Problema di relatività ristretta

[Fab527]

"Un osservatore in un sistema di riferinto $ S $ ha le seguenti coordinate per due eventi:

$ x_1 = 6*10^4 $ m, $ y_1 = z_1 = 0 $, $t_1 = 2*10^-4 $ s
$ x_2 = 12*10^4 $ m, $ y_2 = z_2 = 0 $, $t_2 = 1*10^-4 $ s

In un secondo sistema di riferimento $ S' $ i due eventi sono osservati come simultanei. Determinare la velocità relativa dei due sistemi di riferimento $ S $ e $ S' $ e la posizione dei due eventi in $ S' $. Esiste un sistema di riferimento in cui i due eventi accadono nello stesso posto?"

Ho risposto per prima all'ultima domanda: se $ s^2 $ è l'invariante di Lorentz, allora $ s^2 = (x_2 - x_1)^2 - c^2 (t_2 - t_1)^2 = 27*10^8$ m, quindi si ha distanza di tipo spazio e non esiste un sistema di riferimento in cui i due eventi accadono nello stesso posto.

Per trovare la velocità relativa dei due sistemi ho pensato di procedere come segue:

$ s^2 = x'_2 - x'_1 - c^2 * 0 = sqrt(27*10^8) = 51961.5243 $ e poi dalla trasformata di Lorentz

$ Delta x' = gamma (Delta x - v * Delta t) $ tuttavia il conto non mi torna (mi vengono velocità immaginarie) quindi sto probabilmente sbagliando qualcosa. Inoltre come trovo le posizioni in $ S' $?

[Sk_Anonymous]

Innanzitutto ti conviene trasformare i tempi $t$ in unità di spazio $ct$ , moltiplicando i valori per $c = 3*10^8 m/s$ , così hai tute le coordinate, sia temporali che spaziali, espresse in metri. Si ha :

EV1 :

$ct_1 = 6*10^4m$

$x_1 = 6*10^4 m $

EV2 :

$ct_2 = 3*10^4m$

$x_2 = 12*10^4 m $

Poi scrivi le TL tra $S$ in quiete ed $S'$ in moto, per entrambi gli eventi :

EV 1 :

$ ct'_1 = \gamma(ct_1 - v/cx_1)$
$x'_1 = \gamma (x_1 - vt_1)$

EV 2 :

$ ct'_2 = \gamma(ct_2 - v/cx_2)$
$x'_2 = \gamma (x_2 - vt_2)$

Dovendo essere $t'_1 = t'_2$ , basta uguagliare le prime di ciascuna trasformazione .

Risulta : $ v/c = (c(t_2-t_1))/(x_2-x_1) = - 1/2 $

Ho allegato il disegno col diagrmma di Minkowski. Ho tracciato gli assi a partire da EV 1 , ma chiaramente avrei potuto tracciarli da un punto qualunque . Tracciandoli dalla stessa origine di $(ct,x)$ , puoi anche determinare facilmente le coordinate spaziali in $S'$ : basta calcolarle dalle seconde TL scritte sopra.
Non l'ho fatto.

Chiaramente, ciascun evento è fuori del cono di luce dell'altro, quindi il 4-intervallo è di tipo spazio .

[Fab527]

Sfruttando le due TL che trasformano le posizioni io posso ricavarmi la differenza tra le due posizioni in $ S' $: il valore effettivo delle coordinate dipende da dove si trova inizialmente $ S' $...se, come hai disegnato tu, l'origine fosse in uno dei due eventi, sarebbe allora ovvio che una coordinata vale 0 e l'altra il valore della differenza calcolata prima.

Se però $ S' $ è in un altro punto generico, ad esempio come hai detto nell'origine di $ S $, dovrei ricorrere a qualche considerazione geometrica nel diagramma di Minkowski per trovare le coordinate spaziali in $ S' $? Non vedo come si possa fare analiticamente

[Sk_Anonymous]

Analiticamente si può fare, tenendo presente due cose :

1) le TL sono lineari
2)il quadri-intervallo ST è invariante
3) devi eseguire la sola traslazione degli assi $(ct', x')$ nel piano $(ct,x)$ , tenendoli paralleli a se stessi, non rotazioni : se ruoti l'asse $ct'$ rispetto a $ct$ , cambi la velocità di $S'$ rispetto a $S$ , giusto ? E allora devi ruotare l'asse $x'$ rispetto a $x$ nel verso opposto rispetto alla rotazione dell'asse dei tempi: insomma i due assi si aprono o si chiudono come una forbice. Questo significa che la geometria del piano di Minkowski è iperbolica.

Se quindi lasci invariata la velocità $v$ di $S'$ rispetto a $S$ , e perciò anche $\gamma$ non cambia , puoi fare un traslazione ponendo, ad esempio :

$x' = x'' + h$
$t' = t'' + k$

e cosi ottieni le TL tra $(ct,x)$ e $(ct'', x'')$ .
Inutile precisare che comunque il quadri-intervallo è invariante anche per trasformazioni che comportano rotazioni iperboliche.