Problema di quantistica con teorema di Ehrenfest

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti, avrei una domanda circa la risoluzione di un problema meccanica quantistica usando il teorema di Ehrenfest.

Ecco il testo:
Si consideri il moto unidimensionale di una particella di massa m soggetta al poten-
ziale di oscillatore armonico $ V(x)=1/2m\omega^2x^2 $ La funzione d’onda della particella al tempo $ t=0 $ è data da
$ \psi(x,0)=(\frac{\gamma}{\pi})^(1/4)e^(\gammax^2/2) $ .
Calcolare , al variare di $ \gamma in R_(+),\Deltax(t)\Deltap(t) $ .
Come si confronta i risultato ottenuto con il limite inferiore imposto dal principio di Heisenberg?

Il problema come suggerimento mi da di usare i teorema di Ehrenfest e di risolvere esplicitamente le equazioni per l'oscillatore armonico e di esprimere $ \Deltax(t)\Deltap(t) $ in funzione del tempo e dei valori di aspettazione $ X,P,X^2,P^2 $ al tempo $ t=0 $ .
Ora... io scrivo il il risultato del teorema per questo problema e ho

$ { ( d/dt =\frac{

}{m} ),( d/dt

=-m\omega^2 ):} $

Il problema è che non capisco come si risolva...
Il risultato dovrebbe venirmi
$ { ( (t)=cos(\omegat)(0)+\frac{sin(\omegat)}{momega}

(0)),(

(t)=cos(\omegat)

(0)+m\omegasin(\omegat)(0) ):} $

ma ho difficoltà. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie

[Sk_Anonymous]

Quella $psi(x,0)$ non è normalizzabile. Non è che ci stava un segno $-$ davanti all'esponente?

Comunque, basta che ti ricavi $

$ in funzione di $$ nella prima equazione, e sostituisci nella seconda. Dovrebbe venirti fuori un'equazione dell'oscillatore armonico, da cui ottieni $$ in funzione di $t$ con due costanti di integrazione. Risostituisci nella prima e trovi anche $

$. Valutando i risultati per $t=0$ ricavi i valori delle due costanti, in funzione di $$ e $$

[Sk_Anonymous]

Ciao, si allora, davanti all'esponenziale ci voleva un meno, ho sbagliato io a scrivere.

okay mi viene!
Grazie mille dell'aiuto