Problema di meccanica - Resistenza del mezzo
Su di un fiume fa servizio una barca, capace di una velocità massima $v _max = 15 frac{km}{h}$ ;
se $u = 5.5 frac{km}{h}$ è la velocità della corrente rispetto alle sponde del fiume ed $R = c v ^2$ (con $c = 10^3 frac{N}{(m s^{-1})^2}$) la resistenza che la barca incontra nel suo moto rispetto all’acqua, si determinino:
a) l’energia che deve essere fornita dal motore della barca per farle percorrere controcorrente 1 km, marciando alla velocità massima;
b) la velocità (relativa all’acqua) della barca che rende minima l'energia erogata dal motore su di un percorso controcorrente di 1 km, a velocità costante (velocità più economica).
______________
Allora...
La velocità effettiva $v$ è data da $v = v _max - u$
Poiché la barca si muove a velocità costante la forza $F$ applicata sulla barca deve essere uguale alla resistenza del mezzo, quindi $F=cv^2$
L'energia è uguale al lavoro, quindi $E=Fs=cv^2 s$
Questa prima parte è corretta?
E il punto b come si imposta?
Grazie anticipatamente!
se $u = 5.5 frac{km}{h}$ è la velocità della corrente rispetto alle sponde del fiume ed $R = c v ^2$ (con $c = 10^3 frac{N}{(m s^{-1})^2}$) la resistenza che la barca incontra nel suo moto rispetto all’acqua, si determinino:
a) l’energia che deve essere fornita dal motore della barca per farle percorrere controcorrente 1 km, marciando alla velocità massima;
b) la velocità (relativa all’acqua) della barca che rende minima l'energia erogata dal motore su di un percorso controcorrente di 1 km, a velocità costante (velocità più economica).
______________
Allora...
La velocità effettiva $v$ è data da $v = v _max - u$
Poiché la barca si muove a velocità costante la forza $F$ applicata sulla barca deve essere uguale alla resistenza del mezzo, quindi $F=cv^2$
L'energia è uguale al lavoro, quindi $E=Fs=cv^2 s$
Questa prima parte è corretta?
E il punto b come si imposta?
Grazie anticipatamente!
Risposte
"zonia3000":
La velocità effettiva $v$ è data da $v = v _max - u$
Poiché la barca si muove a velocità costante la forza $F$ applicata sulla barca deve essere uguale alla resistenza del mezzo, quindi $F=cv^2$
L'energia è uguale al lavoro, quindi $E=Fs=cv^2 s$
Questa prima parte è corretta?
Uhmmm......
Ma secondo te nella formula finale dell'energia v quanto vale? è uguale a vmax? e s quanto vale? 1 km?
No, v l'ho definita prima come $v=v _max - u$, mentre s è appunto un 1km
Allora non va bene perché la resistenza non è proporzionale al quadrato della velocità assoluta ma al quadrato della velocità relativa rispetto all'acqua.
Un'altra cosa: è giusto quel valore di $c = 10^3$?
Mi sembra strano, questa resistenza è eccessiva, la barca per fare 15 km/h dovrebbe avere una potenza di oltre 3000 cavalli!
Un'altra cosa: è giusto quel valore di $c = 10^3$?
Mi sembra strano, questa resistenza è eccessiva, la barca per fare 15 km/h dovrebbe avere una potenza di oltre 3000 cavalli!
Ah ok, grazie... Quindi ho $E=c v _max ^2 s$ con $s=1 km$
Per il punto b) suppongo che devo fare la derivata dell'energia e porla uguale a 0... ma così trovo $v=0$, il che ha anche senso ma così la barca non percorre di certo 1 km controcorrente... come si fa?
Cmq il valore di c è corretto
Per il punto b) suppongo che devo fare la derivata dell'energia e porla uguale a 0... ma così trovo $v=0$, il che ha anche senso ma così la barca non percorre di certo 1 km controcorrente... come si fa?
Cmq il valore di c è corretto
"zonia3000":
Ah ok, grazie... Quindi ho $E=c v _max ^2 s$ con $s=1 km$
No, perchè se lavori in velocità relativa rispetto all'acqua la barca percorre di più di un km. Devi dunque scoprire quanta strada fa la barca relativamente all'acqua e mettere questo valore nella formula,
"zonia3000":
Per il punto b) suppongo che devo fare la derivata dell'energia e porla uguale a 0... ma così trovo $v=0$, il che ha anche senso ma così la barca non percorre di certo 1 km controcorrente... come si fa?
