Problema di statica coi fluidi
Avrei un'altro problema da proporre, questa volta di statica.
"Una diga di cui solo la sezione è illustrata, è composta di una parete di larghezza L, sostenuta ad un punto h metri dal suolo ($F1$) da una trave inclinata e da un'asta orizzontale al livello del suolo ($F2$). Data la profondità dell'acqua D si ricavino le espressioni per le due forze in funzione dei parametri $D$, $L$, $h$, la densità dell'acqua $rho$ e la costante di gravitazione $g$."
Il mio ragionamento è stato il seguente (vorrei capire se è sensato e corretto):
I momenti delle due forze non sono difficili da calcolre, specie rispetto la base della diga. Per il momento della forza esercitata dall'acqua su tutta l'area ho operato nel seguente modo.
Ho considerato la pressione su tutta l'area della diga. Ad una generica altezza y si ha
$P(y)=P+rhog(D-y)$ ove P è la pressione atmosferica
A questo punto ho calcolato la forza che agisce su un'infinitesima area dA all'altezza y, ossia
$dF = P(y)dA = P(y)Ldy = PLdy + rhogL(D-y)dy$ e quindi integrando rispetto y ottengo
$F = int_()^()dF = int_(A)^()P(y)dA = PL int_(0)^(D)dy + rhogLD int_(0)^(D)dy - rhogL int_(0)^(D)ydy = PLD+1/2rhogLD^2$
In modo analogo ho trovato il momento dell'acqua ponendo $d tau=ydF$ e ricavando per integrazione
$tau=1/2PLD^2+1/6rhogLD^3$
A questo punto dovrebbe essere facile (ma non ne sono convinto)
Rispetto la base della diga ho $tau-F1*h-F2*0=0$ cioè $F1=(tau)/h$
Inoltre F1+F2=F e quindi $F2=F-(tau)/h$
"Una diga di cui solo la sezione è illustrata, è composta di una parete di larghezza L, sostenuta ad un punto h metri dal suolo ($F1$) da una trave inclinata e da un'asta orizzontale al livello del suolo ($F2$). Data la profondità dell'acqua D si ricavino le espressioni per le due forze in funzione dei parametri $D$, $L$, $h$, la densità dell'acqua $rho$ e la costante di gravitazione $g$."
Il mio ragionamento è stato il seguente (vorrei capire se è sensato e corretto):
I momenti delle due forze non sono difficili da calcolre, specie rispetto la base della diga. Per il momento della forza esercitata dall'acqua su tutta l'area ho operato nel seguente modo.
Ho considerato la pressione su tutta l'area della diga. Ad una generica altezza y si ha
$P(y)=P+rhog(D-y)$ ove P è la pressione atmosferica
A questo punto ho calcolato la forza che agisce su un'infinitesima area dA all'altezza y, ossia
$dF = P(y)dA = P(y)Ldy = PLdy + rhogL(D-y)dy$ e quindi integrando rispetto y ottengo
$F = int_()^()dF = int_(A)^()P(y)dA = PL int_(0)^(D)dy + rhogLD int_(0)^(D)dy - rhogL int_(0)^(D)ydy = PLD+1/2rhogLD^2$
In modo analogo ho trovato il momento dell'acqua ponendo $d tau=ydF$ e ricavando per integrazione
$tau=1/2PLD^2+1/6rhogLD^3$
A questo punto dovrebbe essere facile (ma non ne sono convinto)
Rispetto la base della diga ho $tau-F1*h-F2*0=0$ cioè $F1=(tau)/h$
Inoltre F1+F2=F e quindi $F2=F-(tau)/h$
Risposte
Innanzitutto, lascia stare la pressione atmosferica, che agisce sia sulla superficie dell'acqua che all'esterno. Le due forze hanno intensità che dipende dalla sola pressione relativa.
Poi, sai come tracciare il diagramma delle pressioni relative agenti sulla diga, dovute all'acqua? Ha sezione triangolare, parte da zero sulla superficie libera e ha il valore massimo sul fondo.
La spinta $S$ con cui l'acqua agisce sulla diga è proporzionale all'area del diagramma delle pressioni, moltiplicato la larghezza perpendicolare al foglio. La retta di azione di tale spinta passa per il baricentro del diagramma delle pressioni, cioè il baricentro del diagramma triangolare detto.
Una volta nota la spinta $S$ esercitata dall'acqua, in intensità e retta di azione, è facile scrivere due equazioni:
1) eq. di equilibrio alla traslazione orizzontale : $ F_1 + F_2 - S = 0 $
2) eq. alla rotazione, assumendo come polo, ad esempio, il piede della diga.
Poi, sai come tracciare il diagramma delle pressioni relative agenti sulla diga, dovute all'acqua? Ha sezione triangolare, parte da zero sulla superficie libera e ha il valore massimo sul fondo.
La spinta $S$ con cui l'acqua agisce sulla diga è proporzionale all'area del diagramma delle pressioni, moltiplicato la larghezza perpendicolare al foglio. La retta di azione di tale spinta passa per il baricentro del diagramma delle pressioni, cioè il baricentro del diagramma triangolare detto.
Una volta nota la spinta $S$ esercitata dall'acqua, in intensità e retta di azione, è facile scrivere due equazioni:
1) eq. di equilibrio alla traslazione orizzontale : $ F_1 + F_2 - S = 0 $
2) eq. alla rotazione, assumendo come polo, ad esempio, il piede della diga.
[xdom="JoJo_90"]@Domcobb, secondo quanto previsto dal regolamento (cfr. par. 3.6.) il testo del problema deve essere scritto nel corpo del messaggio. Ti invito pertanto a modificare il tuo messaggio.[/xdom]
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