Problema di meccanica rotazionale
Ringrazio infinitamente TeM per la conferma della risposta dell’esercizio precedente.
Il professore ha dato per le vacanze anche questo esercizio da risolvere ma sempre senza la risposta.
Ringrazio in anticipo chiunque ne possa controllare la correttezza.
Una ruota di raggio r = 0.20m è montata su un asse orizzontale privo di attrito. Una corda priva di massa avvolta intorno alla ruota porta fissata all'estremità libera un oggetto di massa 2 kg che scivola senza attrito su di un piano orizzontale . L'oggetto è tirato orizzontalmente da una forza P= 3N che va verso destra.
Qual è l'accelerazione angolare? sapendo che il momento di inerzia è 0,050 kg m2
Io l’ho risolto così:
Lungo l’asse orizzontale agiscono la tensione della corda e la forza applicata. Lungo l’asse verticale la forza peso e la normale. Quindi:
F – T = m*ax
N – mg = m*ay = 0 (il corpo non si solleva)
Il momento della forza che agisce sulla ruota è pari a –T*R ed è negativo perché fa ruotare la ruota in senso orario. Quindi –T*R = alfa * I
Ma alfa, accelerazione angolare è paria ad a/R.
Quindi le equazioni risolventi a sistema diventano:
- T*R^2 = a*I
F – T = m*ax
ax = (F-T)/m = (3-T)/2
Sostituendo ax in - T*R^2 = ax*I ho ottenuto:
-T*(0,2)^2 = (3-T)/2 * 0,05
-T * 0,08 = (3-T)*0,05
-T*0,03 = 0,15
T = -5 N
ax = (3-T)/2 = 8/2 = 4 m/s2
Da cui alfa = ax/R = 20 rad/s2
La mia risposta è quindi 20 rad/s2
Il professore ha dato per le vacanze anche questo esercizio da risolvere ma sempre senza la risposta.
Ringrazio in anticipo chiunque ne possa controllare la correttezza.
Una ruota di raggio r = 0.20m è montata su un asse orizzontale privo di attrito. Una corda priva di massa avvolta intorno alla ruota porta fissata all'estremità libera un oggetto di massa 2 kg che scivola senza attrito su di un piano orizzontale . L'oggetto è tirato orizzontalmente da una forza P= 3N che va verso destra.
Qual è l'accelerazione angolare? sapendo che il momento di inerzia è 0,050 kg m2
Io l’ho risolto così:
Lungo l’asse orizzontale agiscono la tensione della corda e la forza applicata. Lungo l’asse verticale la forza peso e la normale. Quindi:
F – T = m*ax
N – mg = m*ay = 0 (il corpo non si solleva)
Il momento della forza che agisce sulla ruota è pari a –T*R ed è negativo perché fa ruotare la ruota in senso orario. Quindi –T*R = alfa * I
Ma alfa, accelerazione angolare è paria ad a/R.
Quindi le equazioni risolventi a sistema diventano:
- T*R^2 = a*I
F – T = m*ax
ax = (F-T)/m = (3-T)/2
Sostituendo ax in - T*R^2 = ax*I ho ottenuto:
-T*(0,2)^2 = (3-T)/2 * 0,05
-T * 0,08 = (3-T)*0,05
-T*0,03 = 0,15
T = -5 N
ax = (3-T)/2 = 8/2 = 4 m/s2
Da cui alfa = ax/R = 20 rad/s2
La mia risposta è quindi 20 rad/s2
Risposte
Senza un disegno, è difficile capire bene. Ma penso di aver capito ugualmente.
Se la forza che tira la massa verso destra vale $F=3N$ , può mai essere che la tensione nella fune posta tra la massa e la ruota sia superiore ad $F$ ? La tensione deve risultare inferiore.
Rifletti : l'errore deriva dai segni . I segni spesso fregano gli studenti .
Metti un disegno, sarà meglio.
