Problema di meccanica: molla e conservazione quantità di moto
Buongiorno a tutti, esercitandomi per un esame di fisica sono incappato in un problema la cui risoluzione, trovata da me, è probabilmente sbagliata (confrontandola con il metodo di risoluzione utilizzato dal professore). Il problema è che non riesco a capire in quale punto la mia risoluzione risulti fallace (o miracolosamente esatta e quindi molto più semplice di quella proposta dal professore, ma ne dubito.)
Problema:
Si ha una molla ideale con costante k, lunghezza a riposo $ z_0 $ e $ z_e $ lunghezza di equilibrio con la massa m1 appoggiata.
Se una massa m2, inizialmente posta a una distanza h sopra m1 (quest’ultima ferma nella posizione di equilibrio), è fatta cadere sulla massa m1 e rimane attaccata ad essa, c) si determini l’altezza massima $ z_max $ a cui m1+m2 arrivano quando la molla si allunga nuovamente e lancia le due masse verso l’alto (supponendo che la molla si possa staccare dal piano orizzontale).
Immagine:
Risoluzione ottenuta da me:
Utilizzo la conservazione della quantità di moto : $ m_2*V_2 = (m_1 + m_2)*V_12 $ ----> $ V_12 = (m_2*(2*g*h)^(1/2))/(m_1+m_2) $ in cui $ (2*g*h)^(1/2) = V_2 $ dalla conservazione dell'energia meccanica.
Ora considerando che abbiamo la velocià della due mazze all'"impatto" con la molla e sapendo che la forza elastica è una forza conservativa tale sarà anche la velocità di uscita dalla molla all'altezza $ z_e $ e quindi grazie alla conservazione dell'energia meccanica si può calcolare l'altezza h' raggiunta: $ h' = (((m_2)^2)*2*h)/(2*(m_1+m_2)^2) $ alla quale va poi aggiunta l'altezza $ z_e $ per ottenere l'altezza dal suolo.
Risoluzione del professore che ha ideato l'esercizio:
All'inizio credevo fosse solo una differenza di risultato data dal diverso sistema di riferimento usato (Io considero l'altezza $ z_e $ come punto 0 dell'energia potenziale del peso ) ma, data la presenza della costante elastica della molla nella sua soluzione, deduco che non sia così.
Vi ringrazio in anticipo per l'impegno nel trovare un modo per aiutarmi a comprendere cosa non sto considerando (erroneamente) e che non riesco a dedurre dalla soluzione presentata. Grazie
Problema:
Si ha una molla ideale con costante k, lunghezza a riposo $ z_0 $ e $ z_e $ lunghezza di equilibrio con la massa m1 appoggiata.
Se una massa m2, inizialmente posta a una distanza h sopra m1 (quest’ultima ferma nella posizione di equilibrio), è fatta cadere sulla massa m1 e rimane attaccata ad essa, c) si determini l’altezza massima $ z_max $ a cui m1+m2 arrivano quando la molla si allunga nuovamente e lancia le due masse verso l’alto (supponendo che la molla si possa staccare dal piano orizzontale).
Immagine:
Risoluzione ottenuta da me:
Utilizzo la conservazione della quantità di moto : $ m_2*V_2 = (m_1 + m_2)*V_12 $ ----> $ V_12 = (m_2*(2*g*h)^(1/2))/(m_1+m_2) $ in cui $ (2*g*h)^(1/2) = V_2 $ dalla conservazione dell'energia meccanica.
Ora considerando che abbiamo la velocià della due mazze all'"impatto" con la molla e sapendo che la forza elastica è una forza conservativa tale sarà anche la velocità di uscita dalla molla all'altezza $ z_e $ e quindi grazie alla conservazione dell'energia meccanica si può calcolare l'altezza h' raggiunta: $ h' = (((m_2)^2)*2*h)/(2*(m_1+m_2)^2) $ alla quale va poi aggiunta l'altezza $ z_e $ per ottenere l'altezza dal suolo.
Risoluzione del professore che ha ideato l'esercizio:
All'inizio credevo fosse solo una differenza di risultato data dal diverso sistema di riferimento usato (Io considero l'altezza $ z_e $ come punto 0 dell'energia potenziale del peso ) ma, data la presenza della costante elastica della molla nella sua soluzione, deduco che non sia così.
