Problema DIfferenza di Potenziale
Salve a tutti avrei un piccolo problema con il calcolo di una d.d.p. Il problema è questo:
Un cilindro indefinito di raggio R contiene una densità di carica volumetrica $\rho$, esclusa una cavità sferica al suo interno di uguale raggio con centro sull'asse del cilindro. Determinare la d.d.p. tra uno dei pnti di tangenza tra cavità e cilindro e il centro della cavità.
Io l'ho impostata in questo modo:
Trovo il campo elettrico tramite Gauss, e in R sarà
$ E= (\rho R)/(2 \epsilon ) $
Per il calcolo del potenziale faccio
$\-int_{0}^{R} E ds$
Ma esce un risultato ovviamente sbagliato, non sodove sta l'errore se tra gli estremi o meno o se devo considerare un potenziale pari a zero per distanze infinite.
Un cilindro indefinito di raggio R contiene una densità di carica volumetrica $\rho$, esclusa una cavità sferica al suo interno di uguale raggio con centro sull'asse del cilindro. Determinare la d.d.p. tra uno dei pnti di tangenza tra cavità e cilindro e il centro della cavità.
Io l'ho impostata in questo modo:
Trovo il campo elettrico tramite Gauss, e in R sarà
$ E= (\rho R)/(2 \epsilon ) $
Per il calcolo del potenziale faccio
$\-int_{0}^{R} E ds$
Ma esce un risultato ovviamente sbagliato, non sodove sta l'errore se tra gli estremi o meno o se devo considerare un potenziale pari a zero per distanze infinite.
Risposte
l'errore è che tu hai considerato il campo generato dal cilindro intero e non dal cilindro "scavato".
Usando il principio di sovrapposizione si ha che:
\(\displaystyle \vec E=\vec E_{cilindro} -\vec E_{sfera} \)
che puoi calcolare facilmente applicando Gauss al cilindro ed alla sfera. Si ottiene, se non erro,
\(\displaystyle \vec E=\frac{\rho r}{2\epsilon_0}\hat r - \frac{\rho r}{3\epsilon_0}\hat r=\frac{\rho r}{6\epsilon_0}\hat r \)
Usando il principio di sovrapposizione si ha che:
\(\displaystyle \vec E=\vec E_{cilindro} -\vec E_{sfera} \)
che puoi calcolare facilmente applicando Gauss al cilindro ed alla sfera. Si ottiene, se non erro,
\(\displaystyle \vec E=\frac{\rho r}{2\epsilon_0}\hat r - \frac{\rho r}{3\epsilon_0}\hat r=\frac{\rho r}{6\epsilon_0}\hat r \)
Gli estremi dell'integrale invece sono corretti, no?
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