cosalpha)/2$
$a_(YCM)=L(alfacosalpha-omega^2sinalpha)/2$
L'accelerazione del centro di massa diventa:
$a_(CM)=sqrt(a_(XCM)^2+a_(YCM)^2)=Lsqrt(alfa^2+omega^4)/2$
Per esprimere queste relazioni in funzione di $alpha$ dobbiamo ricavare $omega$ e alfa.
Dal teorema di Konig si ricava l'energia cinetica:
$K=I*omega^2/2+mV_(CM)^2/2=(mL^2/12)omega^2/2+m(L^2omega^2/4)/2=mL^2*omega^2/6$
Dalla conservazione dell'energia meccanica si ricava:
$omega=sqrt(3g(1-sinalpha)/L)$
Derivando rispetto al tempo si ottiene:
$alfa=-3gcosalpha/(2L)$
e) Inserendo questi risultati nelle relazioni precedentemente ottenute si ottengono le richieste del problema.
f) Dal moto del centro di massa lungo l'asse delle x possiamo trovare la reazione vincolare del muro (R_B):
$R_B=ma_(XCM)=-mL(alfasinalpha+omega^2cosalpha)/2$
Inserendo i valori di alfa e $omega$ si trova:
$R_B=(3/4)mg(3sinalpha-2)cosalpha$
Essa si annulla per $sinalpha=2/3$ per cui la scala si stacca dal muro.
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a) L'unico valore possibile è $alpha=pi/2$ (equilibrio instabile).
b) Le coordinate del centro di massa della scala sono:
$X_(CM)=Lcosalpha/2$
$Y_(CM)=Lsinalpha/2$
Queste sono le equazioni parametriche di una circonferenza di centro O e raggio L/2.
c) Le coordinate del punto (B) a contatto col muro sono:
$X_B=0, Y_B=Lsinalpha$
Derivando rispetto al tempo si trova:
$V_(XB)= 0, V_YB=L*omega*cosalpha$
Quelle del punto A (sul pavimento) sono:
$X_A=L*cosalpha, Y_A =0$
Derivando rispetto al tempo si trova:
$V_(XA)=-L*omega*sinalpha, V_(YA)=0
d) Derivando le due equazioni in (b) rispetto al tempo si trova:
$V_(XCM)=-L*omega*sinalpha/2, V_YCM=L*omega*cosalpha/2$
La velocità del centro di massa diventa:
$V_(CM)=sqrt(V_(XCM)^2+V_(YCM)^2)=L*omega/2$
Derivando rispetto al tempo le componenti delle velocità si ottiene (alfa=accel. angolare):
$a_(XCM)=-L(alfasinalpha+omega^2cosalpha)/2$
$a_(YCM)=L(alfacosalpha-omega^2sinalpha)/2$
L'accelerazione del centro di massa diventa:
$a_(CM)=sqrt(a_(XCM)^2+a_(YCM)^2)=Lsqrt(alfa^2+omega^4)/2$
Per esprimere queste relazioni in funzione di $alpha$ dobbiamo ricavare $omega$ e alfa.
Dal teorema di Konig si ricava l'energia cinetica:
$K=I*omega^2/2+mV_(CM)^2/2=(mL^2/12)omega^2/2+m(L^2omega^2/4)/2=mL^2*omega^2/6$
Dalla conservazione dell'energia meccanica si ricava:
$omega=sqrt(3g(1-sinalpha)/L)$
Derivando rispetto al tempo si ottiene:
$alfa=-3gcosalpha/(2L)$
e) Inserendo questi risultati nelle relazioni precedentemente ottenute si ottengono le richieste del problema.
f) Dal moto del centro di massa lungo l'asse delle x possiamo trovare la reazione vincolare del muro (R_B):
$R_B=ma_(XCM)=-mL(alfasinalpha+omega^2cosalpha)/2$
Inserendo i valori di alfa e $omega$ si trova:
$R_B=(3/4)mg(3sinalpha-2)cosalpha$
Essa si annulla per $sinalpha=2/3$ per cui la scala si stacca dal muro.
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Più o meno torna anche a me... Ma mi sembrava troppo lungo... Cmq grazie infinite
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