Se la forza che tira la massa verso destra vale $F=3N$ , può mai essere che la tensione nella fune posta tra la massa e la ruota sia superiore ad $F$ ? La tensione deve risultare inferiore.
Rifletti : l'errore deriva dai segni . I segni spesso fregano gli studenti .
Metti un disegno, sarà meglio.
Grazie mille per la segnalazione dell'errore.
Inserisco il disegno con il diagramma delle forze; l'errore che commetto è probabilmente legato al segno del momento angolare nell'equazione dei momenti. La ruota gira in senso orario, il suo momento è negativo e quindi anche la sua accelerazione angolare; il blocco accelera verso destra e quindi nel verso positivo delle ascisse.
Quindi:
$ T*r = \alpha*I $
$ F-T=ma $ da cui $ 3-T=2*a $
Sostituendo $\alpha = (a)/(r) $ nella prima equazione e tenendo conto che $ a=(3-T)/2 $ e che I = 0,05 ho ottenuto:
$ T*0,2^2=(3-T)/2*0,05 $
$ 0,13*T=0,15 $
$ T~~ 1,1538 N $
Quindi
$ a = (3-T)/2 ~~ 0,9231 m/s^2 $
$ \alpha = a/r = (0,9231)/(0,2)~~ 4,6155 (rad)/s^2 $
La risposta finale è:
$ \alpha = 4,6155 (rad)/s^2 $
Ma dovrebbe avere il segno meno...
Sarei felicissimo se qualcuno controllasse la correttezza del procedimento
Inserisco il disegno con il diagramma delle forze; l'errore che commetto è probabilmente legato al segno del momento angolare nell'equazione dei momenti. La ruota gira in senso orario, il suo momento è negativo e quindi anche la sua accelerazione angolare; il blocco accelera verso destra e quindi nel verso positivo delle ascisse.
Quindi:
$ T*r = \alpha*I $
$ F-T=ma $ da cui $ 3-T=2*a $
Sostituendo $\alpha = (a)/(r) $ nella prima equazione e tenendo conto che $ a=(3-T)/2 $ e che I = 0,05 ho ottenuto:
$ T*0,2^2=(3-T)/2*0,05 $
$ 0,13*T=0,15 $
$ T~~ 1,1538 N $
Quindi
$ a = (3-T)/2 ~~ 0,9231 m/s^2 $
$ \alpha = a/r = (0,9231)/(0,2)~~ 4,6155 (rad)/s^2 $
La risposta finale è:
$ \alpha = 4,6155 (rad)/s^2 $
Ma dovrebbe avere il segno meno...
Sarei felicissimo se qualcuno controllasse la correttezza del procedimento
"RobStam":
Grazie mille per la segnalazione dell'errore.
Inserisco il disegno con il diagramma delle forze; l'errore che commetto è probabilmente legato al segno del momento angolare nell'equazione dei momenti. La ruota gira in senso orario, il suo momento è negativo e quindi anche la sua accelerazione angolare; il blocco accelera verso destra e quindi nel verso positivo delle ascisse.
Quindi:
$ T*r = \alpha*I $
$ F-T=ma $ da cui $ 3-T=2*a $
Sostituendo $\alpha = (a)/(r) $ nella prima equazione e tenendo conto che $ a=(3-T)/2 $ e che I = 0,05 ho ottenuto:
$ T*0,2^2=(3-T)/2*0,05 $
$ 0,13*T=0,15 $
$ T~~ 1,1538 N $
Quindi
$ a = (3-T)/2 ~~ 0,9231 m/s^2 $
$ \alpha = a/r = (0,9231)/(0,2)~~ 4,6155 (rad)/s^2 $
La risposta finale è:
$ \alpha = 4,6155 (rad)/s^2 $
Ma dovrebbe avere il segno meno...
Sarei felicissimo se qualcuno controllasse la correttezza del procedimento
Ah, questi benedetti segni ! Gli studenti svolgono gli esercizi facendo attenzione a non sbagliare i segni….e sbagliano per colpa dei segni ! 
