Problema di meccanica(quantità di moto)

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti vi posto questo problema di meccanica,sn stato un'pò a provare a risolverlo ma proprio non mi riesce... http://www2.ing.unipi.it/g.triggiani/fi ... 2-1011.pdf quello che devo risolvere è il problema numero 1,sinceramente non riesco a partire ho scritto le equazioni dei moto non ci cavo nulla qualcuno può darmi qualche dritta per come partire ad impostare il problema?

[Falco5x]

Devi impostare le equazioni di invarianza della quantità di moto totale nelle sue componenti x e y, e l'invarianza dell'energia cinetica totale, e dopo alcuni (macchinosi) passaggi algebrici esce una equazione di secondo grado, il cui discriminante è positivo solo per valori dell'angolo (dopo l'urto) inferiori a un certo valore limite.
Mi sembra strano che venga dato un problema con calcoli così apparentemente repulsivi (anche se alla fne non lo sono poi tanto).
La mia soluzione verrebbe[tex]{\alpha _{\max }} = \arccos \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}} \right)}^2}}[/tex], se non ho sbagliato qualcosa

[Sk_Anonymous]

nono anzi se ti vengono calcoli macchinosi penso sia giusto tutti i problemi del mio prof di fisica sono con una buona parte di analisi,cmq anchio avevo impostato le equazioni dei moto vabbè la prima con la conservazione dell'energia cinetica...la secondo del tipo mv(x)=mv'(x)+mv''(x) e poi con la y...mv(y)=ecc.. così dicevi? grazie cmq

[Falco5x]

Nota: naturalmente la soluzione che ho indicato si può scrivere più semplicemente [tex]{\alpha _{\max }} = \arcsin \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}[/tex]

Detto questo scrivo le relazioni cui facevo riferimento:

[tex]\begin{array}{l}
{p_1}\cos \alpha + {p_2}\cos \beta = p \\
{p_1}\sin \alpha + {p_2}\sin \beta = 0 \\
{p_1}^2 + {p_2}^2\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} = {p^2} \\
\end{array}[/tex]

p = quantità di moto del corpo 1 prima dell'urto, p1 = q.m. del corpo 1 dopo l'urto, P2 = q.m. del corpo 2 dopo l'urto, alfa = angolo della p1 rispetto alla p, beta = angolo della p2 rispetto alla p

Partendo da queste dovresti trovare la soluzione che ho indicato, vedi un po' se ti riesce altrimenti posto i miei passaggi.

[vittorino70]

Mi viene un risultato eguale.Applicando le due leggi nominate ho il sistema ( vedi figura):
\(\displaystyle \begin{cases} m_1\vec{v_1}+m_2\vec{v_2} =m_1\vec{v}\\ m_1v_1^2+m_2v_2^2=m_1v^2\end{cases}\)
La prima equazione si può trasformare in un'equazione scalare col teorema di Carnot e dunque :
\(\displaystyle \begin{cases} m_1^2v_1^2+m_1^2v^2-2m_1^2vv_1\cos\theta=m_2^2v_2^2\\ m_1v_1^2+m_2v_2^2=m_1v^2\end{cases}\)
Eliminando \(\displaystyle v_2^2 \) e risolvendo rispetto al coseno ,con un pò di calcoli ( ) si giunge a :
(A) \(\displaystyle \cos\theta= \frac{1}{2}(1+\frac{m_2}{m_1} )\frac{v_1}{v} +\frac{1}{2}(1-\frac{m_2}{m_1} )\frac{v}{v_1} \)
Il minimo del coseno ( che poi corrisponde al massimo dell'angolo ,dato che il coseno nel primo quadrante è decrescente)
si può avere senza ricorrere alle derivate ma osservando che i due addendi a secondo membro hanno prodotto costante
\(\displaystyle \frac{1}{4}(1-(\frac{m_2}{m_1})^2 \)) e quindi il minimo del coseno si ottiene quando questi addendi sono uguali:
\(\displaystyle \frac{1}{2}(1+\frac{m_2}{m_1} )\frac{v_1}{v} =\frac{1}{2}(1-\frac{m_2}{m_1} )\frac{v}{v_1} \)
da cui ricavo che:
\(\displaystyle v_1=v\sqrt{\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}} \)
che sostituito nella (A) porta a :
\(\displaystyle \cos\theta =\sqrt{1-(\frac{m_2}{m_1})^2}\)
Oppure :
\(\displaystyle \sin\theta =\frac{m_2}{m_1}\)
Chiedo scusa a Falco5x per averlo anticipato ma ho impiegato tanto di quel tempo a scrivere la risposta e ...non volevo perderlo !