Cmq il valore di c è corretto
Non ti viene perchè metti s=1km. Devi modificare come ti ho detto al punto precedente.
Quel valore di c è fuori di ogni logica. Deve essere sbagliato per forza.
Lo spostamento non è solo 1 Km, ma è la "lunghezza" dell'acqua passata sotto la barca!
Bisogna quindi calcolare quanto avanza l'acqua del fiume mentre la barca percorre il Km!
(calcola il tempo impiegato dalla barca a percorrere il Km e poi moltiplica per la velocità del fiume: ottieni lo spostamento del fiume a cui poi sommi il Km di spostamento della barca!)
Bisogna quindi calcolare quanto avanza l'acqua del fiume mentre la barca percorre il Km!
(calcola il tempo impiegato dalla barca a percorrere il Km e poi moltiplica per la velocità del fiume: ottieni lo spostamento del fiume a cui poi sommi il Km di spostamento della barca!)
Ok, vediamo... Abbiamo:
velocità della barca $v _max = 15 frac{km}{h} = 4.17 frac{m}{s}$ ; velocità del fiume $u = 5.5 frac{km}{h} = 1.53 frac{m}{s}$ ; velocità della barca rispetto alle sponde del fiume $v= v_max - u = 2.64 frac{m}{s}$ ; una distanza $d=1000 m$ da coprire.
Il tempo che la barca impiega per coprire $d$ è:
$t= frac{d}{v} = frac {1000}{2.64}=379" s"$
Lo spazio realmente percorso $s$ è:
$s= v_max t = 4.17 \cdot 379 = 1580" m"$
L'energia è $E=c v _max ^2 s = 10^3 \cdot 4.17 \cdot 1580 = 6 588 600" J"$
Adesso è corretto? [Grazie per la pazienza
]
Qualche suggerimento per il punto b?
@Falco5x: il valore di $c$ sarà poco realistico ma è quello che ha assegnato il prof...
velocità della barca $v _max = 15 frac{km}{h} = 4.17 frac{m}{s}$ ; velocità del fiume $u = 5.5 frac{km}{h} = 1.53 frac{m}{s}$ ; velocità della barca rispetto alle sponde del fiume $v= v_max - u = 2.64 frac{m}{s}$ ; una distanza $d=1000 m$ da coprire.
Il tempo che la barca impiega per coprire $d$ è:
$t= frac{d}{v} = frac {1000}{2.64}=379" s"$
Lo spazio realmente percorso $s$ è:
$s= v_max t = 4.17 \cdot 379 = 1580" m"$
L'energia è $E=c v _max ^2 s = 10^3 \cdot 4.17 \cdot 1580 = 6 588 600" J"$
Adesso è corretto? [Grazie per la pazienza
]Qualche suggerimento per il punto b?
@Falco5x: il valore di $c$ sarà poco realistico ma è quello che ha assegnato il prof...
Occhio che devi prendere il quadrato della velocità!
Per quanto riguarda il punto b devi semplicemente scrivere non i numeri ma la formula che mette in relazione l'energia con la velocità della barca (non Vmax ma una V generica), fare la derivata di E rispetto a V azzerarla e risolvere in V.
Per quanto riguarda il punto b devi semplicemente scrivere non i numeri ma la formula che mette in relazione l'energia con la velocità della barca (non Vmax ma una V generica), fare la derivata di E rispetto a V azzerarla e risolvere in V.
"Falco5x":
Occhio che devi prendere il quadrato della velocità!
Sta distrazione!
Ma la derivata non è $E'=2cvs$ ?? ma allora se la pongo uguale a 0 trovo che la velocità è 0... Quindi non c'è una velocità più economica, se non quella a motore spento?
Grazie tante dell'aiuto che mi hai dato
"zonia3000":
[quote="Falco5x"]Occhio che devi prendere il quadrato della velocità!
Sta distrazione!
Ma la derivata non è $E'=2cvs$ ?? ma allora se la pongo uguale a 0 trovo che la velocità è 0... Quindi non c'è una velocità più economica, se non quella a motore spento?
Grazie tante dell'aiuto che mi hai dato
[/quote]Dimentichi che devi usare la distanza relativa all'acqua, cioè se s=1km questa distanza relativa è $s'=s(v)/(v-u)$. Allora l'energia da minimizzare è $E=cv^2s(v)/(v-u)$. E' questa la relazione da derivare rispetto a v!!!.
Che casino che ho fatto... hai ragione! Non ne ho fatta una giusta in questo esercizio... 
Grazie ancora!
Grazie ancora!
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