In realtà, bisogna capire in primo luogo che le equazioni della meccanica sono equazioni vettoriali ! Solo quando vai a proiettarle sugli assi diventano equazioni scalari.
Allora, nel tuo disegno metti l'asse $x$ orizzontale orientato verso destra (come $vecF$) ; l'asse $y$ verticale orientato verso l'alto (come $vecN$ ) ; di conseguenza , per avere la solita terna destrorsa, l'asse $z$ deve essere orientato dal foglio verso di te, d'accordo ?
Ora considera le due forze agenti sulla massa $m$ , cioè $vecF$ e $vecT$ , che hai disegnato correttamente. La prima equazione cardinale della dinamica applicata alla massa $m$ dice che :
$vecF + vecT = mveca$ ------(1)
quando vai a proiettare questa equazione sull'asse $x$ , siccome $vecT*hati = -T $ (perché?) ottieni :
$F-T = ma$ -------(2)
che è l'equivalente scalare della (1) . Ti faccio notare che $-T$ è la componente di $vecT$ (quello agente su $m$) rispetto all'asse $x$ , e una componente ha un segno, mentre $T$ rappresenta solo il modulo, o valore, o grandezza, del vettore stesso, per cui il segno di $T$ è intrinsecamente positivo. Spesso gli studenti non distinguono correttamente tra vettore, componente, e modulo.
Quando poi vai a considerare la forza che agisce tramite il filo sulla carrucola, essa in realtà va scritta come vettore $-vecT$ , ma questo non significa che è negativa, significa solo che si tratta del vettore opposto al vettore $vecT$ che agiva sulla massa: è chiaro questo ? Non esistono vettori "negativi" per definizione, esistono solo vettori "opposti" di altri vettori.
Allora , la seconda equazione cardinale della dinamica applicata alla carrucola dice che :
$vecM_e = vecRxx(vec(-T)) = (dvecL)/(dt) = I (dvec\omega)/(dt) = I vec\alpha$ -------(3)
Il vettore $\vec\alpha$ è diretto come il vettore $vecM_e$ , cioè sono entrambi diretti secondo l'asse $z$ ma nel verso opposto al versore $hatk$ di tale asse , insomma "entrano nel foglio" , per intenderci, mentre $hatk$ ne esce.
Perciò quando proietti la (3) sull'asse $z$ ottieni : $-TR = -I\alpha$ -------(4)
Anche qui, occorre distinguere tra "componenti" e "moduli", ma non ripeto quello che ho già detto.
LE due equazioni scalari (2) e (4) , con la condizione aggiuntiva che $\alpha = a/R$ (moduli!!) , risolvono il problema.
Ti dirò che il procedimento e il valore che hai ricavato sono giusti.
L'osservazione che fai : "…ma $\alpha$ dovrebbe essere negativa..." in realtà ha già avuto risposta dal fatto che il vettore $vec\alpha$ è orientato nel verso negativo dell'asse $z$ , quindi la sua componente su $z$ è negativa. Invece il modulo $\alpha$ ….è un modulo.
D'altronde, pensa che questa storia dei segni è tutta una questione di convenzioni . Potrei per esempio orientare l'asse $y$ positivamente verso il basso, e allora l'orientazione positiva di $z$ per avere la solita terna destrorsa, sarebbe quella entrante nel foglio, giusto? Quindi i vettori $vecM_e$ e $vec\alpha$ sarebbero orientati nel verso positivo di $z$.
Oppure potrei adottare una convenzione diversa per le rotazioni, e dire che sono positive le rotazioni orarie. E non avrei problemi in questo caso.
In sintesi, è importante ricordare :
1) che le equazioni della meccanica sono essenzialmente vettoriali
2) che proiettando su un asse un vettore ne abbiamo la componente , in valore e segno.