[Sk_Anonymous]

grazie a tutti e 2 per le soluzioni e complimenti a vittorino per il bellissimo disegno,però vi confesso meno male che l'esame è tra sei mesi perchè non ci avrei mai pensato alla soluzione,soprattutto quando usi carnot...Ma vi chiedi scusate l'ignoranza e forse la domanda magari banale si poteva risolvere il problema dal centro di massa e se si sarebbe stato conveniente?

[Falco5x]

"vittorino70":Chiedo scusa a Falco5x per averlo anticipato ma ho impiegato tanto di quel tempo a scrivere la risposta e ...non volevo perderlo !

non ti preoccupare, capisco perfettamente e approvo i tuoi sforzi.
Già che ci siamo presento il mio svolgimento che non coinvolge Carnot, con presumibile sollievo di fuce93

[tex]\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{p_1}\cos \alpha + {p_2}\cos \beta = p \\
{p_1}\sin \alpha + {p_2}\sin \beta = 0 \\
{p_1}^2 + {p_2}^2\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} = {p^2} \\
\end{array} \right. \\
\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} = {k^2} \\
{p_2}^2 = \frac{{{p^2} - {p_1}^2}}{{{k^2}}} \\
\frac{{{p_1}^2}}{{{p_2}^2}}{\sin ^2}\alpha = {\sin ^2}\beta = 1 - {\cos ^2}\beta \\
{\cos ^2}\beta = 1 - \frac{{{p_1}^2}}{{{p_2}^2}}{\sin ^2}\alpha \\
{p_2}^2{\cos ^2}\beta = {p^2} - 2p{p_1}\cos \alpha + {p_1}^2{\cos ^2}\alpha \\
{p_2}^2\left( {1 - \frac{{{p_1}^2}}{{{p_2}^2}}{{\sin }^2}\alpha } \right) = {p^2} - 2p{p_1}\cos \alpha + {p_1}^2{\cos ^2}\alpha \\
{p_2}^2 = {p^2} - 2p{p_1}\cos \alpha + {p_1}^2{\cos ^2}\alpha + {p_1}^2{\sin ^2}\alpha \\
{p^2} - 2p{p_1}\cos \alpha + {p_1}^2{\cos ^2}\alpha + {p_1}^2{\sin ^2}\alpha = \frac{{{p^2} - {p_1}^2}}{{{k^2}}} \\
{k^2}{p^2} - {p^2} - 2{k^2}p{p_1}\cos \alpha + {p_1}^2 + {k^2}{p_1}^2{\cos ^2}\alpha + {k^2}{p_1}^2{\sin ^2}\alpha = 0 \\
\left( {{k^2} + 1} \right){p_1}^2 - 2{k^2}p{p_1}\cos \alpha + \left( {{k^2} - 1} \right){p^2} = 0 \\
\frac{{{p_1}}}{P} = r \\
\left( {{k^2} + 1} \right){r^2} - 2r{k^2}\cos \alpha + \left( {{k^2} - 1} \right) = 0 \\
r = \frac{{{k^2}\cos \alpha \pm \sqrt {{k^4}{{\cos }^2}\alpha - \left( {{k^2} + 1} \right)\left( {{k^2} - 1} \right)} }}{{\left( {{k^2} + 1} \right)}} \\
{k^4}{\cos ^2}\alpha - \left( {{k^2} + 1} \right)\left( {{k^2} - 1} \right) \ge 0 \\
\cos \alpha \ge \sqrt {1 - \frac{1}{{{k^4}}}} \\
{\alpha _{\max }} = \arccos \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}} \right)}^2}} \\
{\alpha _{\max }} = \arcsin \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} \\
\end{array}[/tex]

[Sk_Anonymous]

aah che sollievo davvero grande falco!