Vi ringrazio in anticipo per l'impegno nel trovare un modo per aiutarmi a comprendere cosa non sto considerando (erroneamente) e che non riesco a dedurre dalla soluzione presentata. Grazie
Risposte
Il tuo ragionamento va bene. Come mantieni l'energia meccanica tra il momento in cui le masse ripassano della posizione molla in equilibrio al momento in cui l energia cinetica e' nulla? Forse sbagli I calcoli li?
"professorkappa":
Il tuo ragionamento va bene. Come mantieni l'energia meccanica tra il momento in cui le masse ripassano della posizione molla in equilibrio al momento in cui l energia cinetica e' nulla? Forse sbagli I calcoli li?
Considero che le due masse ripartono con energia cinetica pari a $ frac(1)(2)(m_1+m_2)*(V_12)^2 $ ( $ V_12 $ trovata in precedenza) e uguagliandola ad $ m*g*h' $ trovo h', cioè l'altezza non dal suolo ma dalla posizione di equilibrio della molla con la massa $ m_1 $ appoggiata: $ z_e $, che è anche la posizione di "impatto" con la molla.
Ah.
E no, devi considerare anche l'energia potenziale posseduta dalla molla: la molla, dal momento della ripartenza, a quello in cui va a riposo, fa lavoro.
E non e' mgh'. E' (m1+m2)gh'
E no, devi considerare anche l'energia potenziale posseduta dalla molla: la molla, dal momento della ripartenza, a quello in cui va a riposo, fa lavoro.
E non e' mgh'. E' (m1+m2)gh'
"professorkappa":
Ah.
E no, devi considerare anche l'energia potenziale posseduta dalla molla: la molla, dal momento della ripartenza, a quello in cui va a riposo, fa lavoro.
E non e' mgh'. E' (m1+m2)gh'
Certo, scusa ho sbagliato a scrivere per quanto riguarda l'energia potenziale. Provo ora a risolvere considerando l'energia potenziale "immagazzinata" nella compressione $ z_0 -z_e $ .
Conservazione dell'energia: $ frac (1)(2)*(m_1+m_2)*(V_12)^2 + frac (1)(2)*k*(z_0-z_e)^2 = (m_1+m_2)*g*h' $
Da cui $ h' = ((m_1+m_2)*(V_12)^2 + k (z_0-z_e)^2)/(2*(m_1+m_2)*g) $ .
Sostituendo poi $ V_12 $ con $ m_2*(2*g*h)^(1/2)/(m_1+m_2) $
Trovo $ h' = ((m_2)^2*h)/(m_1+m_2)^2 + (k*(z_0-z_e)^2)/(2*(m_1+m_2)*g) $ .
A questo punto la differenza con la risoluzione del professore potrebbe stare in un errore matematico, mio o suo, credo...
Grazie mille professorkappa
. Se qualcuno dovesse trovare l'errore lo dica 
.
Si, sicuramente una svista. D'altra parte, hai semplicemente fatto quello che ha fatto il professore!
Quella del professore e' sicuramente sbagliata.
A numeratore del secondo membro ha un lavoro $kx^$, quindi per avere uno spostamento a denominatore dovrebbe esserci una forza. Tu la hai (mg). Come minimo manca una g.
Non mi va, sinceramente, di riguardare altri calcoli
A numeratore del secondo membro ha un lavoro $kx^$, quindi per avere uno spostamento a denominatore dovrebbe esserci una forza. Tu la hai (mg). Come minimo manca una g.
Non mi va, sinceramente, di riguardare altri calcoli
"professorkappa":
Quella del professore e' sicuramente sbagliata.
A numeratore del secondo membro ha un lavoro $kx^$, quindi per avere uno spostamento a denominatore dovrebbe esserci una forza. Tu la hai (mg). Come minimo manca una g.
Non mi va, sinceramente, di riguardare altri calcoli
Vero, ora posso smettere di cercare di manipolare la mia soluzione per cercare di farla uscire uguale alla sua
Grazie mille professorkappa, gentilissimo.
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