3) che il modulo del vettore è una quantità positiva
4)§ che quelle sui segni sono solo convenzioni, create apposta per far impazzire gli studenti
In realtà, bisogna capire in primo luogo che le equazioni della meccanica sono equazioni vettoriali ! Solo quando vai a proiettarle sugli assi diventano equazioni scalari.
Allora, nel tuo disegno metti l'asse $x$ orizzontale orientato verso destra (come $vecF$) ; l'asse $y$ verticale orientato verso l'alto (come $vecN$ ) ; di conseguenza , per avere la solita terna destrorsa, l'asse $z$ deve essere orientato dal foglio verso di te, d'accordo ?
Ora considera le due forze agenti sulla massa $m$ , cioè $vecF$ e $vecT$ , che hai disegnato correttamente. La prima equazione cardinale della dinamica applicata alla massa $m$ dice che :
$vecF + vecT = mveca$ ------(1)
quando vai a proiettare questa equazione sull'asse $x$ , siccome $vecT*hati = -T $ (perché?) ottieni :
$F-T = ma$ -------(2)
che è l'equivalente scalare della (1) . Ti faccio notare che $-T$ è la componente di $vecT$ (quello agente su $m$) rispetto all'asse $x$ , e una componente ha un segno, mentre $T$ rappresenta solo il modulo, o valore, o grandezza, del vettore stesso, per cui il segno di $T$ è intrinsecamente positivo. Spesso gli studenti non distinguono correttamente tra vettore, componente, e modulo.
Quando poi vai a considerare la forza che agisce tramite il filo sulla carrucola, essa in realtà va scritta come vettore $-vecT$ , ma questo non significa che è negativa, significa solo che si tratta del vettore opposto al vettore $vecT$ che agiva sulla massa: è chiaro questo ? Non esistono vettori "negativi" per definizione, esistono solo vettori "opposti" di altri vettori.
Allora , la seconda equazione cardinale della dinamica applicata alla carrucola dice che :
$vecM_e = vecRxx(vec(-T)) = (dvecL)/(dt) = I (dvec\omega)/(dt) = I vec\alpha$ -------(3)
Il vettore $\vec\alpha$ è diretto come il vettore $vecM_e$ , cioè sono entrambi diretti secondo l'asse $z$ ma nel verso opposto al versore $hatk$ di tale asse , insomma "entrano nel foglio" , per intenderci, mentre $hatk$ ne esce.
Perciò quando proietti la (3) sull'asse $z$ ottieni : $-TR = -I\alpha$ -------(4)
Anche qui, occorre distinguere tra "componenti" e "moduli", ma non ripeto quello che ho già detto.
LE due equazioni scalari (2) e (4) , con la condizione aggiuntiva che $\alpha = a/R$ (moduli!!) , risolvono il problema.
Ti dirò che il procedimento e il valore che hai ricavato sono giusti.
L'osservazione che fai : "…ma $\alpha$ dovrebbe essere negativa..." in realtà ha già avuto risposta dal fatto che il vettore $vec\alpha$ è orientato nel verso negativo dell'asse $z$ , quindi la sua componente su $z$ è negativa. Invece il modulo $\alpha$ ….è un modulo.
D'altronde, pensa che questa storia dei segni è tutta una questione di convenzioni . Potrei per esempio orientare l'asse $y$ positivamente verso il basso, e allora l'orientazione positiva di $z$ per avere la solita terna destrorsa, sarebbe quella entrante nel foglio, giusto? Quindi i vettori $vecM_e$ e $vec\alpha$ sarebbero orientati nel verso positivo di $z$.
Oppure potrei adottare una convenzione diversa per le rotazioni, e dire che sono positive le rotazioni orarie. E non avrei problemi in questo caso.
In sintesi, è importante ricordare :
1) che le equazioni della meccanica sono essenzialmente vettoriali
2) che proiettando su un asse un vettore ne abbiamo la componente , in valore e segno.
3) che il modulo del vettore è una quantità positiva
4)§ che quelle sui segni sono solo convenzioni, create apposta per far impazzire gli studenti
Grazie infinite!!!
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